2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)體育競技中的數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）籃球比賽中的概率問題某籃球隊在比賽中采用"2分球+3分球"混合進(jìn)攻策略，已知該隊投2分球的命中率為0.6，投3分球的命中率為0.4。若某次進(jìn)攻中隊員先嘗試3分球未命中，隨后搶下籃板補投2分球，兩次投籃相互獨立，則該次進(jìn)攻得分的數(shù)學(xué)期望是（）A.1.2B.1.44C.1.68D.1.8解析：得分X的可能取值為0和2。P(X=0)=0.6（3分未中）×0.4（2分未中）=0.24P(X=2)=0.6×0.6=0.36E(X)=0×0.24+2×0.36=0.72答案：無正確選項（注：題目設(shè)計需修正，正確期望應(yīng)為0.72）田徑比賽中的函數(shù)模型某運動員進(jìn)行100米短跑訓(xùn)練，其速度v（m/s）與時間t（s）的關(guān)系滿足v(t)=10-0.5t（0≤t≤10），則該運動員跑完100米所需時間為（）A.10sB.11sC.12sD.13s解析：由v(t)=ds/dt=10-0.5t，積分得s(t)=10t-0.25t2。令s(t)=100，解得t=10+10√2≈24.14s（題目條件可能存在矛盾，實際短跑速度模型應(yīng)為分段函數(shù)）足球戰(zhàn)術(shù)中的排列組合某足球隊教練需從11名首發(fā)隊員中選擇3名球員執(zhí)行定位球戰(zhàn)術(shù)，其中必須包含1名前鋒和1名后衛(wèi)，若球隊有4名前鋒、4名后衛(wèi)、3名中場，則不同的選法共有（）A.48種B.96種C.144種D.192種解析：分兩類：前鋒1+后衛(wèi)1+中場1：C(4,1)C(4,1)C(3,1)=48前鋒2+后衛(wèi)1或前鋒1+后衛(wèi)2：C(4,2)C(4,1)+C(4,1)C(4,2)=48答案：C（48+48=96，原選項B正確）乒乓球比賽的概率計算采用"7局4勝制"的乒乓球比賽中，甲每局獲勝概率為0.6。若前3局甲以2:1領(lǐng)先，則甲最終獲勝的概率是（）A.0.648B.0.72C.0.8208D.0.864解析：剩余比賽可能進(jìn)行1-4局：甲4:1獲勝：0.6甲4:2獲勝：C(2,1)×0.4×0.62=0.288甲4:3獲勝：C(3,2)×0.42×0.63=0.1728答案：C（0.6+0.288+0.1728=1.0608，計算錯誤，正確應(yīng)為0.6+0.4×0.6×2+0.42×0.6×3=0.936）游泳比賽中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用某游泳運動員在訓(xùn)練中監(jiān)測到心率f(t)=60+30sin(πt/5)（t為分鐘），則10分鐘內(nèi)心率的最大值出現(xiàn)在（）A.t=2.5B.t=5C.t=7.5D.t=10解析：求導(dǎo)f’(t)=6πcos(πt/5)，令f’(t)=0得t=2.5+5k，當(dāng)t=2.5時f(t)=90為最大值答案：A排球比賽的統(tǒng)計分析某女排隊員在賽季中扣球成功率為0.45，若隨機抽取她的10次扣球，用X表示成功次數(shù)，則D(X)=（）A.2.25B.2.475C.4.5D.4.95解析：二項分布D(X)=np(1-p)=10×0.45×0.55=2.475答案：B體操評分的統(tǒng)計方法體操比賽中7名裁判為運動員打分，去掉一個最高分和一個最低分后的平均分作為最終得分。若某運動員得分?jǐn)?shù)據(jù)為：9.2,9.5,9.3,9.6,9.4,9.5,9.7，則其最終得分為（）A.9.4B.9.45C.9.5D.9.55解析：去掉9.2和9.7，剩余數(shù)據(jù)平均分為(9.5+9.3+9.6+9.4+9.5)/5=9.46，四舍五入為9.5答案：C賽艇比賽的力學(xué)模型賽艇前進(jìn)時受到的阻力f與速度v的平方成正比，即f=kv2。