幻燈片1：封面標(biāo)題：23.3.2.1相似三角形的判定（用角的關(guān)系判定）副標(biāo)題：從角的相等關(guān)系探索相似本質(zhì)適用教材：華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)授課教師：[具體姓名]授課班級(jí)：[具體班級(jí)]授課時(shí)間：[具體時(shí)間]幻燈片2：課程導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧：提問(wèn)1：我們已經(jīng)知道，相似三角形的核心特征是什么？（學(xué)生回答：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例）提問(wèn)2：如果兩個(gè)三角形的角滿(mǎn)足某種關(guān)系，是否能直接判定它們相似呢？比如兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等，它們一定相似嗎？有兩個(gè)角相等呢？情境探究：展示圖片：兩個(gè)含30°

角的三角形（一個(gè)是30°、60°、90°

的直角三角形，另一個(gè)是30°、30°、120°

的等腰三角形），標(biāo)注出相等的30°

角。兩個(gè)含60°

角的直角三角形（一個(gè)直角邊為3、4，另一個(gè)直角邊為6、8），標(biāo)注出60°

角和直角。引導(dǎo)提問(wèn)：左邊兩個(gè)三角形都有30°

角，但形狀明顯不同，為什么？右邊兩個(gè)三角形都有60°

角和直角，形狀看起來(lái)一樣，這又是什么原因？今天我們就來(lái)探究“用角的關(guān)系判定三角形相似”的規(guī)律?；脽羝?：探究活動(dòng)（兩角分別相等的三角形是否相似）探究步驟：畫(huà)圖操作：讓學(xué)生在練習(xí)本上畫(huà)△ABC，使∠A=60°，∠B=40°，計(jì)算∠C=180°-60°-40°=80°。再畫(huà)△A'B'C'，使∠A'=60°，∠B'=40°，計(jì)算∠C'=180°-60°-40°=80°。測(cè)量與對(duì)比：測(cè)量?jī)蓚€(gè)三角形的邊長(zhǎng)：AB、BC、AC和A'B'、B'C'、A'C'。計(jì)算對(duì)應(yīng)邊的比例：\(\frac{AB}{A'B'}\)、\(\frac{BC}{B'C'}\)、\(\frac{AC}{A'C'}\)，記錄結(jié)果（學(xué)生測(cè)量后會(huì)發(fā)現(xiàn)三個(gè)比例基本相等）。改變角度再驗(yàn)證：讓學(xué)生自主設(shè)定兩個(gè)角的度數(shù)（如∠A=50°，∠B=70°），重復(fù)上述畫(huà)圖、測(cè)量、計(jì)算步驟，觀察比例關(guān)系是否依然成立。初步結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)三角形有兩個(gè)角分別相等時(shí)，它們的第三個(gè)角也相等（三角形內(nèi)角和為180°），且對(duì)應(yīng)邊成比例，因此這兩個(gè)三角形相似?；脽羝?：相似三角形的判定定理1（用角的關(guān)系：兩角分別相等）定理規(guī)范表述：內(nèi)容：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)記為“AA”判定，即“Angle-Angle”判定）。推導(dǎo)依據(jù)：三角形內(nèi)角和為180°，若兩個(gè)角分別相等，則第三個(gè)角必然相等（三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等）。通過(guò)探究測(cè)量可知，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形，對(duì)應(yīng)邊成比例，滿(mǎn)足相似三角形的定義。幾何語(yǔ)言：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∵∠A=∠A'，∠B=∠B'（已知），∴△ABC∽△A'B'C'（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）。注意要點(diǎn)：只需“兩個(gè)角分別相等”即可判定相似，無(wú)需再驗(yàn)證第三個(gè)角（由內(nèi)角和定理可推導(dǎo)），也無(wú)需驗(yàn)證邊的比例（由角的關(guān)系可推導(dǎo)邊成比例）?；脽羝?：定理的常見(jiàn)應(yīng)用場(chǎng)景與反例常見(jiàn)應(yīng)用場(chǎng)景：含公共角的三角形：如圖，在△ABC中，D在AB上，DE∥BC，交AC于E，則∠A是△ABC和△ADE的公共角，且∠ADE=∠B（同位角相等），因此△ABC∽△ADE。含對(duì)頂角的三角形：如圖，AB和CD相交于O，若∠A=∠D，則∠AOC=∠DOB（對(duì)頂角相等），因此△AOC∽△DOB。直角三角形：兩個(gè)直角三角形，若有一個(gè)銳角相等，則另一個(gè)銳角也相等（直角都是90°），因此這兩個(gè)直角三角形相似（如含30°

