2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)已知與未知試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)=1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?已知復(fù)數(shù)z滿足z·i=1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則m=（）A.-2B.-1C.1D.2已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖像如圖所示，則ω=（）A.1B.2C.πD.2π已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，S3=7，則公比q=（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或3已知直線l1:ax+2y+1=0與直線l2:x+(a-1)y-1=0平行，則a=（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.4π/3B.8π/3C.16π/3D.32π/3已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+bx(a>0)在x=1處取得極值，則2a-b=（）A.-1B.0C.1D.2已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P在拋物線上，且PF⊥x軸，則|PF|=（）A.1B.2C.3D.4已知函數(shù)f(x)=2sinx+cosx，則f(x)的最大值為（）A.√5B.2C.√3D.1已知在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（）A.13πB.25πC.34πD.50π已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x2-2x，則不等式f(x-1)>0的解集為（）A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,3)D.(-1,1)∪(3,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知tanα=2，則sin2α=______。已知(x-2)?的展開式中x3的系數(shù)為______。已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0，則圓C的圓心坐標(biāo)為______，半徑為______。已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，若關(guān)于x的方程f(x)=m有三個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA=(2c-a)cosB。（1）求角B的大??；（2）若b=3，△ABC的面積為3√3/2，求a+c的值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從成績在[80,90)和[90,100]的學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，∠ABC=60°。（1）證明：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B-PC-D的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e^x-ax2(a∈R)。（1）若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，證明：x1+x2>2。參考答案與解析一、選擇題A解析：集合A={1,2}，集合B={1}，所以A∩B={1}。B解析：z=(1+i)/i=1-i，|z|=√(12+(-1)2)=√2。D解析：a·b=1×m+2×(-1)=m-2=0，解得m=2。B解析：由圖像可知函數(shù)的周期T=π，所以ω=2π/T=2。C解析：S3=a1+a2+a3=1+q+q2=7，解得q=2或q=-3。B解析：由兩直線平行的條件可得a(a-1)-2×1=0，解得a=2或a=-1，當(dāng)a=-1時兩直線重合，所以a=2。C解析：該幾何體為半徑為2的半球，體積V=2/3πr3=16π/3。C解析：f'(x)=1/x-2ax+b，f'(1)=1-2a+b=0，所以2a-b=1。B解析：拋物線的焦點F(1,0)，準(zhǔn)線l:x=-1，PF⊥x軸，則P(1,±2)，|PF|=2。A解析：f(x)=√5sin(x+φ)，其中tanφ=1/2，所以最大值為√5。C解析：三棱錐的外接球直徑為√(22+22+32)=√17，表面積S=4π(√17/2)2=34π。D解析：當(dāng)x<0時，f(x)=-x2-2x，分段解不等式可得解集為(-1,1)∪(3,+∞)。二、填空題4/5解析：sin2α=2tanα/(1+tan2α)=4/5。-80解析：展開式的通項為Tk+1=C5kx5-k(-2)k，令5-k=3得k=2，系數(shù)為C52(-2)2=-80。(2,-3)，4解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+3)2=16，圓心(2,-3)，半徑4。(-2,2)解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，函數(shù)在(-∞,0)遞增，(0,2)遞減，(2,+∞)遞增，極大值f(0)=2，極小值f(2)=-2，所以-2<m<2。三、解答題解：（1）由正弦定理得sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB，sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，sin(A+B)=2sinCcosB，sinC=2sinCcosB，因為sinC≠0，所以cosB=1/2，B=π/3。（2）S=1/2acsinB=3√3/2，得ac=6，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac，(a+c)2=27，a+c=3√3。（1）證明：an+1+1=2(an+1)，且a1+1=2，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：an+1=2×2n-1=2n，an=2n-1，Sn=(2+22+…+2n)-n=2(2n-1)/(2-1)-n=2n+1-n-2。解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1，解得a=0.01。（2）平均數(shù)=45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5，中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5，解得x=76.67。（3）成績在[80,90)的學(xué)生有25人，[90,100]的學(xué)生有15人，所求概率P=C152/C402=21/156=7/52。（1）證明：因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC。（2）解：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，A(0,0,0)，B(√3,1,0)，C(0,2,0)，D(-√3,1,0)，P(0,0,2)，PC=(0,2,-2)，BC=(-√3,1,0)，DC=(√3,1,0)，設(shè)平面PBC的法向量n=(x1,y1,z1)，{n·PC=2y1-2z1=0{n·BC=-√3x1+y1=0，取n=(1,√3,√3)，設(shè)平面PDC的法向量m=(x2,y2,z2)，{m·PC=2y2-2z2=0{m·DC=√3x2+y2=0，取m=(-1,√3,√3)，cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=(-1+3+3)/(√7×√7)=5/7，由圖形可知二面角為鈍角，所以余弦值為-5/7。解：（1）由題意得{e=√3/2{4/a2+1/b2=1{c2=a2-b2，解得a2=8，b2=2，橢圓方程為x2/8+y2/2=1。（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組{x2/8+y2/2=1{y=kx+m，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=32(4k2-m2+2)>0，x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(m2-8k2)/(1+4k2)，因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，(4m2-8)/(1+4k2)+(m2-8k2)/(1+4k2)=0，5m2=8k2+8，m2=(8k2+8)/5，|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=4√2√[(1+k2)(4k2-m2+2)]/(1+4k2)，原點到直線的距離d=|m|/√(1+k2)，S=1/2|AB|d=2√2√[(1+k2)(4k2-m2+2)]/(1+4k2)×|m|/√(1+k2)=2√2√[(4k2-m2+2)m2]/(1+4k2)，將m2=(8k2+8)/5代入得S=8√2√(k2+1)(2k2+2)/(5(4k2+1))=8√2(k2+1)/(5√(4k2+1))，設(shè)t=√(4k2+1)≥1，k2=(t2-1)/4，S=8√2[(t2-1)/4+1]/(5t)=2√2(t2+3)/(5t)=2√2/5(t+3/t)≥2√2/5×2√3=4√6/5，當(dāng)且僅當(dāng)t=√3時取等號，所以面積的最大值為4√6/5。（1）解：當(dāng)a=1時，f(x)=e^x-x2，f'(x)=e^x-2x，令g(x)=f'(x)=e^x-2x，g'(x)=e^x-2，當(dāng)x<ln2時，g'(x)<0，g(x)遞減；當(dāng)x>ln2時，g'(x)>0，g(x)遞增，g(x)min=g(ln2)=2-2ln2>0，所以f'(x)>0恒成立，函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。（2）證明：f'(x)=e^x-2ax，由題意知f'(x)=0在(0,+∞)有兩個不同的根x1，x2，即e^x1=2ax1，e^x2=2ax2，兩式相除得e^(x2-x1)=x2/x1，令t=x2/x1>1，x2=tx1，e^(x1(t-1))=t