《5.3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形》能力拓展訓(xùn)練一、單選題1．下列圖形中，對(duì)稱軸最多的圖形是（

）A．B．C．D．2．下列說法正確的是（

）①三角形的角平分線可能在三角形的內(nèi)部或外部

②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形

③三角形三條高都在三角形內(nèi)部

④三角形的三條中線交于一點(diǎn)A．①②③④ B．②④ C．①③ D．④3．如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交邊于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，兩弧相交于不同于點(diǎn)的另一點(diǎn)，再過點(diǎn)和點(diǎn)作直線，則作出的直線是（

）A．線段的垂直平分線 B．的中線所在的直線C．的平分線所在的直線 D．線段的垂線但不一定平分線段4．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．三角形的三條邊的中線都在三角形內(nèi)部 B．三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線都在三角形內(nèi)部C．三角形的三條高都在三角形內(nèi)部 D．直角三角形有兩條高與三角形的邊重合5．如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）A． B． C． D．6．如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，若的面積為4，則的面積是（

）A．8 B．12 C．16 D．207．如圖，△ABC的面積為16cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm28．在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線、高和這邊所對(duì)角的角平分線，最短的是（）A．角平分線 B．高 C．中線 D．不能確定9．如圖，，，分別是的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．二、填空題10．如圖，等腰中，，AB的垂直平分線交AC于D，那么的度數(shù)為___________．11．如圖，在?中，．分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E和點(diǎn)F；作直線EF，交AC于點(diǎn)G，連接GB．若GB與BC恰好垂直，則CG的長為_______．12．如圖，在中，，，，，平分交于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面說法中正確的有____________________________（填正確的序號(hào)）．14．如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N；②分別以M、N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)P；③作射線BP，交AC于點(diǎn)D．若，，則線段AD的長為_______．三、解答題15．如圖，在中，，垂足為D．垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的周長為，，求的長．16．如圖，中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、．求的度數(shù)．17．如圖，是的角平分線，、分別是和的高．求證．18．如圖．(1)尺規(guī)作圖邊上的中線；(2)如果，，求與的周長之差；(3)直接寫出與的面積之間的大小關(guān)系．19．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，OF⊥OE．(1)求∠BOD的度數(shù)；(2)求∠DOF的度數(shù)．20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)．(1)求證：△ADE≌△BDE；(2)求∠B的度數(shù)．21．已知：圖1，，直線分別交，于點(diǎn)，．的平分線與的平分線交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得到圖2，則________度；(3)如圖3，，直線分別交，于點(diǎn)，．點(diǎn)在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系是________

參考答案一、單選題1．下列圖形中，對(duì)稱軸最多的圖形是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：沿一條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，由此找出各個(gè)選項(xiàng)中對(duì)稱軸的條數(shù)，進(jìn)而比較即可得出答案．【詳解】解：A、此圖有無數(shù)條對(duì)稱軸；B、此圖有1條對(duì)稱軸；C、此圖有4條對(duì)稱軸；D、此圖有3條對(duì)稱軸；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，明確軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．2．下列說法正確的是（

）①三角形的角平分線可能在三角形的內(nèi)部或外部

②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形

③三角形三條高都在三角形內(nèi)部

④三角形的三條中線交于一點(diǎn)A．①②③④ B．②④ C．①③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)三角形的角平分線的定義和性質(zhì)判斷①；根據(jù)三角形分類判斷②；根據(jù)三角形的高的定義及性質(zhì)判斷③；根據(jù)三角形的中線的定義及性質(zhì)判斷④即可．【詳解】解：三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部，故①說法錯(cuò)誤；三角形按邊分類可分為等腰三角形、和不等邊三角形，等腰三角形分為等邊三角形和底和腰不相等的等腰三角形，故②說法錯(cuò)誤；銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部；直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部．故③說法錯(cuò)誤；三角形的三條中線交于一點(diǎn)，故④說法正確；所以說法正確的是④，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的角平分線、三角形的按邊分類，中線和高的定義及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高；三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線；連接三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．3．如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交邊于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，兩弧相交于不同于點(diǎn)的另一點(diǎn)，再過點(diǎn)和點(diǎn)作直線，則作出的直線是（

