2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策實(shí)戰(zhàn)模擬題庫考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知一組樣本數(shù)據(jù)：3,7,5,13,20,23,39,23,40,23,14,12,56,23,29。請計(jì)算樣本容量、樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本眾數(shù)、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。二、設(shè)總體服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(zhòng)(\mu\)未知，\(\sigma^2\)已知。從該總體中抽取一個(gè)容量為\(n\)的簡單隨機(jī)樣本，記樣本均值為\(\bar{X}\)。若要求樣本均值\(\bar{X}\)落在\(\mu\)的\(\alpha\)置信區(qū)間內(nèi)的概率為0.95，且已知\(\sigma=5\)，樣本容量\(n=36\)。請判斷此置信區(qū)間的長度是多少？并說明理由。三、某公司想要檢驗(yàn)一種新的廣告策略是否比原有的廣告策略更能吸引顧客。他們隨機(jī)選取了1000名顧客，其中500名在接觸了新廣告策略后進(jìn)行了購買，而另外500名接觸了原有廣告策略后進(jìn)行了購買。請?jiān)O(shè)立原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)，以檢驗(yàn)新廣告策略是否顯著提高了購買率（假設(shè)顯著性水平\(\alpha=0.05\)）。四、某研究者想要了解學(xué)生的體重(Y)與其身高(X)之間的關(guān)系。他隨機(jī)抽取了25名學(xué)生，并記錄了他們的身高和體重?cái)?shù)據(jù)。通過統(tǒng)計(jì)軟件分析，得到回歸方程的估計(jì)系數(shù)為\(\hat{\beta}_0=50\)，\(\hat{\beta}_1=0.8\)，回歸平方和\(SSR=400\)，殘差平方和\(SSE=100\)。請解釋\(\hat{\beta}_0\)和\(\hat{\beta}_1\)的含義，計(jì)算回歸方程的決定系數(shù)\(R^2\)，并說明\(R^2\)反映了什么信息。五、一家食品公司生產(chǎn)兩種口味的餅干：原味和巧克力味。他們想要檢驗(yàn)兩種口味的餅干的包裝重量是否有顯著差異。他們隨機(jī)抽取了10袋原味餅干和10袋巧克力味餅干，并稱量了它們的重量。請使用合適的假設(shè)檢驗(yàn)方法（說明檢驗(yàn)方法并給出理由），檢驗(yàn)兩種口味的餅干的包裝重量是否存在顯著差異（假設(shè)顯著性水平\(\alpha=0.01\)）。六、某銀行想要分析客戶的月收入(X)與月支出(Y)之間的關(guān)系。他們隨機(jī)抽取了50名客戶，并記錄了他們的月收入和月支出數(shù)據(jù)。通過統(tǒng)計(jì)軟件分析，得到相關(guān)系數(shù)\(r=0.75\)。請解釋\(r\)的含義，并計(jì)算該回歸模型的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差\(s_e\)。假設(shè)月收入的樣本均值\(\bar{X}=5000\)元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差\(s_X=1000\)元，月支出的樣本均值\(\bar{Y}=4000\)元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差\(s_Y=800\)元。七、一家制藥公司想要比較三種不同的藥物(A,B,C)對降低血壓的療效。他們隨機(jī)選取了30名高血壓患者，并將他們隨機(jī)分配到三個(gè)組，每組10人，分別服用藥物A、B、C。在一段時(shí)間后，記錄了每位患者的血壓下降值。請使用合適的假設(shè)檢驗(yàn)方法（說明檢驗(yàn)方法并給出理由），檢驗(yàn)三種藥物的降壓效果是否存在顯著差異（假設(shè)顯著性水平\(\alpha=0.05\)）。試卷答案一、樣本容量\(n=15\)。樣本均值\(\bar{X}=\frac{3+7+5+13+20+23+39+23+40+23+14+12+56+23+29}{15}=\frac{360}{15}=24\)。排序后數(shù)據(jù)為：3,5,7,12,13,14,20,23,23,23,23,29,39,40,56。樣本中位數(shù)\(M_e=\frac{23+23}{2}=23\)。樣本眾數(shù)\(M_o=23\)。樣本方差\(S^2=\frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{n-1}=\frac{(3-24)^2+(7-24)^2+\cdots+(56-24)^2}{14}=\frac{4664}{14}\approx334.57\)。樣本標(biāo)準(zhǔn)差\(S=\sqrt{S^2}=\sqrt{334.57}\approx18.3\)。二、正態(tài)分布總體，\(\sigma\)已知，使用\(Z\)統(tǒng)計(jì)量。置信水平\(1-\alpha=0.95\)，則\(\alpha=0.05\)，查\(Z\)分布表得\(Z_{\alpha/2}=Z_{0.025}=1.96\)。置信區(qū)間半徑為\(Z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1.96\cdot\frac{5}{\sqrt{36}}=1.96\cdot\frac{5}{6}=1.6333\)。置信區(qū)間長度為\(2\times1.6333=3.2666\)。