2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)某學(xué)習(xí)小組使用數(shù)學(xué)建模技術(shù)分析學(xué)生成績與學(xué)習(xí)時間的關(guān)系，得到回歸方程(\hat{y}=1.2x+40)（其中(x)為每周學(xué)習(xí)時間/小時，(\hat{y})為預(yù)測成績）。若某學(xué)生每周學(xué)習(xí)20小時，預(yù)測成績約為（）A.60分B.64分C.68分D.72分在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E)為棱(B_1C_1)的中點，則異面直線(AE)與(BD)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{2}}{4})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\frac{\sqrt{6}}{6})D.(\frac{1}{2})已知向量(\vec{a}=(m,2))，(\vec=(1,m-1))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.(-2)B.(1)C.(\frac{2}{3})D.(2)雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點((2,\sqrt{6}))，則雙曲線的標準方程為（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)若函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=1)處取得極值，則(a=)（）A.0B.1C.2D.3某學(xué)校開展“數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用”活動，需從4名男生和3名女生中選2人參加編程比賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.12種B.18種C.21種D.24種已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3函數(shù)(f(x)=x^2-2|x|+3)的圖像與直線(y=k)有且僅有兩個交點，則(k)的取值范圍是（）A.((-\infty,2))B.((2,+\infty))C.({2})D.([2,+\infty))在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.(\sqrt{11})D.(\sqrt{13})已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax)有兩個零點，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((0,\frac{1}{e}))B.((\frac{1}{e},+\infty))C.((-\infty,\frac{1}{e}))D.((-\infty,0)\cup(0,\frac{1}{e}))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。某算法的程序框圖如圖所示（此處省略圖示，假設(shè)流程為：輸入(n)，若(n)為偶數(shù)則(n=n/2)，否則(n=3n+1)，重復(fù)操作直至(n=1)），若輸入(n=5)，則輸出的結(jié)果為________。拋物線(y^2=4x)的焦點為(F)，過(F)的直線與拋物線交于(A,B)兩點，若(|AB|=8)，則線段(AB)的中點到(y)軸的距離為________。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})則不等式(f(x)>1)的解集為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且滿足(\sinA=2\sinB\cosC)。（1）判斷(\triangleABC)的形狀；（2）若(a=2\sqrt{3})，(b=2)，求(\triangleABC)的面積。18.（本小題滿分12分）某科技公司開發(fā)了一款數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)APP，為測試其效果，隨機選取100名高中生分為實驗組（使用APP）和對照組（傳統(tǒng)學(xué)習(xí)），期末成績?nèi)缦卤恚撼煽兎纸M實驗組（人數(shù)）對照組（人數(shù)）[60,70)510[70,80)1520[80,90)2515[90,100]155（1）分別計算實驗組和對照組的平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）；（2）若成績不低于80分為“優(yōu)秀”，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“使用APP與成績優(yōu)秀有關(guān)”？（參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)）（臨界值表：(P(K^2\geq3.841)=0.05)，(P(K^2\geq6.635)=0.01)）19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(AB=2)，(AD=4)，(PA=4)，(M)為(PD)的中點。（1）證明：(PB\parallel)平面(ACM)；（2）求平面(ACM)與平面(PCD)所成銳二面角的余弦值。20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+2^n)。（1）證明：數(shù)列(\left{\frac{a_n}{2^n}\right})是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)。21.（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）過橢圓右焦點(F)的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點，若點(M(3,0))，判斷(\angleAMB)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由。22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實數(shù)(a)的取值范圍。參考答案及評分標準（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.B3.B4.C5.C6.A7.A8.B9.A10.B11.C12.A二、填空題(\frac{\sqrt{10}}{2})14.515.316.((-\infty,-1)\cup(e-1,+\infty))三、解答題（1）由正弦定理及(\sinA=2\sinB\cosC)得(a=2b\cosC)，結(jié)合余弦定理可證(b=c)，故(\triangleABC)為等腰三角形；（2）面積為(2\sqrt{2})。（1）實驗組平均成績?yōu)?2分，對照組為76分；（2）(K^2=6.25>3.841)，故在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“使用APP與成績優(yōu)秀有關(guān)”。（1）連接(BD)交(AC)于(O)，證明(OM\parallelPB)即可；（2）二面角余弦值為(\frac{\sqrt{6}}{6})。（1）構(gòu)造(b_n=\frac{a_n}{2^n})，可證(b_{n+1}-b_n=1)；（2）(S_n=(n-1)2^{n+1}+2)。（1）橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\f