2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與謠言傳播模型試卷一、選擇題（每題5分，共30分）在社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型中，若用有向圖G=(V,E)表示用戶關(guān)注關(guān)系，其中邊(u,v)的權(quán)重p_uv表示傳播概率，則以下模型中屬于確定性傳播模型的是（）A.獨(dú)立級聯(lián)模型（IC）B.線性閾值模型（LT）C.SIR傳染病模型D.隨機(jī)游走模型某社交平臺有1000個(gè)用戶，初始時(shí)刻只有1人傳播謠言，若采用SI模型（假設(shè)每人每天平均傳播2人，且傳播后持續(xù)傳播），則第3天末的謠言傳播人數(shù)為（）A.1+2+4=7人B.2^3=8人C.1×(1+2)^3=27人D.1000×(1-e^(-2×3))人在網(wǎng)絡(luò)中心性指標(biāo)計(jì)算中，衡量用戶處于謠言傳播關(guān)鍵路徑上程度的指標(biāo)是（）A.度中心性B.介數(shù)中心性C.緊密中心性D.特征向量中心性以下哪種策略不屬于謠言傳播干預(yù)的圖論方法（）A.最小割算法分割傳播源與目標(biāo)節(jié)點(diǎn)B.貪心算法選擇高影響力用戶C.最大流算法確定關(guān)鍵傳播路徑D.PageRank算法計(jì)算用戶重要性若某社交網(wǎng)絡(luò)符合無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性，當(dāng)謠言爆發(fā)時(shí)，最有效的初始干預(yù)節(jié)點(diǎn)應(yīng)選擇（）A.隨機(jī)選擇普通用戶B.選擇連接度最高的樞紐節(jié)點(diǎn)C.選擇最新加入網(wǎng)絡(luò)的用戶D.選擇傳播路徑最長的用戶在澄清信息投放策略中，"自動附帶澄清"與"獨(dú)立發(fā)布澄清"的主要區(qū)別在于（）A.前者需要用戶同意，后者無需同意B.前者僅影響謠言轉(zhuǎn)發(fā)鏈，后者可主動擴(kuò)散C.前者成本更高，后者成本更低D.前者適用于無向圖，后者適用于有向圖二、填空題（每題5分，共30分）某社交網(wǎng)絡(luò)用戶關(guān)注關(guān)系矩陣如下（行表示關(guān)注者，列表示被關(guān)注者）：0110001110000010則用戶2的出度中心性值為______，用戶3的入度中心性值為______。改進(jìn)的SIR模型中，將人群分為三類：（易感者）、（感染者）、（恢復(fù)者/免疫者），若引入澄清信息影響，應(yīng)新增（知曉澄清者）類別。設(shè)謠言傳播概率p=0.3，現(xiàn)有用戶A關(guān)注用戶B和C，當(dāng)A傳播謠言后，B和C至少有一人被感染的概率是______。在最小割問題中，若要將謠言源節(jié)點(diǎn)s與目標(biāo)區(qū)域T分離，需找到邊權(quán)之和最小的割集，該問題可通過______定理轉(zhuǎn)化為最大流問題求解。某平臺計(jì)劃選擇m=3個(gè)用戶發(fā)布澄清信息，現(xiàn)有用戶影響力排序?yàn)関1(0.82)、v2(0.75)、v3(0.68)、v4(0.62)，若采用貪心選擇策略，應(yīng)選擇______、______、______用戶。動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播的干預(yù)策略需考慮兩個(gè)關(guān)鍵時(shí)間維度：（謠言擴(kuò)散階段）和（澄清信息擴(kuò)散階段）。三、解答題（共90分）1.基礎(chǔ)傳播模型計(jì)算（15分）某中學(xué)班級微信群有50名學(xué)生，采用SI模型研究謠言傳播：初始感染者1人（t=0時(shí)）每個(gè)感染者每天接觸5名未感染者接觸后感染概率為0.2（1）建立每日新增感染人數(shù)的遞推公式；（2）計(jì)算t=3天時(shí)的累計(jì)感染人數(shù)；（3）若第4天發(fā)布澄清信息使感染概率降為0.05，求t=5天時(shí)的累計(jì)感染人數(shù)。解答：（1）設(shè)I(t)為t時(shí)刻感染人數(shù)，S(t)=50-I(t)為易感人數(shù)，傳播概率p=0.2，接觸人數(shù)k=5。