角的直角三角形都相似）。反例分析（一個(gè)角相等不能判定相似）：展示圖形：△ABC中∠A=30°，∠B=60°（直角三角形）；△DEF中∠D=30°，∠E=30°（等腰三角形）。分析：雖然兩個(gè)三角形都有30°

角（一個(gè)角相等），但其他角不相等（△ABC中∠C=90°，△DEF中∠F=120°），對(duì)應(yīng)邊也不成比例，因此兩個(gè)三角形不相似。結(jié)論：僅一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似，必須滿(mǎn)足“兩個(gè)角分別相等”。幻燈片6：典型例題解析（含公共角的相似判定）例題展示：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠BAD=∠C。求證：△ABD∽△CBA。證明過(guò)程：找相等的角：已知∠BAD=∠C（題目給出）?！螧是△ABD和△CBA的公共角（兩個(gè)三角形都含∠B）。應(yīng)用判定定理：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B（公共角），∴△ABD∽△CBA（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）。解題思路總結(jié)：第一步：觀察圖形，尋找公共角、對(duì)頂角或已知條件中給出的相等角；第二步：驗(yàn)證是否有兩個(gè)角分別相等；第三步：根據(jù)“AA”判定定理得出相似結(jié)論?；脽羝?：課堂練習(xí)1（基礎(chǔ)應(yīng)用：直角三角形相似判定）題目展示：判斷下列各組直角三角形是否相似，并說(shuō)明理由?！鰽BC中，∠C=90°，∠A=30°；△DEF中，∠F=90°，∠D=30°?！鱉NP中，∠P=90°，MN=5，NP=3；△QRS中，∠S=90°，QR=10，RS=6。解答過(guò)程：相似。理由：兩個(gè)三角形都是直角三角形，∴∠C=∠F=90°（一組角相等）。又∠A=∠D=30°（另一組角相等），根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，可得△ABC∽△DEF。相似。理由：兩個(gè)三角形都是直角三角形，∴∠P=∠S=90°（一組角相等）。計(jì)算銳角：在△MNP中，\(\cosa?

N=\frac{NP}{MN}=\frac{3}{5}\)；在△QRS中，\(\cosa?

R=\frac{RS}{QR}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)，∴∠N=∠R（另一組角相等），根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，可得△MNP∽△QRS。幻燈片8：課堂練習(xí)2（綜合應(yīng)用：含對(duì)頂角的相似判定）題目展示：如圖，已知AB∥CD，AD和BC相交于點(diǎn)O。求證：△AOB∽△DOC。證明過(guò)程：利用平行線找相等角：∵AB∥CD（已知），∴∠OAB=∠ODC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠OBA=∠OCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。應(yīng)用判定定理：∵∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD，∴△AOB∽△DOC（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）。拓展提問(wèn)：若AB=4，CD=6，求AO與OD的比（提示：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）。解答：∵△AOB∽△DOC，∴\(\frac{AO}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)?；脽羝?：課堂總結(jié)知識(shí)梳理：核心定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似（AA判定），只需兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即可判定相似。關(guān)鍵邏輯：三角形內(nèi)角和為180°，兩個(gè)角相等→第三個(gè)角相等→三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等→對(duì)應(yīng)邊成比例→滿(mǎn)足相似三角形定義。常見(jiàn)應(yīng)用場(chǎng)景：含公共角的三角形（如△ABC與△ABD共∠B）；含對(duì)頂角的三角形（如△AOC與△DOB共對(duì)頂角∠AOC=∠DOB）；直角三角形（一個(gè)銳角相等即可判定相似）。易錯(cuò)點(diǎn)：僅一個(gè)角相等不能判定相似，必須滿(mǎn)足“兩個(gè)角分別相等”。解題步驟：觀察圖形，識(shí)別公共角、對(duì)頂角或利用平行線、已知條件找相等角；驗(yàn)證是否有兩組角分別相等；依據(jù)AA判定定理得出相似結(jié)論；（可選）利用相似三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊成比例）求解未知線段?；脽羝?0：課后作業(yè)布置書(shū)面作業(yè)：課本課后練習(xí)題，完成用AA判定定理證明三角形相似的題目，要求寫(xiě)出完整的證明過(guò)程（標(biāo)注依據(jù)）。拓展題：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D。求證：△ACD∽△ABC∽△CBD（提示：利用直角和公共角找相等角）。實(shí)踐作業(yè)：用硬紙板制作兩個(gè)含60°