）A．線段的垂直平分線 B．的中線所在的直線C．的平分線所在的直線 D．線段的垂線但不一定平分線段【答案】D【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖，可以得到直線線段的垂直平分線，根據(jù)題意做出判斷即可．【詳解】解：連接、、，由作圖得，，，點(diǎn)、在線段的垂直平分線上，直線是線段的垂直平分線，，，點(diǎn)與不一定重合，A、B、C不一定正確．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖線段垂直平分線的做法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)基本作圖．4．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．三角形的三條邊的中線都在三角形內(nèi)部 B．三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線都在三角形內(nèi)部C．三角形的三條高都在三角形內(nèi)部 D．直角三角形有兩條高與三角形的邊重合【答案】C【詳解】A，三角形的中線是指一邊的中點(diǎn)與對(duì)頂點(diǎn)的連線，作圖知三角形的三條邊的中線都在三角形內(nèi)部，A選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B，三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線都在三角形內(nèi)部，B選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C，鈍角三角形的兩條高在形外，直角三角形兩條高與兩邊重合，C錯(cuò)誤，符合題意；D，直角三角形有兩條高與三角形的兩直角邊重合，D選項(xiàng)說法正確，不符合題意．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中的幾條重要的線段，關(guān)鍵是理解各種線段的概念，并且嘗試畫出對(duì)應(yīng)的圖形．5．如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由作圖痕跡得平分，垂直平分，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，作，依據(jù)垂線段最短，可得結(jié)論；【詳解】解：由作圖痕跡得平分，垂直平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查角的平分線作圖和線段的垂直平分線的作圖，解題關(guān)鍵判斷出角的平分線、線段的垂直平分線．6．如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，若的面積為4，則的面積是（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】過分別作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到：，利用等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊的比，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過分別作，垂足分別為：，∵平分，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故選C．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，△ABC的面積為16cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2【答案】B【詳解】延長AP交BC于E，根據(jù)AP垂直∠B的平分線BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積．【解答】解：延長AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∴∠ABP=∠EBP，又∵BP=BP，∠APB=∠EPB=90°，∴△ABP≌△EBP，∴，AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴，∴=×16=8（cm2），故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)點(diǎn).證明出三角形PBC的面積和原三角形的面積之間的數(shù)量關(guān)系是解題的難點(diǎn)．8．在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線、高和這邊所對(duì)角的角平分線，最短的是（）A．角平分線 B．高 C．中線 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)垂線段最短解答．【詳解】∵是三條邊都不相等的三角形的同一條邊上的中線、高和這邊所對(duì)角的角平分線，∴最短的是高線．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，理解垂線段最短是解題的關(guān)鍵．9．如圖，，，分別是的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．依此即可求解．【詳解】解：∵CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，無法確定AE＝BE．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握它們的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題10．如圖，等腰中，，AB的垂直平分線交AC于D，那么的度數(shù)為___________．【答案】##30度【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等，求出的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，可得，然后求∠DBC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，，∴，∵AB的垂直平分線交AC于D，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在?中，．分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E和點(diǎn)F；作直線EF，交AC于點(diǎn)G，連接GB．若GB與BC恰好垂直，則CG的長為_______．