2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)一題多解探究試卷一、選擇題（共3小題，每小題給出多種解法）1.已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx$的最大值為（）解法一：輔助角公式$f(x)=2\left(\frac{1}{2}\sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}\cosx\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$\because\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\leq1$，$\thereforef(x)_{\text{max}}=2$解法二：導(dǎo)數(shù)法$f'(x)=\cosx-\sqrt{3}\sinx$，令$f'(x)=0$得$\tanx=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$x=\frac{\pi}{6}+k\pi$代入$f(x)$得$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2$解法三：柯西不等式$(\sinx+\sqrt{3}\cosx)^2\leq(1^2+(\sqrt{3})^2)(\sin^2x+\cos^2x)=4\times1=4$$\therefore|f(x)|\leq2$，當(dāng)$\frac{\sinx}{1}=\frac{\cosx}{\sqrt{3}}$即$\tanx=\frac{1}{\sqrt{3}}$時(shí)取等號(hào)2.已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_2=2$，$a_5=16$，則公比$q=$（）解法一：定義法$\frac{a_5}{a_2}=q^3=8\Rightarrowq=2$解法二：方程法設(shè)首項(xiàng)為$a_1$，則$\begin{cases}a_1q=2\a_1q^4=16\end{cases}$，兩式相除得$q^3=8\Rightarrowq=2$解法三：指數(shù)函數(shù)法設(shè)$a_n=a_1q^{n-1}=kq^n$，則$\lna_n=\lnk+n\lnq$為線性函數(shù)由$\ln2=\lnk+2\lnq$，$\ln16=\lnk+5\lnq$，作差得$3\lnq=\ln8\Rightarrowq=2$3.圓$x^2+y^2-4x+6y-3=0$的圓心坐標(biāo)是（）解法一：配方法$x^2-4x+y^2+6y=3\Rightarrow(x-2)^2+(y+3)^2=16$，圓心$(2,-3)$解法二：公式法對(duì)于$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，圓心$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$$\therefore\left(-\frac{-4}{2},-\frac{6}{2}\right)=(2,-3)$解法三：導(dǎo)數(shù)法兩邊對(duì)$x$求導(dǎo)：$2x+2y\cdoty'-4+6y'=0$，令$y'=0$得$x=2$代入原方程得$4+y^2-8+6y-3=0\Rightarrowy^2+6y-7=0$解得$y=1$（舍去）或$y=-3$，即圓心$(2,-3)$二、填空題（共2小題，每小題給出多種解法）4.計(jì)算$\int_0^\pi\sinx,\textjrz1xxbx=$________解法一：微積分基本定理$\int\sinx,\text9zp1l1hx=-\cosx+C$，$\therefore$原式$=-\cos\pi+\cos0=2$解法二：幾何意義法定積分表示正弦曲線在$[0,\pi]$與x軸圍成的面積，由對(duì)稱性得$2\int_0^{\pi/2}\sinx,\textx1b1bvtx=2$解法三：復(fù)數(shù)法$\sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$，$\int_0^\pi\sinx,\text1jv91zbx=\frac{1}{2i}\left[\frac{e^{ix}}{i}-\frac{e^{-ix}}{-i}\right]_0^\pi=\frac{1}{2i}\left(\frac{-2i}{i}-\frac{2i}{-i}\right)=2$5.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosC=$________解法一：余弦定理$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9+16-25}{24}=0$解法二：勾股定理逆定理$\because3^2+4^2=5^2$，$\therefore\triangleABC$為直角三角形，$C=90^\circ$，$\cosC=0$解法三：向量法$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|\cosC$$\because\overrightarrow{CA}=(3,0)$，$\overrightarrow{CB}=(0,4)$，$\therefore\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0=3\times4\cosC\Rightarrow\cosC=0$三、解答題（共3小題，每小題給出多種解法）6.已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求通項(xiàng)公式$a_n$解法一：構(gòu)造等比數(shù)列設(shè)$a_{n+1}+\lambda=2(a_n+\lambda)$，對(duì)比原式得$\lambda=1$$\therefore{a_n+1}$是以$2$為首項(xiàng)，$2$為公比的等比數(shù)列$a_n+1=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1$解法二：累加法$a_n=2a_{n-1}+1=2(2a_{n-2}+1)+1=2^2a_{n-2}+2+1=\cdots=2^{n-1}a_1+2^{n-2}+\cdots+1=2^n-1$解法三：特征方程法遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)的特征方程為$x=2x+1\Rightarrowx=-1$通解為$a_n=A\cdot2^n-1$，代入$a_1=1$得$A=1$，$\thereforea_n=2^n-1$7.求橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的離心率解法一：定義法由橢圓方程得$a=4$，$b=3$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{7}$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}$解法二：參數(shù)方程法設(shè)橢圓參數(shù)方程$\begin{cases}x=4\cos\theta\y=3\sin\theta\end{cases}$焦距$2c=2\sqrt{(4\cos\theta)^2+(3\sin\theta)^2-9\sin^2\theta}=2\sqrt{16\cos^2\theta}=8|\cos\theta|$當(dāng)$\theta=0$時(shí)$2c=8\Rightarrowc=4\cos0=4$（此處修正：應(yīng)為$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{7}$，參數(shù)方程法需結(jié)合幾何意義）解法三：導(dǎo)數(shù)法橢圓上點(diǎn)$(x_0,y_0)$處切線方程：$\frac{xx_0}{16}+\frac{yy_0}{9}=1$右焦點(diǎn)$(\sqrt{7},0)$到切線距離$d=\frac{|\sqrt{7}x_0/16|}{\sqrt{(x_0/16)^2+(y_0/9)^2}}=ex_0$由橢圓第二定義$d=e(a-ex_0)$，解得$e=\frac{\sqrt{7}}{4}$8.在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱長(zhǎng)為$2$，求異面直線$A_1B$與$AC$所成角的大小解法一：幾何法連接$A_1C_1$、$BC_1$，易證$AC\parallelA_1C_1$$\triangleA_1BC_1$為等邊三角形，$\angleBA_1C_1=60^\circ$，即所求角為$60^\circ$解法二：向量法建立坐標(biāo)系$A(0,0,0)$，$C(2,2,0)$，$A_1(0,0,2)$，$B(2,0,0)$$\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{A_1B}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\theta=60^\circ$解法三：補(bǔ)形法將正方體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，延長(zhǎng)$A_1B$至$E$使$BE=A_1B$，連接$CE$易證$CE\parallelA_1C_1\parallelAC$，$\triangleA_1EC$為正三角形，$\angleEA_1C=60^\circ$四、附加題（共2小題，每小題給出多種解法）9.證明：當(dāng)$x>0$時(shí)，$x-\frac{x^3}{6}<\sinx<x$證法一：泰勒公式$\sinx=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$，當(dāng)$x>0$時(shí)余項(xiàng)正負(fù)交替$\thereforex-\frac{x^3}{6}<\sinx<x$證法二：構(gòu)造函數(shù)設(shè)$f(x)=x-\sinx$，則$f'(x)=1-\cosx\geq0$，$f(x)$單調(diào)遞增$f(x)>f(0)=0\Rightarrow\sinx<x$設(shè)$g(x)=\sinx-x+\frac{x^3}{6}$，則$g'(x)=\cosx-1+\frac{x^2}{2}$，$g''(x)=-\sinx+x>0$$g'(x)$單調(diào)遞增，$g'(x)>g'(0)=0\Rightarrowg(x)$單調(diào)遞增，$g(x)>g(0)=0$證法三：幾何法單位圓中，$x$（弧度）對(duì)應(yīng)扇形面積$\frac{x}{2}$，三角形面積$\frac{\sinx}{2}$，弓形面積$\frac{x-\sinx}{2}>0\Rightarrow\sinx<x$弦長(zhǎng)$2\sin\frac{x}{2}<2\times\frac{x}{2}=x$，展開得$\sinx<x-\frac{x^3}{24}+\cdots<x-\frac{x^3}{6}$（$x<2\pi$）10.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線與圓$(x-2)^2+y^2=1$相切，求離心率解法一：幾何法漸近線方程$y=\pm\frac{a}x$，圓心$(2,0)$到漸近線距離$d=\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$$\Rightarrow4b^2=a^2+b^2\Rightarrow3b^2=a^2$，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$解法二：代數(shù)法聯(lián)立$\begin{cases}(x-2)^2+y^2=1\y=\frac{a}x\end{cases}$，消元得$(a^2+b^2)x^2-4a^2x+3a^2=0$$\Delta=16a^4-12a^2(a^2+b^2)=0\Rightarrow4a^2=3c^2\Rightarrowe=\frac{2}{\sqrt{3}}$解法三：參數(shù)法設(shè)漸近線傾斜角為$\theta$，則$\tan\theta=\frac{a}$，由相切條件$\sin\theta=\frac{r}111njf1=\frac{1}{2}$$\Rightarrow\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}$，$e=\sqrt{1+\left(\frac{a}\right)^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$五、一題多解專項(xiàng)訓(xùn)練（共5小題）11.解不等式$|x+1|+|x-2|\geq5$解法一：分段討論當(dāng)$x<-1$時(shí)，$-x-1-x+2\geq5\Rightarrowx\leq-2$當(dāng)$-1\leqx\leq2$時(shí)，$x+1-x+2=3\geq5$（無(wú)解）當(dāng)$x>2$時(shí)，$x+1+x-2\geq5\Rightarrowx\geq3$綜上：$x\in(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$解法二：幾何意義數(shù)軸上點(diǎn)$x$到$-1$和$2$的距離之和$\geq5$兩點(diǎn)距離為$3$，需向兩端延伸$1$個(gè)單位，$\thereforex\leq-2$或$x\geq3$解法三：構(gòu)造函數(shù)$f(x)=|x+1|+|x-2|$，圖像為"平底型"折線，最小值$3$在$[-1,2]$取得令$f(x)=5$得$x=-2$或$3$，$\therefore$解集為$(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$12.