角的直角三角形（大小不同），測(cè)量它們的各角度數(shù)和對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度，驗(yàn)證“兩角分別相等的三角形相似”；觀察生活中應(yīng)用“角的關(guān)系判定相似”的場(chǎng)景（如斜拉橋的三角形支架、攝影鏡頭的三角架），用文字描述其中的相似關(guān)系，下節(jié)課分享你的發(fā)現(xiàn)。2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

23.3.2.1相似三角形的判定--用角的關(guān)系判定三角形相似第23章

圖形的相似aiTujmiaNg問(wèn)題1兩個(gè)三角形全等有哪些判定方法？問(wèn)題2我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些判定三角形相似的方法？觀察與思考如下圖畫(huà)一個(gè)三角形，再畫(huà)一個(gè)三角形，使它的各邊長(zhǎng)都是原來(lái)三角形各邊長(zhǎng)的

k倍，度量這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，它們相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？E解：相等，因而相似.利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等判定兩個(gè)三角形相似CBAF如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)

D，使A′D=AB．過(guò)點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求證：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴∴A′E=AC.

又∠A′=

∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴由此得到利用兩邊和夾角來(lái)判定三角形相似的定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．符號(hào)語(yǔ)言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.歸納：如果兩個(gè)三角形兩邊成比例，但對(duì)應(yīng)相等的角不是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形是否相似呢？畫(huà)一畫(huà)，量一量.ABCDEF不相似探究歸納歸納：如果兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，但對(duì)應(yīng)相等的角不是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形不一定相似.注意：對(duì)應(yīng)相等的角一定要是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角.

如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.∴△ABC∽△ADE.練一練證明：如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB

=

6，BC

=

4，AC

=

5，CD

=，求AD的長(zhǎng)．ABCD解：∵AB

=

6，BC

=

4，AC

=

5，CD

=

，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，∴

畫(huà)△ABC和△A′B′C′，使

，動(dòng)手量一量這兩個(gè)三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個(gè)三角形是否相似？利用三邊對(duì)應(yīng)成比例判定兩個(gè)三角形相似合作探究ABCC′B′A′∴DE

=B′C′，EA

=

C′A′.∴△ADE

≌

△A′B′C′

△A′B′C′∽△ABC.∴，.

又，AD

=

A′B′，∴∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交

AC

于點(diǎn)E.證明:在線段AB(或延長(zhǎng)線)上截取AD

=

A′B′，C′B′A′BCADE△ABC∽△A′B′C′ 如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)單地說(shuō)：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.ABCC′B′A′歸納總結(jié)利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．∵，∴△ABC∽△A′B′C.符號(hào)語(yǔ)言：1.如圖，已知，試說(shuō)明∠BAD

=∠CAE.解：∵

，∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC

=∠DAE.∴∠BAC－∠DAC

=∠DAE－∠DAC，即∠BAD

=∠CAE.練一練ADCEB2.

已知

AB

=

10，BC

=

8，AC

=

16，A′B′

=

16，B′C′

=

12.8，

C′A′

=

25.6，試說(shuō)明△ABC∽△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)，分別算出三條對(duì)應(yīng)邊的比值，看是否相等，計(jì)算時(shí)最長(zhǎng)邊與最長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)，最短邊與最短邊對(duì)應(yīng).方法歸納1.根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說(shuō)明理由.∠A=120°，AB=3cm，AC=6cm，∠A′

=120°，A′B′

=6cm，A′C′

=12cm.∴A′B′

:

AB

=

A′C′

:

AC，∠A

=∠A′，∴△A′B′C′∽△ABC解：∵A′B′

:

AB

=

2，A′C′:

AC

=

2，∠A

=∠A′

=120°.

(2)AB=4cm，BC

=6cm，AC

=8cm，A′B′

=12cm，B′C′

=18cm，A′C′

=21cm2.

判斷圖中△AEB和△FEC

是否相似？解：∵∴△AEB∽△FEC.

∵∠1＝∠2，∴54303645EAFCB12((返回1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，連結(jié)CD．只需添加一個(gè)條件即可證明△ACD與△ABC相似，這個(gè)條件可以是_________________________(寫(xiě)出一個(gè)即可).∠ACD＝∠B(答案不唯一)2.[2023·東營(yíng)]如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°，若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為(

)A．1.8 B．2.4C．3 D．3.2返回【答案】C3.如圖，在△ABC中，AB＜AC，將△ABC以點(diǎn)