2025年下學期高中數(shù)學與醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)優(yōu)化試卷一、醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)采集與數(shù)學建?；A醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)（IoMT）通過智能傳感器、可穿戴設備和嵌入式系統(tǒng)實現(xiàn)醫(yī)療數(shù)據(jù)的實時采集，其核心數(shù)學問題在于如何將物理世界的生理信號轉(zhuǎn)化為可分析的數(shù)學模型。以動態(tài)心電監(jiān)測為例，某款智能手環(huán)每秒采集200組心率數(shù)據(jù)，這些離散數(shù)據(jù)點構(gòu)成時間序列函數(shù)H(t)，其中t為采樣時刻（單位：秒），H(t)為心率值（單位：次/分鐘）。學生需掌握使用傅里葉變換將時域信號轉(zhuǎn)換為頻域特征，識別心率變異性（HRV）中的高頻成分（0.15-0.4Hz）與低頻成分（0.04-0.15Hz），通過功率譜密度分析評估自主神經(jīng)系統(tǒng)功能。在體溫監(jiān)測場景中，接觸式傳感器采集的腋下溫度數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的周期性波動。設某患者體溫數(shù)據(jù)符合正弦函數(shù)模型T(t)=37.2+0.5sin(πt/12)，其中t為監(jiān)測時長（單位：小時）。通過求解該函數(shù)的導數(shù)T’(t)=0.5*(π/12)cos(πt/12)，可確定體溫變化速率的極值點，當t=6k（k∈N）時出現(xiàn)體溫上升最快時刻，為臨床發(fā)熱預警提供數(shù)學依據(jù)。這種基于三角函數(shù)的建模方法，可直接遷移到血糖濃度晝夜節(jié)律、呼吸頻率變化等生理指標分析中。二、線性規(guī)劃在醫(yī)療資源調(diào)度中的應用某三甲醫(yī)院急診中心采用醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)實時監(jiān)測救護車位置與急診資源狀態(tài)，需通過線性規(guī)劃優(yōu)化急救資源配置。已知該中心每日有A、B兩種型號救護車，A型車配備高級生命支持設備，每車次成本800元，可服務5名危重癥患者；B型車配備基礎急救設備，每車次成本500元，可服務8名輕癥患者。設每日調(diào)度A型車x輛、B型車y輛，需滿足：5x+8y≥100（每日至少服務100名患者）x≤15，y≤20（車輛總數(shù)限制）800x+500y≤20000（每日預算約束）x,y∈N+（非負整數(shù)解）通過繪制可行域并計算目標函數(shù)Z=800x+500y的最小值，可得最優(yōu)解為x=8，y=10，此時每日最低運營成本11400元，服務患者120人次。該模型可進一步拓展為整數(shù)規(guī)劃問題，當引入救護車響應時間約束（如3公里內(nèi)15分鐘到達）時，需結(jié)合平面直角坐標系中的距離公式d=√[(x?-x?)2+(y?-y?)2]，構(gòu)建更復雜的混合整數(shù)規(guī)劃模型。三、概率統(tǒng)計與醫(yī)療風險評估模型在糖尿病視網(wǎng)膜病變篩查中，醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)設備采集的眼底圖像特征需通過概率模型評估病變風險。某數(shù)據(jù)集包含1000例患者樣本，其中230例確診病變，定義隨機變量X為"黃斑區(qū)出血點數(shù)量"，Y為"微動脈瘤直徑"（單位：μm）。經(jīng)統(tǒng)計分析，X服從參數(shù)λ=4.2的泊松分布P(X=k)=(e??.2*4.2?)/k!，Y服從正態(tài)分布N(35,82)。當某患者檢測到X=7個出血點，Y=52μm時，通過計算聯(lián)合概率P(X≥7)∩P(Y≥52)，結(jié)合貝葉斯公式更新病變概率：P(病變|X=7,Y=52)=P(X=7,Y=52|病變)*P(病變)/P(X=7,Y=52)其中先驗概率P(病變)=0.23，條件概率通過極大似然估計求得。計算結(jié)果顯示該患者病變概率達0.87，需優(yōu)先安排眼底熒光造影檢查。這種基于概率統(tǒng)計的風險評估方法，已廣泛應用于醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)中的乳腺癌篩查、心血管事件預測等場景。四、圖論與醫(yī)療設備網(wǎng)絡優(yōu)化某智慧醫(yī)院的醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)包含500個傳感器節(jié)點，需通過圖論方法優(yōu)化數(shù)據(jù)傳輸路徑。將設備節(jié)點抽象為無向圖G=(V,E)，其中V為節(jié)點集（|V|=500），E為邊集（每條邊表示設備間通信鏈路），邊權值w(e)為傳輸延遲（單位：毫秒）。采用Dijkstra算法求解從中心服務器（節(jié)點1）到重癥監(jiān)護病房傳感器（節(jié)點289）的最短路徑，通過構(gòu)建優(yōu)先隊列實現(xiàn)時間復雜度O(M+NlogN)的路徑搜索（N為節(jié)點數(shù)，M為邊數(shù)）。在網(wǎng)絡可靠性分析中，需計算兩點間的最大流最小割。設某條關鍵鏈路的容量為10Mbps，當同時傳輸心電信號（2Mbps）、血壓數(shù)據(jù)（1.5Mbps）、影像流（5Mbps）時，根據(jù)Ford-Fulkerson算法，該鏈路的剩余容量為1.5Mbps，可支持新增血氧監(jiān)測數(shù)據(jù)傳輸。通過引入冗余鏈路構(gòu)建雙連通分量，能將系統(tǒng)故障概率從0.03降低至0.002，這對保障手術室等關鍵場景的醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)穩(wěn)定性至關重要。