【答案】5【分析】利用基本作圖得到垂直平分，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，然后再中利用勾股定理得到，再解方程即可；【詳解】由作法得到垂直平分，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，設(shè)，則，∵，∴，在中，，解得：，即的長為5；故答案是5．【點(diǎn)撥】本題主要考查了基本作圖，熟練掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵，同時(shí)也考查了垂直平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．12．如圖，在中，，，，，平分交于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】在上取一點(diǎn)，使，連接，判斷出，得出，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)C，E，在同一條線上，且時(shí)，最小，即最小，其值為，最后用面積法，即可求出答案．【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，平分，，，∴，，，∴當(dāng)點(diǎn)C，E，在同一條線上，且時(shí)，最小，即最小，其值為，，，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，三角形的面積公式，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面說法中正確的有____________________________（填正確的序號(hào)）．【答案】①②③【分析】①利用三角形的中線，可知△ABE和△BEC是等底同高的兩個(gè)三角形，即可判斷；②根據(jù)等角的補(bǔ)角相等先證明∠AFC=∠DGC，再利用對(duì)頂角相等即可判斷；③根據(jù)同角的余角相等證明∠FAG=∠ACD即可判斷；④根據(jù)已知條件不能推出∠HBC和∠HCB的關(guān)系，即可判斷．【詳解】解：∵BE是AC邊的中線，∴AE=EC，∴，故①正確；∵CF平分∠ACB，∴，∵∠BAC=90°，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故②正確；∵∠BAC=90°∴，∵，∴，∴，∵，∴，故③正確；∵根據(jù)已知條件不能推出∠HBC=∠BCF，∴，故④錯(cuò)誤；∴上面說法中正確的有3個(gè)，故答案為：①②③．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中線、高和角平分線的性質(zhì)，熟練三角形的內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N；②分別以M、N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)P；③作射線BP，交AC于點(diǎn)D．若，，則線段AD的長為_______．【答案】【分析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到則DE=DC，再利用勾股定理計(jì)算出AC=4，然后利用面積法得到?DE×5+?CD×3=×3×4，最后解方程即可．【詳解】解：由作法得BD平分∠ABC，過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，則DE=DC，在Rt△ABC中，，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴?DE×5+?CD×3=×3×4，，即5CD+3CD=12，∴CD=，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）．也考查了角平分線的性質(zhì)．三、解答題15．如圖，在中，，垂足為D．垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的周長為，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出，再由對(duì)等角求出和，由三角形外角的性質(zhì)即可求出答案；（2）根據(jù)已知能推出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，又∵，∴．（2）解：由（1）可知：，∴，∵的周長為，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解題關(guān)鍵．16．如圖，中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、．求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，得到答案．【詳解】解：，，，垂直平分，，，【點(diǎn)撥】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．17．如圖，是的角平分線，、分別是和的高．求證．【答案】見解析【分析】由角平分線的定義可得出，再根據(jù)三角形高的定義可得出，最后根據(jù)，即可利用“”證明．【詳解】證明：∵是的角平分線，∴．∵、分別是和的高，∴．又∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義，三角形全等的判定．熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．18．如圖．(1)尺規(guī)作圖邊上的中線；(2)如果，，求與的周長之差；(3)直接寫出與的面積之間的大小關(guān)系．【答案】(1)見詳解；(2)3(3)【分析】（1）先作的垂直平分線找到D點(diǎn)，連接即可；（2）根據(jù)中線得到，直接用兩周長作差即可得到答案；（3）根據(jù)中線性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意分別以A，B為圓心大于為半徑畫圓弧交于兩側(cè)各一點(diǎn)，連接兩點(diǎn)交于一點(diǎn)即為中點(diǎn)D，連接如圖所示，（2）解：∵是邊上的中線，∴，，∵，，∴（3）解：由題意可得，∵是邊上的中線，∴．【點(diǎn)撥】本題考查三角形中線作法及三角形中線的性質(zhì)，三角形中線分得線段相等及面積相等的兩個(gè)三角形．19．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，OF⊥OE．(1)求∠BOD的度數(shù)；(2)求∠DOF的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用角平分線的定義、結(jié)合對(duì)頂角的定義分析得出答案；（2）利用（1）中所求，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：平分，，，；（2）解：平分，，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線