三、設(shè)\(p\)為總體購買率，\(p_1\)為新廣告策略組購買率，\(p_2\)為原廣告策略組購買率。\(H_0:p_1\leqp_2\)(新廣告策略效果不優(yōu)于原策略)\(H_1:p_1>p_2\)(新廣告策略效果優(yōu)于原策略)（使用大樣本\(Z\)檢驗(yàn)）\(p_1=\frac{500}{1000}=0.5\),\(p_2=\frac{500}{1000}=0.5\)合并樣本比例\(p=\frac{500+500}{1000+1000}=0.5\)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(Z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}=\frac{0.5-0.5}{\sqrt{0.5(1-0.5)(\frac{1}{500}+\frac{1}{500})}}=\frac{0}{\sqrt{0.25\cdot\frac{2}{500}}}=\frac{0}{\sqrt{0.001}}=0\)臨界值\(Z_{0.05}=1.645\)(單尾檢驗(yàn))由于\(Z=0<1.645\)，不能拒絕\(H_0\)。四、\(\hat{\beta}_0=50\)表示當(dāng)身高\(yùn)(X=0\)時(shí)，估計(jì)的體重\(\hat{Y}=50\)（在理論意義上，實(shí)際中\(zhòng)(X=0\)可能無意義）。\(\hat{\beta}_1=0.8\)表示對于每增加一個(gè)單位身高，估計(jì)的體重平均增加0.8個(gè)單位。\(R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{SSR}{SSR+SSE}=\frac{400}{400+100}=\frac{400}{500}=0.8\)。\(R^2=0.8\)表示該回歸模型可以解釋因變量（體重）變異性的80%。五、數(shù)據(jù)為兩組獨(dú)立樣本，需比較兩組均值?？傮w方差未知但可假設(shè)相等（或使用\(t\)檢驗(yàn)），樣本量相等（或不相等）。使用兩樣本\(t\)檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(t=\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)，其中\(zhòng)(s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\)。（此處缺少具體數(shù)據(jù)，無法計(jì)算具體\(t\)值和\(p\)值，但檢驗(yàn)步驟如上）。假設(shè)檢驗(yàn)步驟：1.\(H_0:\mu_1=\mu_2\)，\(H_1:\mu_1\neq\mu_2\)2.計(jì)算合并標(biāo)準(zhǔn)差\(s_p\)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(t\)值。3.自由度\(df=n_1+n_2-2=10+10-2=18\)。4.查\(t\)分布表，得\(t_{0.005,18}\)（雙尾檢驗(yàn)）。5.比較\(|t|\)與臨界值。若\(|t|>t_{0.005,18}\)，拒絕\(H_0\)；否則不拒絕。六、\(r=0.75\)表示月收入與月支出之間存在正相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)程度較強(qiáng)（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，0.7附近為強(qiáng)相關(guān)）。\(s_e=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}}=\sqrt{\frac{SST-SSR}{n-2}}=\sqrt{\frac{\sumY_i^2-SSR}{n-2}}\)需要樣本數(shù)據(jù)\(\sumY_i^2\)才能計(jì)算。\(R^2=r^2=0.75^2=0.5625\)\(SSE=SST-SSR=(n-2)s_e^2=(n-2)R^2s_Y^2\)(若模型僅含常數(shù)項(xiàng)和\(X\))\(s_e=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}}=\sqrt{\frac{SST-SSR}{n-2}}=\sqrt{\frac{(n-2)R^2s_Y^2}{n-2}}=\sqrt{R^2s_Y^2}=s_Y\sqrt{R^2}=800\times\sqrt{0.5625}=800\times0.75=600\)。（注意：此\(s_e\)計(jì)算基于特定模型假設(shè)，若模型包含截距項(xiàng)，結(jié)果會(huì)不同。此處按簡化公式計(jì)算）。七、數(shù)據(jù)為三組獨(dú)立樣本，需比較三組均值。使用單因素方差分析(One-wayANOVA)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(F=\frac{MS_{between}}{MS_{within}}\)，其中\(zhòng)(MS_{between}\)是組間均方，\(MS_{within}\)是組內(nèi)均方。假設(shè)檢驗(yàn)步驟：1.\(H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C\)，\(H_1:\mu_A,\mu_B,\mu_C\)至少有兩個(gè)不等。2.計(jì)算各組的樣本均值\(\bar{Y}_A,\bar{Y}_B,\bar{Y}_C\)，總樣本均值\(\bar{Y}\)。3.計(jì)算總平方和\(SST\)，組間平方和\(SSR\)，組內(nèi)平方和\(SSE\)。4.計(jì)算自由度\(df_{between}=k-1=3-1=2\)，\(df_{within}