若運動員功率P保持不變，則賽艇的最大速度v?與功率的關(guān)系是（）A.v?∝PB.v?∝√PC.v?∝?PD.v?∝P2解析：P=Fv=fv=kv3，故v?=?(P/k)答案：C二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）羽毛球比賽的期望計算采用"21分制"的羽毛球比賽中，甲、乙兩人每局獲勝概率分別為0.6和0.4。若比賽進(jìn)行到20:20平時，甲最終獲勝的概率是______。解析：需連勝兩局或打決勝分：P=0.62+2×0.6×0.4×0.6=0.36+0.288=0.648答案：0.648跳遠(yuǎn)成績的回歸分析某運動員5次跳遠(yuǎn)成績（m）與助跑速度（m/s）數(shù)據(jù)如下：速度：8.5,9.0,9.5,10.0,10.5成績：6.2,6.5,6.8,7.1,7.4則回歸直線方程為?=______。解析：計算得斜率b=0.6，截距a=6.2-0.6×8.5=1.1，方程為?=0.6x+1.1答案：0.6x+1.1射擊比賽的分布列射擊運動員每次射擊命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，現(xiàn)進(jìn)行3次射擊，設(shè)X為命中10環(huán)的次數(shù)，則P(X≥2)=______。解析：P(X=2)=C(3,2)×0.72×0.3=0.441，P(X=3)=0.343，合計0.784答案：0.784滑雪賽道的曲線方程某滑雪賽道可近似看作拋物線y=-0.02x2+bx+c，若賽道在x=0處高度為5m，在x=50m處高度為3m，則b=______。解析：代入(0,5)得c=5；代入(50,3)得3=-0.02×2500+50b+5，解得b=0.96答案：0.96三、解答題（本大題共6小題，共90分）籃球比賽的策略優(yōu)化（15分）某籃球隊在比賽最后20秒落后3分，教練設(shè)計兩種戰(zhàn)術(shù)：方案A：連續(xù)投2個3分球，命中率分別為0.4和0.3方案B：先投2分球（命中率0.8），若命中立即犯規(guī)讓對手罰球（對手罰球命中率0.7），然后再投3分球（命中率0.5）（1）分別計算兩種方案的獲勝概率；（2）若比賽允許進(jìn)行加時賽（概率均等），哪種方案更優(yōu)？解析：（1）方案A：兩記3分全中概率=0.4×0.3=0.12方案B：2分命中（0.8）×對手罰丟（0.3）×3分命中（0.5）=0.12，或2分命中×對手罰中×3分命中（進(jìn)入加時）=0.8×0.7×0.5=0.28（2）考慮加時賽勝率0.5，方案B總勝率=0.12+0.28×0.5=0.26＞方案A的0.12田徑訓(xùn)練的數(shù)據(jù)分析（15分）某短跑運動員10次訓(xùn)練的100米成績（s）如下：10.2,10.1,10.3,10.0,9.9,10.1,10.2,10.4,10.1,9.8（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和中位數(shù)；（2）若成績服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，估計該運動員跑進(jìn)10.0秒的概率。解析：（1）平均數(shù)=10.1s，方差=0.024s2，中位數(shù)=10.1s（2）σ=√0.024≈0.155，P(X<10)=Φ((10-10.1)/0.155)≈Φ(-0.645)≈0.259足球聯(lián)賽的積分模型（15分）足球聯(lián)賽采用"3分制"（勝3分、平1分、負(fù)0分），某隊在20場比賽中得38分，且平局?jǐn)?shù)是負(fù)場數(shù)的2倍。（1）求該隊勝、平、負(fù)的場次；（2）若每勝一場獎金5萬元，平場1萬元，負(fù)場無獎金，求獎金總額的數(shù)學(xué)期望（假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨立，勝、平、負(fù)概率分別為0.5,0.3,0.2）。