五、微分方程與生理系統(tǒng)建模醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)采集的人體血糖濃度數(shù)據(jù)可用微分方程描述動態(tài)變化過程。對于胰島素依賴型糖尿病患者，餐后血糖濃度G(t)滿足微分方程dG/dt=-kG+f(t)，其中k=0.12h?1為血糖自然衰減系數(shù)，f(t)為碳水化合物消化吸收函數(shù)（單位：mg/dL·h）。當患者攝入50g碳水化合物時，f(t)=150e??.??（t≥0），初始條件G(0)=90mg/dL。通過求解該一階線性非齊次微分方程，得到通解G(t)=e??.12?[∫150e?.3??dt+C]，代入初始條件后得特解G(t)=90e??.12?+(150/0.38)(e??.12?-e??.??)。計算可知餐后1.8小時血糖達峰值142mg/dL，3.5小時后回落至正常范圍（<110mg/dL）。該模型可通過醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)的實時血糖監(jiān)測數(shù)據(jù)進行參數(shù)修正，當患者運動時（k值增至0.18h?1），系統(tǒng)能自動調(diào)整胰島素輸注量，避免低血糖風險。六、數(shù)學建模實踐：遠程患者監(jiān)測系統(tǒng)優(yōu)化某醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)企業(yè)開發(fā)的遠程心電監(jiān)測系統(tǒng)需解決三個核心問題：數(shù)據(jù)壓縮傳輸、異常檢測算法、電源管理優(yōu)化。學生團隊采用以下數(shù)學方法開展建模實踐：數(shù)據(jù)壓縮：對原始心電信號（采樣率250Hz，16位精度）采用離散余弦變換（DCT），保留能量占比95%的低頻系數(shù)，壓縮比達8:1。通過建立壓縮誤差e與信號質(zhì)量指數(shù)QI的函數(shù)關系QI=0.98-0.03e，確保臨床診斷所需的信號完整性。異常檢測：構(gòu)建基于支持向量機（SVM）的心律失常分類模型，提取RR間期標準差（SDNN）、QT間期、ST段偏移量等12個特征參數(shù)。通過網(wǎng)格搜索優(yōu)化SVM核函數(shù)參數(shù)（C=10，γ=0.1），使模型準確率達92.3%，特異性89.7%，敏感性94.1%。電源管理：建立設備能耗模型E=αT+βN+γD，其中T為采樣時間（秒），N為傳輸次數(shù)，D為數(shù)據(jù)量（KB），系數(shù)α=0.05mWh/s，β=2.3mWh/次，γ=0.12mWh/KB。通過動態(tài)調(diào)整采樣頻率（正常狀態(tài)25Hz，異常狀態(tài)250Hz），使電池續(xù)航時間從3天延長至7天。該項目采用小組合作學習法（每組4人），通過頭腦風暴確定研究方案，任務分工包括數(shù)據(jù)采集（1人）、算法設計（2人）、系統(tǒng)測試（1人）。最終形成的項目研究報告包含23組對比實驗數(shù)據(jù)，驗證了數(shù)學建模在醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)優(yōu)化中的實際效果。這種基于真實場景的項目式學習，有效培養(yǎng)了學生的跨學科應用能力和創(chuàng)新思維。七、醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)中的數(shù)學倫理與安全在醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)應用中，需平衡技術優(yōu)化與倫理安全。某醫(yī)院的患者隱私保護模型采用k-匿名化處理，通過泛化（年齡區(qū)間化）、抑制（刪除敏感字段）、置換（隨機置換記錄順序）等方法，使數(shù)據(jù)集中每個個體在準標識符屬性上與至少k-1個其他個體不可區(qū)分。當k=5時，身份識別風險降至0.003，同時數(shù)據(jù)可用性保留87%。在加密傳輸方面，采用橢圓曲線密碼（ECC）算法，密鑰長度256位即可達到RSA3072位的安全強度，計算效率提升4倍。設橢圓曲線方程為y2=x3+ax+b（有限域GF(p)），通過求解離散對數(shù)問題實現(xiàn)數(shù)據(jù)加密，確保醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)中患者心率、用藥記錄等敏感數(shù)據(jù)的傳輸安全。這些數(shù)學方法的應用，為醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)的合規(guī)發(fā)展提供了技術保障。八、綜合應用題：智慧病房系統(tǒng)優(yōu)化某智慧病房部署了200個醫(yī)療物聯(lián)網(wǎng)設備，包括床旁監(jiān)護儀（30臺）、輸液泵（45臺）、環(huán)境傳感器（80個）、定位標簽（45個）。請完成以下數(shù)學建模任務：設備部署優(yōu)化：已知病房為10m×20m矩形區(qū)域，環(huán)境傳感器覆蓋半徑3m，采用正六邊形網(wǎng)格部署模型，計算最少需部署多少個傳感器可實現(xiàn)無死角覆蓋？（參考公式：正六邊形面積S=(3√3/2)r2，r為半徑）流量調(diào)度：各設備數(shù)據(jù)傳輸速率如下表，網(wǎng)絡總帶寬100Mbps，采用最大最小公平算法分配帶寬，計算輸液泵的實際傳輸速率。設備類型數(shù)量最小帶寬需求最大帶寬需求監(jiān)護儀302Mbps5Mbps輸液泵450.5Mbps2Mbps傳感器800.1Mbps0.5Mbps定位標簽450.2Mbps0.8Mbps能耗預測：建立設備能耗與工作時長的多元線性回歸模型，已知樣本數(shù)據(jù)（略），通過最小二乘法求解回歸方程E=β?+β?t?+β?t?+β?t?（t?：采樣時間，t?：傳輸次數(shù)，t?：待機時長），并檢驗模型顯著性（α=0.05）。（注：完整解答需包含建模假設、公式推導、計算過程及結(jié)果分析