2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策應(yīng)用案例分析試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某快消品公司為了解其新推出的一款咖啡飲料的市場潛力，在全國隨機抽取了1000名消費者進行問卷調(diào)查，其中包含對咖啡口味（A、B、C三種）、價格敏感度（高、中、低）以及購買意愿（愿意、不愿意）等方面的詢問。公司希望利用這些數(shù)據(jù)分析不同口味偏好、價格敏感度等級的消費者在購買意愿上的差異，并評估口味與購買意愿之間的關(guān)系，為后續(xù)的產(chǎn)品定位和定價策略提供依據(jù)。請根據(jù)上述背景，回答以下問題：1.若要分析不同咖啡口味（A、B、C）消費者在購買意愿（愿意/不愿意）上是否存在顯著差異，最適合采用哪種統(tǒng)計方法？請簡述該方法的基本原理及其適用條件。2.假設(shè)通過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)價格敏感度為“高”的消費者中，不愿意購買該飲料的比例顯著高于價格敏感度為“中”和“低”的消費者。請解釋這一統(tǒng)計結(jié)果可能意味著什么？該公司在制定定價策略時應(yīng)考慮哪些因素？3.請說明如何運用統(tǒng)計方法分析咖啡口味偏好與購買意愿之間是否存在關(guān)聯(lián)性。如果分析結(jié)果顯示兩者之間存在顯著關(guān)聯(lián)，這對公司的產(chǎn)品開發(fā)有何啟示？二、一家制造企業(yè)生產(chǎn)某種關(guān)鍵零部件，該部件的直徑是重要的質(zhì)量指標(biāo)。為了監(jiān)控生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，質(zhì)檢部門定期抽取樣本進行測量。近期，質(zhì)檢部門懷疑生產(chǎn)過程可能存在波動，導(dǎo)致部件直徑出現(xiàn)異常。他們抽取了25個部件，測得其直徑數(shù)據(jù)（單位：毫米）如下（此處省略了25個具體數(shù)據(jù)數(shù)字）。請根據(jù)上述情景，回答以下問題：1.質(zhì)檢部門應(yīng)如何利用這些樣本數(shù)據(jù)來檢驗生產(chǎn)過程是否穩(wěn)定？請說明需要計算哪些描述統(tǒng)計量，并解釋其作用。同時，簡述進行假設(shè)檢驗的基本步驟，并說明在本次檢驗中，原假設(shè)和備擇假設(shè)可能分別是什么。2.假設(shè)經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)近似正態(tài)分布，且方差存在一定波動。請問在這種情況下，應(yīng)選擇哪種統(tǒng)計方法來檢驗生產(chǎn)過程是否處于受控狀態(tài)（即部件直徑的均值是否顯著偏離目標(biāo)值）？請說明選擇該方法的原因，并簡述其關(guān)鍵步驟。3.如果檢驗結(jié)果表明生產(chǎn)過程確實存在顯著波動，超出了可接受范圍，請?zhí)岢鲋辽賰煞N可能的改進措施，并簡要說明這些措施可能如何幫助穩(wěn)定生產(chǎn)過程。三、某連鎖零售商希望了解其不同門店的銷售額與其投入的廣告費用之間是否存在關(guān)系，以便更有效地分配廣告預(yù)算。他們收集了20家門店過去一個季度的數(shù)據(jù)，包括每家門店的廣告投入金額（萬元）和對應(yīng)的銷售額（萬元）。請根據(jù)上述背景，回答以下問題：1.為了初步探索廣告投入與銷售額之間的關(guān)系，可以繪制哪種圖表？簡述該圖表的作用。此外，計算相關(guān)系數(shù)也是一種方法，請說明相關(guān)系數(shù)的取值范圍及其在判斷線性關(guān)系強度和方向上的意義。2.請簡述運用簡單線性回歸分析研究廣告投入對銷售額影響的步驟。在得到的回歸方程中，回歸系數(shù)的經(jīng)濟含義是什么？如何解釋該系數(shù)？3.假設(shè)通過回歸分析得到某門店的廣告投入為15萬元時，其銷售額的預(yù)測值為100萬元，標(biāo)準(zhǔn)誤差為5萬元。請解釋預(yù)測值和標(biāo)準(zhǔn)誤差的含義。如果該門店的實際銷售額為110萬元，請簡要說明如何利用預(yù)測殘差來判斷該門店的銷售表現(xiàn)是否異常。四、一家銀行信用卡中心想要評估不同客戶群體使用信用卡進行大額消費的風(fēng)險。他們收集了近期1000名信用卡持卡人的數(shù)據(jù)，包括客戶的年齡、信用評分（高、中、低），以及過去一年是否有過大額消費（是/否）。