已知$a,b>0$且$a+b=1$，求證：$\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}\right)\geq\frac{25}{4}$證法一：函數(shù)求導(dǎo)設(shè)$f(a)=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(1-a+\frac{1}{1-a}\right)$，求導(dǎo)得$f'(a)=0$時(shí)$a=b=\frac{1}{2}$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{25}{4}$，邊界值$f(0^+)\to+\infty$，$\therefore$最小值為$\frac{25}{4}$證法二：均值不等式$ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{ab}\geq4$$\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}\right)=ab+\frac{1}{ab}+\frac{a}+\frac{a}\geq\frac{1}{4}+4+2=\frac{25}{4}$證法三：三角換元設(shè)$a=\sin^2\theta$，$b=\cos^2\theta$，則原式$=\left(\sin^2\theta+\csc^2\theta\right)\left(\cos^2\theta+\sec^2\theta\right)$展開后利用$\sin^22\theta\leq1$得最小值$\frac{25}{4}$13.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,3]$上的最值解法一：導(dǎo)數(shù)法$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，極值點(diǎn)$x=0,2$$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$，$\therefore$最值為$\pm2$解法二：因式分解$f(x)=(x-1)^2(x-2)$，圖像在$x=1$處相切，$x=2$處穿過(guò)結(jié)合端點(diǎn)值得$f(x)\in[-2,2]$解法三：二次函數(shù)法令$t=x-1$，則$f(x)=(t+1)^3-3(t+1)^2+2=t^3-3t$在$t\in[-2,2]$上，$t^3-3t$的最值在端點(diǎn)及$t=\pm1$處取得，得$\pm2$14.計(jì)算行列式$\begin{vmatrix}1&1&1\a&b&c\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}$解法一：展開法則按第一行展開：$1\cdot\begin{vmatrix}b&c\b^2&c^2\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}a&c\a^2&c^2\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}a&b\a^2&b^2\end{vmatrix}=bc(c-b)-ac(c-a)+ab(b-a)=(b-a)(c-a)(c-b)$解法二：范德蒙德行列式原式為三階范德蒙德行列式，直接得$(b-a)(c-a)(c-b)$解法三：行變換$r_3-ar_2$，$r_2-ar_1$得$\begin{vmatrix}1&1&1\0&b-a&c-a\0&b(b-a)&c(c-a)\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)$15.求曲線$y=x^3-3x+1$的切線中，斜率最小的切線方程解法一：導(dǎo)數(shù)法$y'=3x^2-3\geq-3$，當(dāng)$x=0$時(shí)斜率最小為$-3$切點(diǎn)$(0,1)$，切線方程$y=-3x+1$解法二：判別式法設(shè)切線方程$y=kx+b$，聯(lián)立得$x^3-(3+k)x+(1-b)=0$判別式$\Delta=0$時(shí)$(3+k)^3=27(1-b)^2$，由$k=3x^2-3\geq-3$得最小$k=-3$解法三：向量法曲線在點(diǎn)$(x_0,y_0)$的法向量$(3x_0^2-3,-1)$，切線斜率$k=3x_0^2-3\geq-3$當(dāng)$x_0=0$時(shí)斜率最小，切線方程$y=-3x+1$六、應(yīng)用題（共2小題，每小題給出多種解法）16.某工廠要建造一個(gè)容積為$8m^3$的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，已知底面造價(jià)為$120$元$/m^2$，側(cè)面造價(jià)為$80$元$/m^2$，求最低總造價(jià)解法一：基本不等式設(shè)長(zhǎng)$x$，寬$y$，高$h=\frac{8}{xy}$造價(jià)$C=120xy+160\left(x+\frac{8}{x}\right)\geq120\times4+160\times2\sqrt{x\cdot\frac{8}{x}}=480+640\sqrt{2}$（此處修正：應(yīng)為$C=120xy+160(xh+yh)=120xy+160h(x+y)$，當(dāng)$x=y=2$，$h=2$時(shí)$C=1760$元）解法二：導(dǎo)數(shù)法設(shè)底面邊長(zhǎng)$x$，則高$h=\frac{8}{x^2}$，$C=120x^2+4\times80x\cdot\frac{8}{x^2}=120x^2+\frac{2560}{x}$$C'=240x-\frac{2560}{x^2}=0\Rightarrowx=2$，$C_{\text{min}}=120\times4+\frac{2560}{2}=1760$元解法三：拉格朗日乘數(shù)法目標(biāo)函數(shù)$C=120xy+80\times2(xh+yh)$，約束條件$xyh=8$構(gòu)造$L=120xy+160h(x+y)+\lambda(xyh-8)$，求偏導(dǎo)得$x=y=h=2$，$C=1760$元17.在$\triangleABC$中，已知$a=2$，$b=3$，$C=60^\circ$，求$c$及$\triangleABC$面積解法一：余弦定理+面積公式$c^2=4+9-2\times2\times3\cos60^\circ=7\Rightarrowc=\sqrt{7}$面積$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{3\sqrt{3}}{2}$解法二：向量法$|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{A