2025年下學期高中數(shù)學蘇教版試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）下列角中，與$-30^\circ$終邊相同的角是（）A.$330^\circ$B.$-330^\circ$C.$30^\circ$D.$150^\circ$已知角$\alpha$的終邊經(jīng)過點$P(3,4)$，則$\sin\alpha+\cos\alpha$的值為（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{7}{5}$C.$-\frac{1}{5}$D.$-\frac{7}{5}$函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$m$的值為（）A.$-2$B.$2$C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$下列函數(shù)中，在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上單調(diào)遞增的是（）A.$y=\sinx$B.$y=\cosx$C.$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$D.$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$已知$\tan\alpha=2$，則$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$的值為（）A.$3$B.$-3$C.$\frac{1}{3}$D.$-\frac{1}{3}$向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,-1)$，則$2\vec{a}-3\vec$的坐標為（）A.$(1,9)$B.$(1,3)$C.$(7,3)$D.$(7,9)$函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的最大值為（）A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$2$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，則$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$的值為（）A.$\frac{\sqrt{2}}{10}$B.$-\frac{\sqrt{2}}{10}$C.$\frac{7\sqrt{2}}{10}$D.$-\frac{7\sqrt{2}}{10}$若向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=3$，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.$3$B.$6$C.$3\sqrt{3}$D.$6\sqrt{3}$函數(shù)$f(x)=\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$的圖像可由函數(shù)$y=\cos2x$的圖像（）A.向左平移$\frac{\pi}{6}$個單位B.向右平移$\frac{\pi}{6}$個單位C.向左平移$\frac{\pi}{12}$個單位D.向右平移$\frac{\pi}{12}$個單位在$\triangleABC$中，若$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$，則$\triangleABC$的形狀是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知扇形的半徑為$2$，圓心角為$\frac{\pi}{3}$弧度，則扇形的弧長為__________．函數(shù)$f(x)=\lg(\sinx)$的定義域為__________．已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(x,1)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$x=$__________．化簡：$\sin^2\alpha+\sin^2\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=$__________．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知角$\alpha$的終邊經(jīng)過點$P(-1,\sqrt{3})$，求$\sin\alpha$，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$的值．（本小題滿分12分）已知向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec=(1,-2)$，求：（1）$\vec{a}+\vec$的模；（2）$\vec{a}$與$\vec$的夾角$\theta$的余弦值．（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1$，$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$．（1）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)$f(x)$的最大值和最小值．（本小題滿分12分）已知$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，$\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$，求$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$的值．（本小題滿分12分）在$\triangleABC$中，已知$AB=2$，$AC=3$，$\angleBAC=60^\circ$，求$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$及$BC$的長．（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x$，$x\in\mathbf{R}$．（1）化簡$f(x)$的表達式，并求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值．參考答案及評分標準一、選擇題A2.B3.B4.A5.A6.A7.A8.B9.B10.A11.D12.B二、填空題$\frac{2\pi}{3}$14.$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbf{Z}$15.$\frac{1}{2}$16.$1$三、解答題解：由題意知，點$P(-1,\sqrt{3})$到原點的距離$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$．$\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\alpha=\frac{x}{r}=-\frac{1}{2}$，$\tan\alpha=\frac{y}{x}=-\sqrt{3}$．（每問2分，共10分）解：（1）$\vec{a}+\vec=(4,2)$，$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；（6分）（2）$\vec{a}\cdot\vec=3\times1+4\times(-2)=-5$，$|\vec{a}|=5$，$|\vec|=\sqrt{5}$，$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{-5}{5\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$．（6分）解：（1）令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，解得$-\frac{\pi}{3}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{6}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$．又$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，故單調(diào)遞增區(qū)間為$\left[0,\frac{\pi}{6}\right]$；（6分）（2）當$x=\frac{\pi}{6}$時，$f(x){\text{max}}=2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+1=3$；當$x=\frac{\pi}{2}$時，$f(x){\text{min}}=2\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)+1=0$．（6分）解：由$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，$\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$，得$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$．$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$．（12分）解：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos\angleBAC=2\times3\times\cos60^\circ=3$；$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdotAC\cos\angleBAC=4+9-6=7$，故$BC=\sqrt{7}$．（每問6分，共12分）解：（1）$f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+2\times\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{3}{2}=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{3}{2}$，最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$；（6分）（2）當$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\ri