每日新增感染人數(shù)ΔI(t)=p·k·I(t)·S(t)/N（N=50總?cè)藬?shù)）遞推公式：I(t+1)=I(t)+0.2×5×I(t)×(50-I(t))/50化簡得：I(t+1)=I(t)+0.2I(t)(1-I(t)/50)（2）t=0時(shí)I(0)=1t=1：I(1)=1+0.2×1×(1-1/50)=1.196≈2t=2：I(2)=2+0.2×2×(1-2/50)=2+0.384=2.384≈3t=3：I(3)=3+0.2×3×(1-3/50)=3+0.564=3.564≈4累計(jì)感染人數(shù)為4人（3）t=4時(shí)p'=0.05I(4)=4+0.05×4×(1-4/50)=4+0.05×4×0.92=4.184≈5t=5：I(5)=5+0.05×5×(1-5/50)=5+0.05×5×0.9=5.225≈6累計(jì)感染人數(shù)為6人2.中心性指標(biāo)計(jì)算（20分）社交網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖所示（節(jié)點(diǎn)表示用戶，有向邊表示關(guān)注關(guān)系）：1→2→4↑↗↓3→5（1）計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的度中心性（出度/入度）；（2）計(jì)算節(jié)點(diǎn)2的介數(shù)中心性（提示：需考慮所有節(jié)點(diǎn)對的最短路徑）；（3）若謠言源為節(jié)點(diǎn)3，根據(jù)中心性指標(biāo)應(yīng)優(yōu)先選擇哪兩個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行澄清信息投放？解答：（1）度中心性計(jì)算：節(jié)點(diǎn)1：出度=1（→2），入度=1（←3）節(jié)點(diǎn)2：出度=2（→4,→5），入度=2（←1,←3）節(jié)點(diǎn)3：出度=2（→1,→2），入度=0節(jié)點(diǎn)4：出度=0，入度=1（←2）節(jié)點(diǎn)5：出度=0，入度=1（←2）（2）介數(shù)中心性計(jì)算：所有節(jié)點(diǎn)對的最短路徑：3→1→2→4，3→1→2→5，3→2→4，3→2→5，1→2→4，1→2→5，3→1，3→2，2→4，2→5經(jīng)過節(jié)點(diǎn)2的路徑有：3→1→2→4、3→1→2→5、3→2→4、3→2→5、1→2→4、1→2→5共6條路徑，節(jié)點(diǎn)2的介數(shù)中心性=6/（C(5,2)×2）=6/(20)=0.3（3）優(yōu)先選擇節(jié)點(diǎn)3（出度最高，源頭控制）和節(jié)點(diǎn)2（介數(shù)最高，關(guān)鍵樞紐）3.圖論干預(yù)策略（25分）某謠言傳播網(wǎng)絡(luò)簡化為有向圖G=(V,E)，其中V={s,a,b,c,d,t}，E={(s,a,0.8),(s,b,0.5),(a,c,0.6),(b,c,0.7),(c,d,0.9),(a,d,0.4),(d,t,0.8)}，邊權(quán)重表示傳播概率。（1）畫出該傳播網(wǎng)絡(luò)的有向圖；（2）使用Dijkstra算法計(jì)算從源節(jié)點(diǎn)s到目標(biāo)t的最大概率路徑；（3）若平臺可封禁2個(gè)節(jié)點(diǎn)（s和t不可封禁），應(yīng)選擇哪兩個(gè)節(jié)點(diǎn)可最大程度阻斷傳播？說明理由。解答：（1）有向圖結(jié)構(gòu)：s→a(0.8)→c(0.6)→d(0.9)→t(0.8)|↘(0.4)↑↓|b(0.5)→c(0.7)（2）最大概率路徑計(jì)算：s→a→c→d→t：0.8×0.6×0.9×0.8=0.3456s→a→d→t：0.8×0.4×0.8=0.256s→b→c→d→t：0.5×0.7×0.9×0.8=0.252最大概率路徑為s→a→c→d→t，概率0.3456（3）節(jié)點(diǎn)阻斷選擇：應(yīng)選擇a和c節(jié)點(diǎn)。理由：a是s的主要出邊節(jié)點(diǎn)（0.8>0.5），阻斷a可切斷高概率傳播路徑c是所有路徑的必經(jīng)節(jié)點(diǎn)（a→c和b→c匯聚），阻斷c可完全切斷向d的傳播兩節(jié)點(diǎn)組合可阻斷所有從s到t的傳播路徑4.