2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與圖像處理試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知圖像像素點(diǎn)坐標(biāo)$(x,y)$滿(mǎn)足函數(shù)$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，則該像素點(diǎn)在$x\in[0,\pi]$區(qū)間內(nèi)的對(duì)稱(chēng)軸方程為（）A.$x=\frac{\pi}{12}$B.$x=\frac{\pi}{6}$C.$x=\frac{\pi}{3}$D.$x=\frac{\pi}{2}$在RGB色彩模型中，某像素點(diǎn)的顏色值為$(255,0,128)$，將其轉(zhuǎn)換為灰度值（灰度值公式：$Gray=0.299R+0.587G+0.114B$），結(jié)果為（）A.64B.76C.128D.255對(duì)圖像進(jìn)行高斯模糊處理時(shí)，需計(jì)算像素點(diǎn)$(i,j)$與鄰域像素的加權(quán)平均。若卷積核為$\begin{bmatrix}1&2&1\2&4&2\1&2&1\end{bmatrix}$，則該核對(duì)應(yīng)的權(quán)重總和為（）A.8B.16C.32D.64已知集合$A={x|x$為圖像中滿(mǎn)足$0<\text{灰度值}<128$的像素點(diǎn)$}$，集合$B={x|x$為圖像中滿(mǎn)足$64<\text{灰度值}<192$的像素點(diǎn)$}$，則$A\capB$對(duì)應(yīng)的灰度值范圍是（）A.$(0,64)$B.$(64,128)$C.$(128,192)$D.$(0,192)$在平面直角坐標(biāo)系中，將圖像上的點(diǎn)$(x,y)$繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$90^\circ$，變換后的坐標(biāo)為（）A.$(y,-x)$B.$(-y,x)$C.$(-x,-y)$D.$(x,-y)$某圖像分辨率為$1920\times1080$，每個(gè)像素用24位真彩色表示（RGB各8位），則該圖像的存儲(chǔ)容量約為（）A.2MBB.5MBC.6MBD.10MB函數(shù)$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$的圖像在圖像處理中可用于（）A.閾值分割B.對(duì)比度增強(qiáng)C.邊緣檢測(cè)D.噪聲過(guò)濾已知向量$\vec{a}=(1,2)$表示圖像中某像素的水平和垂直偏移量，向量$\vec=(3,4)$表示另一像素偏移量，則$\vec{a}$與$\vec$的數(shù)量積對(duì)應(yīng)的圖像變換效果為（）A.旋轉(zhuǎn)B.縮放C.平移D.投影對(duì)圖像進(jìn)行離散余弦變換（DCT）時(shí)，二維DCT變換公式為$F(u,v)=\frac{2}{\sqrt{MN}}C(u)C(v)\sum_{i=0}^{M-1}\sum_{j=0}^{N-1}f(i,j)\cos\left(\frac{(2i+1)u\pi}{2M}\right)\cos\left(\frac{(2j+1)v\pi}{2N}\right)$，其中$C(k)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2}},&k=0\1,&k>0\end{cases}$。若圖像尺寸為$2\times2$，則$F(0,0)$的值為（）A.$\frac{1}{2}[f(0,0)+f(0,1)+f(1,0)+f(1,1)]$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}[f(0,0)+f(0,1)+f(1,0)+f(1,1)]$C.$[f(0,0)+f(0,1)+f(1,0)+f(1,1)]$D.$\sqrt{2}[f(0,0)+f(0,1)+f(1,0)+f(1,1)]$某班級(jí)50名學(xué)生參加“數(shù)學(xué)建?！焙汀皥D像處理”兩個(gè)興趣小組，其中參加數(shù)學(xué)建模的有30人，參加圖像處理的有25人，兩個(gè)小組都參加的人數(shù)為$x$，則$x$的取值范圍是（）A.$[0,25]$B.$[5,25]$C.$[5,30]$D.$[25,30]$在圖像銳化處理中，常用拉普拉斯算子$\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partialx^2}+\frac{\partial^2f}{\partialy^2}$。若圖像函數(shù)$f(x,y)=x^2y+xy^2$，則$\nabla^2f$在點(diǎn)$(1,1)$處的值為（）A.2B.4C.6D.8小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，其在圖像處理中的主要優(yōu)勢(shì)是（）A.只能處理靜態(tài)圖像B.可實(shí)現(xiàn)多分辨率分析C.計(jì)算復(fù)雜度高于傅里葉變換D.