解析：（1）設(shè)負(fù)場x，則平場2x，勝場20-3x，3(20-3x)+2x=38，解得x=2，故勝14場、平4場、負(fù)2場（2）單場獎金期望=5×0.5+1×0.3=2.8萬元，總額期望=20×2.8=56萬元乒乓球比賽的動態(tài)規(guī)劃（15分）甲、乙進(jìn)行乒乓球"5局3勝制"比賽，每局甲勝概率為p。（1）當(dāng)p=0.6時，求比賽打滿5局的概率；（2）若p=0.5，求甲獲勝的概率；（3）證明：采用"7局4勝制"比"5局3勝制"對甲更有利的充要條件是p>0.5。解析：（1）前4局2:2平的概率=C(4,2)p2(1-p)2=6×0.36×0.16=0.3456（2）對稱情況下概率=0.5（3）設(shè)P(n,k)為n局k勝制甲獲勝概率，需證P(7,4)-P(5,3)=6p3(1-p)3(2p-1)＞0?p>0.5體育場館的幾何設(shè)計（15分）某圓形田徑場由兩個半圓和中間矩形組成，周長為400米。（1）若矩形長為x米，寫出面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該田徑場的最大面積及對應(yīng)的尺寸。解析：（1）半圓直徑d=(400-2x)/π，面積S=x·d+(πd2)/4=x(400-2x)/π+(400-2x)2/(4π)（2）求導(dǎo)得S’=(400-4x)/π-(400-2x)2/(2π2)=0，解得x=100米，最大面積=10000/π≈3183平方米綜合性體育統(tǒng)計分析（15分）某學(xué)校進(jìn)行體能測試，數(shù)據(jù)如下表（單位：人）：性別/項目立定跳遠(yuǎn)合格引體向上合格合計男生6040100女生702090合計13060190（1）用獨立性檢驗判斷性別與引體向上合格是否有關(guān)（α=0.05）；（2）從所有學(xué)生中隨機抽取3人，記X為引體向上合格的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析：（1）χ2=190(60×20-40×70)2/(100×90×130×60)≈5.83>3.841，拒絕原假設(shè)（2）超幾何分布X~H(3,60,190)，E(X)=3×60/190≈0.947四、數(shù)學(xué)建模與體育科技（附加題20分）奧運會獎牌榜的排序算法國際奧委會擬采用新的獎牌榜排序規(guī)則：綜合考慮金牌數(shù)（權(quán)重w?）、銀牌數(shù)（w?）、銅牌數(shù)（w?）和人口數(shù)（w?）、GDP（w?）等因素。（1）設(shè)計一個合理的加權(quán)評分公式；（2）收集2024年奧運會獎牌數(shù)據(jù)，用你的公式重新排序并分析結(jié)果；（3）討論該排序方法的優(yōu)缺點。參考模型：評分S=w?G+w?S+w?B-w?ln(P)-w?ln(GDP)，其中w?+w?+w?+w?+w?=1，通過層次分析法確定權(quán)重。運動損傷的預(yù)測模型已知某運動員訓(xùn)練負(fù)荷x（單位：小時/周）與損傷概率y的關(guān)系滿足Logistic模型：y=1/(1+e^(-a-bx))根據(jù)以下數(shù)據(jù)估計參數(shù)a,b：(5,0.1),(10,0.3),(15,0.6),(20,0.8)解析：線性化處理ln(y/(1-y))=a+bx，最小二乘法擬合得a≈-2.5，b≈0.2，故y=1/(1+e^(2.5-0.2x))試卷設(shè)計說明本試卷通過12個運動項目、28種數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了體育與數(shù)學(xué)的深度融合，涵蓋概率統(tǒng)計（占35%）、函數(shù)建模（25%）、幾何應(yīng)用（20%）、代數(shù)運算（20%