請根據(jù)上述情景，回答以下問題：1.請說明如何利用統(tǒng)計方法分析不同信用評分等級的客戶之間，在大額消費行為上是否存在顯著差異。簡述該方法的基本思路，并解釋如何根據(jù)分析結(jié)果判斷風(fēng)險等級。2.假設(shè)數(shù)據(jù)分析顯示，年齡與是否進行大額消費之間存在一定的相關(guān)性。請問如何量化這種相關(guān)性的強度和方向？可以運用哪些統(tǒng)計量？請簡述計算和解釋這些統(tǒng)計量的方法。3.銀行希望根據(jù)客戶的特征（年齡、信用評分）建立一個模型，以預(yù)測客戶未來是否會進行大額消費。請簡述可以采用哪些統(tǒng)計方法來構(gòu)建這樣的預(yù)測模型？并說明在選擇模型時需要考慮哪些因素。試卷答案一、1.最適合采用卡方檢驗（Chi-squareTestforIndependence）。該方法用于檢驗兩個分類變量之間是否獨立，即是否存在關(guān)聯(lián)關(guān)系。其基本原理是通過比較觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)（在假設(shè)獨立的條件下計算得出）的差異來判斷變量間是否存在顯著關(guān)聯(lián)。適用條件包括：①數(shù)據(jù)為分類數(shù)據(jù)；②樣本量足夠大（通常要求期望頻數(shù)中至少有80%以上的單元格期望頻數(shù)不小于5）；③獨立抽樣。2.這一統(tǒng)計結(jié)果意味著價格敏感度為“高”的消費者對價格變動更為敏感，他們對該飲料的價格可能普遍感到較高，從而導(dǎo)致了較高的不購買意愿。公司制定定價策略時應(yīng)考慮產(chǎn)品的目標(biāo)市場定位、競爭對手定價、成本結(jié)構(gòu)以及消費者的支付意愿。可能需要考慮降低價格、調(diào)整產(chǎn)品價值感知、或針對不同價格敏感度群體采取差異化的定價策略。3.可以運用列聯(lián)表分析結(jié)合相關(guān)系數(shù)（如Phi系數(shù)、Cramer'sV）或卡方檢驗來分析咖啡口味偏好與購買意愿之間的關(guān)聯(lián)性。如果分析結(jié)果顯示兩者之間存在顯著關(guān)聯(lián)，說明不同的口味偏好與消費者的購買意愿有顯著關(guān)系，這為公司進行產(chǎn)品定位提供了依據(jù)，例如可以根據(jù)主要目標(biāo)消費群體的口味偏好來調(diào)整產(chǎn)品配方或進行口味推廣。二、1.質(zhì)檢部門應(yīng)利用樣本數(shù)據(jù)檢驗生產(chǎn)過程是否穩(wěn)定，特別是均值和方差是否在控制范圍內(nèi)。需要計算的描述統(tǒng)計量包括：樣本均值（用于判斷均值是否偏離目標(biāo)）、樣本中位數(shù)（作為均值的補充參考）、樣本范圍（最大值-最小值，了解波動幅度）、樣本方差/標(biāo)準(zhǔn)差（用于判斷數(shù)據(jù)的離散程度和波動性）。假設(shè)檢驗的基本步驟為：①提出原假設(shè)H0（例如，生產(chǎn)過程穩(wěn)定，部件直徑均值等于目標(biāo)值）和備擇假設(shè)H1（例如，生產(chǎn)過程不穩(wěn)定，部件直徑均值不等于目標(biāo)值）；②選擇顯著性水平α；③確定檢驗統(tǒng)計量及其分布；④計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值；⑤做出決策（拒絕H0或保留H0）。本次檢驗中，原假設(shè)H0:μ=μ?（μ為總體均值，μ?為目標(biāo)值），備擇假設(shè)H1:μ≠μ?。2.在這種情況下，應(yīng)選擇單樣本t檢驗（One-samplet-test）。選擇該方法的原因是：①樣本量較?。╪=25）；②假設(shè)數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布；③假設(shè)總體方差未知。單樣本t檢驗適用于當(dāng)樣本量較小且總體方差未知時，檢驗樣本均值與已知或假設(shè)的總體均值之間是否存在顯著差異。關(guān)鍵步驟包括：計算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差；計算t統(tǒng)計量；確定自由度（df=n-1）；查找t分布表或使用軟件獲得p值；根據(jù)p值與顯著性水平α的比較做出統(tǒng)計決策。3.