無(wú)法保留圖像邊緣信息二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某圖像的傅里葉變換結(jié)果中，高頻分量對(duì)應(yīng)圖像的__________（填“細(xì)節(jié)”或“輪廓”）信息。已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，將其圖像在$x$軸方向拉伸2倍，得到的新函數(shù)解析式為_(kāi)_________。在圖層蒙版技術(shù)中，蒙版的灰度值為0時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像區(qū)域?qū)_________（填“完全顯示”或“完全隱藏”）。某三維建模場(chǎng)景中，球體的球心坐標(biāo)為$(2,3,4)$，半徑為5，則該球體表面上任意一點(diǎn)$(x,y,z)$滿(mǎn)足的方程為_(kāi)_________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）在圖像幾何變換中，將點(diǎn)$P(1,2)$先沿$x$軸平移3個(gè)單位，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$90^\circ$，求變換后的坐標(biāo)。（12分）已知圖像的灰度值函數(shù)為$f(x,y)=2x+3y+1$，其中$x,y\in[0,10]$（單位：像素）。（1）計(jì)算該圖像的梯度向量$\nablaf=(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy})$；（2）若對(duì)圖像進(jìn)行閾值分割，閾值$T=20$，求滿(mǎn)足$f(x,y)\geqT$的像素點(diǎn)$(x,y)$的區(qū)域。（12分）某班級(jí)40名學(xué)生參加攝影、繪畫(huà)和編程三個(gè)社團(tuán)，每位學(xué)生至少參加一個(gè)社團(tuán)。已知參加攝影社團(tuán)的有20人，繪畫(huà)社團(tuán)的有15人，編程社團(tuán)的有25人，同時(shí)參加攝影和繪畫(huà)的有5人，同時(shí)參加繪畫(huà)和編程的有8人，同時(shí)參加攝影和編程的有10人。（1）用韋恩圖表示三個(gè)社團(tuán)的人數(shù)關(guān)系；（2）求同時(shí)參加三個(gè)社團(tuán)的人數(shù)。（12分）在圖像處理中，中值濾波常用于去除椒鹽噪聲?，F(xiàn)有一個(gè)$3\times3$的像素塊灰度值矩陣：$\begin{bmatrix}10&20&15\25&100&30\18&22&28\end{bmatrix}$（1）計(jì)算該矩陣的中值；（2）若中心像素點(diǎn)$(2,2)$被椒鹽噪聲污染（灰度值變?yōu)?55），重新計(jì)算中值濾波后的結(jié)果。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$為高斯函數(shù)，其中$\mu=0$，$\sigma=1$。（1）求該函數(shù)圖像與$x$軸圍成的面積；（2）若用該函數(shù)作為卷積核對(duì)圖像進(jìn)行模糊處理，解釋$\sigma$值增大對(duì)圖像效果的影響。（12分）在三維建模中，一個(gè)棱錐的底面為直角三角形$ABC$，其中$A(0,0,0)$，$B(3,0,0)$，$C(0,4,0)$，頂點(diǎn)$D(0,0,5)$。（1）求棱錐的體積；（2）若對(duì)該棱錐進(jìn)行材質(zhì)貼圖，已知底面$ABC$的面積為6，側(cè)面$ABD$的面積為$\frac{15}{2}$，求貼圖時(shí)需要處理的總面積。四、綜合應(yīng)用題（本大題共1小題，20分）某科研小組需對(duì)衛(wèi)星拍攝的矩形區(qū)域圖像進(jìn)行分析，圖像尺寸為$1024\times1024$像素，每個(gè)像素的坐標(biāo)$(x,y)$滿(mǎn)足$0\leqx,y\leq1023$。（1）若圖像中目標(biāo)區(qū)域的邊界滿(mǎn)足函數(shù)$y=x^2-2x+3$，求該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸；（2）對(duì)圖像進(jìn)行直方圖均衡化處理，已知原始灰度值分布概率密度函數(shù)為$p_r(r)=\frac{1}{255}$（$0\leqr\leq255$），求均衡化后的灰度值變換函數(shù)$s=T(r)$；（3）若使用$3\times3$的Sobel算子（水平方向：$\begin{bmatrix}-1&0&1\-2&0&2\-1&0&1\end{bmatrix}$）檢測(cè)圖像邊緣，計(jì)算像素點(diǎn)$(5,5)$的水平梯度值（假設(shè)鄰域像素灰度值均為100）。五、開(kāi)放創(chuàng)新題（本大題共1小題，20分）結(jié)合數(shù)學(xué)建模與圖像處理知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)解決“圖像壓縮與重建”