綜合建模題（30分）某社交平臺有10萬用戶，檢測到謠言已傳播至500人。平臺計(jì)劃采用兩種澄清策略：策略A：選擇m=50個(gè)用戶，在其轉(zhuǎn)發(fā)謠言時(shí)自動附帶澄清（假設(shè)被干預(yù)用戶的傳播阻斷率為100%）策略B：選擇m=50個(gè)用戶，獨(dú)立發(fā)布澄清信息（用戶同意概率p=0.6，每個(gè)同意用戶可使100人知曉澄清）（1）建立兩種策略的效果評估模型（需包含目標(biāo)函數(shù)和關(guān)鍵參數(shù)）；（2）若采用策略A，應(yīng)如何選擇50個(gè)用戶（需說明選擇指標(biāo)和算法步驟）；（3）對比分析兩種策略在以下場景的適用性：①謠言爆發(fā)初期；②謠言擴(kuò)散中期；③謠言衰退期。解答：（1）效果評估模型策略A目標(biāo)函數(shù)：MinimizeR_A=∑(v∈V)I_v·(1-x_v·c_v)其中I_v為用戶v的初始感染狀態(tài)，x_v∈{0,1}為是否選擇用戶v，c_v為阻斷覆蓋率策略B目標(biāo)函數(shù)：MaximizeE[R_B]=∑(v∈S)p_v·k_v其中S為選擇的用戶集合(|S|≤50)，p_v為同意概率，k_v為影響人數(shù)關(guān)鍵參數(shù)：網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、傳播概率矩陣、用戶影響力權(quán)重、干預(yù)成本系數(shù)（2）策略A的用戶選擇算法步驟1：計(jì)算所有用戶的三個(gè)中心性指標(biāo)出度中心性：衡量直接影響范圍介數(shù)中心性：衡量傳播路徑控制能力傳播活躍度：基于歷史轉(zhuǎn)發(fā)頻率的加權(quán)值步驟2：指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化處理將三個(gè)指標(biāo)歸一化到[0,1]區(qū)間，權(quán)重分配為0.4、0.4、0.2步驟3：綜合排序與選擇計(jì)算綜合得分S=0.4C_out+0.4C_between+0.2A_active，選擇得分最高的50個(gè)用戶步驟4：局部優(yōu)化對前100名用戶進(jìn)行貪婪迭代優(yōu)化，剔除存在強(qiáng)重疊覆蓋的用戶（3）策略適用性對比謠言爆發(fā)初期（感染<10%）：策略A更優(yōu)，此時(shí)傳播鏈較短，阻斷關(guān)鍵轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點(diǎn)可快速遏制擴(kuò)散謠言擴(kuò)散中期（10%-50%感染）：策略B更優(yōu)，獨(dú)立澄清可形成反向傳播效應(yīng)，覆蓋已感染但未傳播人群謠言衰退期（>50%感染）：混合策略更優(yōu)，A策略阻斷殘余傳播鏈，B策略加速謠言消解四、附加題（20分）某研究團(tuán)隊(duì)提出"時(shí)變傳播率模型"，假設(shè)謠言傳播率隨時(shí)間變化：β(t)=β0·e^(-αt)，其中β0=0.8，α=0.1（t為傳播天數(shù)）。初始感染人數(shù)I(0)=10，總?cè)藬?shù)N=1000。（1）建立該模型的微分方程；（2）求解解析解I(t)；（3）計(jì)算傳播峰值出現(xiàn)的時(shí)間點(diǎn)，并分析α值對傳播速度的影響。解答：（1）微分方程建立dI/dt=β(t)·I(t)·(N-I(t))/N代入β(t)得：dI/dt=0.8e^(-0.1t)·I(1-I/1000)（2）解析解求解分離變量并積分：∫[1/(I(1-I/1000))]dI=∫0.8e^(-0.1t)dt左側(cè)積分得：ln[I/(1000-I)]=-8e^(-0.1t)+C代入初始條件I(0)=10：ln(10/990)=-8+C→C=ln(1/99)+8解析解：I(t)=1000/[1+99e^(8(e^(-0.1t)-1))]（3）傳播峰值分析令d2I/dt2=0，解得峰值時(shí)間t≈7.3天α值影響：α增大（衰減加快）會使傳播峰值降低且提前出現(xiàn)；α減小則傳播周期延長，峰值增高。這表明謠言衰減速度越快，干預(yù)效果越顯著。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（簡版）一、選