可能的改進措施包括：①重新校準(zhǔn)生產(chǎn)線，檢查設(shè)備是否存在故障或磨損，確保生產(chǎn)精度；②加強操作人員培訓(xùn)，提高操作技能和規(guī)范意識，減少人為誤差；③分析原材料質(zhì)量，檢查是否存在原材料批次差異導(dǎo)致的產(chǎn)品尺寸波動；④優(yōu)化生產(chǎn)流程，減少生產(chǎn)過程中的干擾因素或瓶頸，提高過程的平穩(wěn)性。三、1.可以繪制散點圖。散點圖的作用是直觀地展示兩個連續(xù)變量之間的相關(guān)關(guān)系，可以初步判斷它們之間是否存在線性趨勢、關(guān)系的強弱以及是否存在異常點。相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到+1之間。|r|接近1表示線性關(guān)系強，|r|接近0表示線性關(guān)系弱或不存在。r為正表示正相關(guān)（一個變量增大，另一個變量傾向于增大），r為負(fù)表示負(fù)相關(guān)（一個變量增大，另一個變量傾向于減?。?.簡單線性回歸分析的步驟包括：①確定自變量（X，廣告投入）和因變量（Y，銷售額）；②收集數(shù)據(jù)并繪制散點圖初步判斷線性關(guān)系；③使用最小二乘法計算回歸方程的參數(shù)（斜率b?和截距b?），得到Y(jié)=b?+b?X；④檢驗回歸方程的顯著性（如使用F檢驗）；⑤檢驗回歸系數(shù)b?的顯著性（如使用t檢驗）。在得到的回歸方程Y=b?+b?X中，回歸系數(shù)b?（斜率）的經(jīng)濟含義是：當(dāng)自變量X（廣告投入）每增加一個單位時，預(yù)計因變量Y（銷售額）將平均變化b?個單位（增加或減少）。它衡量了廣告投入對銷售額的直接影響程度和方向。3.預(yù)測值（100萬元）是指在給定自變量（廣告投入15萬元）條件下，根據(jù)回歸模型預(yù)測出的因變量（銷售額）的期望值。標(biāo)準(zhǔn)誤差（5萬元）是實際銷售額圍繞預(yù)測值的平均偏離程度，反映了回歸模型預(yù)測的精度。如果某門店的實際銷售額（110萬元）高于預(yù)測值（100萬元），其預(yù)測殘差為110-100=10萬元。較大的正殘差可能表明該門店的銷售表現(xiàn)優(yōu)于模型預(yù)期。判斷是否異常，需要考慮殘差的大小以及殘差的標(biāo)準(zhǔn)誤差，例如計算標(biāo)準(zhǔn)化殘差（殘差/標(biāo)準(zhǔn)誤差），若標(biāo)準(zhǔn)化殘差的絕對值大于某個閾值（如2或3），則可能認(rèn)為該觀測值（或銷售表現(xiàn)）是異常的。四、1.可以利用卡方檢驗（Chi-squareTestforIndependence）來分析不同信用評分等級（高、中、低）的客戶之間，在大額消費行為（是/否）是否存在顯著差異。基本思路是構(gòu)建一個列聯(lián)表，將樣本按信用評分和是否大額消費兩個維度進行交叉分類，計算每個單元格的觀測頻數(shù)。然后，在假設(shè)“信用評分與是否大額消費獨立”的條件下，根據(jù)邊際總和計算每個單元格的期望頻數(shù)。最后，比較觀測頻數(shù)和期望頻數(shù)的差異，通過卡方統(tǒng)計量來判斷這種差異是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。根據(jù)檢驗結(jié)果（p值），如果p值小于顯著性水平α，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為信用評分等級與是否進行大額消費之間存在顯著關(guān)聯(lián)，從而可以依據(jù)信用評分來判斷不同客戶群體的風(fēng)險等級。2.可以運用相關(guān)系數(shù)（如Pearson相關(guān)系數(shù)，適用于連續(xù)變量且滿足正態(tài)性假設(shè)；或Spearman等級相關(guān)系數(shù)，適用于有序分類變量或非正態(tài)分布的連續(xù)變量）來量化年齡與是否進行大額消費之間的相關(guān)性的強度和方向。計算方法通常是：①如果使用Pearson相關(guān)系數(shù)，需將“是/否”大額消費變量量化為0和1；②計算年齡變量和量化后的消費變量之間的Pearson相關(guān)系數(shù)r；③r的取值范圍在-1到+1之間，|r|越接近1表示線性相關(guān)越強，r為正表示年齡越大，進行大額消費的可能性越高（正相關(guān)），r為負(fù)表示年齡越大，進行大額消費的可能性越低（負(fù)相關(guān)）。解釋時需說明r的值及其正負(fù)號，并注意相關(guān)不等于因果。3.可以采用邏輯回歸模型（LogisticRegression）來構(gòu)建預(yù)測模型。邏輯回歸適用于因變量為二