提升培優(yōu)練：整式的乘法1．（2022春·上海嘉定·七年級(jí)校考期中）如果A、B都是關(guān)于x的單項(xiàng)式，且是一個(gè)八次單項(xiàng)式，是一個(gè)六次多項(xiàng)式，那么的次數(shù)（）A．一定是八次 B．一定是六次C．一定是四次 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式的加減運(yùn)算來(lái)判斷即可．【詳解】解：∵是一個(gè)八次單項(xiàng)式，是一個(gè)六次多項(xiàng)式，∴單項(xiàng)式A、B一個(gè)是6次單項(xiàng)式，一個(gè)是2次單項(xiàng)式，∴的次數(shù)是6次．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式的加減運(yùn)算．2．（2022春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)，探索圖形關(guān)系，是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，是矩形的對(duì)角線，將分割成兩對(duì)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若，，則矩形的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，利用a、b、x表示矩形的面積，再利用a、b、x表示三角形以及正方形的面積，根據(jù)面積列出關(guān)于a、b、x的關(guān)系式，解出x，即可求出矩形面積．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，∴矩形的長(zhǎng)為，寬為，由圖1可得：，整理得：，∵，，∴，∴，∴矩形面積為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與幾何圖形面積的應(yīng)用，運(yùn)用了整體代入的思想，求出小正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，則：，解得：；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的恒等問(wèn)題．熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若的展開(kāi)式中不含，則的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則展開(kāi)原式，合并化簡(jiǎn)后，觀察項(xiàng)的系數(shù)，要使不含項(xiàng)即該項(xiàng)系數(shù)為0，即可求出的值．【詳解】解：要使結(jié)果中不含項(xiàng)，即，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘法法則運(yùn)用，關(guān)鍵要正確的展開(kāi)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式后合并同類項(xiàng)并理解“不含”就意味著該項(xiàng)系數(shù)為0．5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)只含字母的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，用該多項(xiàng)式去乘，若該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則用該多項(xiàng)式去乘，稱這為第一次操作；若第一次操作后所得多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，用該多項(xiàng)式去乘，若該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，則用該多項(xiàng)式去乘稱這為第二此操作，以此類推．①將多項(xiàng)式以上述方式進(jìn)行2次操作后所得多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)是5；②將多項(xiàng)式以上述方式進(jìn)行3次操作后，多項(xiàng)式的所有系數(shù)和為0；③將多項(xiàng)式以上述方式進(jìn)行4次操作后，當(dāng)時(shí)，所得多項(xiàng)式的值為243；④將多項(xiàng)式以上述方式進(jìn)行次操作后所得多項(xiàng)式為；四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，計(jì)算出進(jìn)行2次操作后所得多項(xiàng)式，即可判定①；根據(jù)題意，計(jì)算出以上述方式進(jìn)行3次操作后所得多項(xiàng)式，即可判定②；根據(jù)題意，計(jì)算出進(jìn)行4次操作后所得多項(xiàng)式，再把代入計(jì)算即可判定③；根據(jù)題意，總結(jié)歸納出進(jìn)行次操作后所得多項(xiàng)式規(guī)律，即可判定④．【詳解】解：第1次操作后，得，第2次操作后，得，∴第2次操作后所得多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)是4，故①錯(cuò)誤；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得，∴將多項(xiàng)式以上述方式進(jìn)行3次操作后，多項(xiàng)式的所有系數(shù)和為故②正確；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得，第4次操作后，得，當(dāng)a=2時(shí)，，故③正確；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得第4次操作后，得…第n次操作后，得，故④錯(cuò)誤；綜上，錯(cuò)誤的有①④共2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，數(shù)式規(guī)律探究，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小軒計(jì)算一道整式乘法的題：，由于小軒將第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的結(jié)果為．則m的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由題意得：，把等式左邊利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，合并同類項(xiàng)后與等式右邊對(duì)比，即可得出m的值；【詳解】解：由題意得：，∴，∴12m=72，∴m=6，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2022春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝年的著作《詳解九章算法》給出了在（為非負(fù)整數(shù)）的展開(kāi)式中，把各項(xiàng)系數(shù)按一定的規(guī)律排成右表（展開(kāi)后每一項(xiàng)按的次數(shù)由大到小的順序排列）．人們把這個(gè)表叫做“楊輝三角”．據(jù)此規(guī)律，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“楊輝三角”找規(guī)律，可知展開(kāi)后的系數(shù)為n，據(jù)此即可作答．【詳解】，項(xiàng)的系數(shù)為2；，項(xiàng)的系數(shù)為3；，項(xiàng)的系數(shù)為4；以此類推，（其中）展開(kāi)后的系數(shù)為n，即展開(kāi)后，含項(xiàng)的系數(shù)為2019，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問(wèn)題，運(yùn)用“楊輝三角”得到（其中）展開(kāi)后的系數(shù)為n，是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022春·福建泉州·八年級(jí)泉州七中?？计谥校┤?，，為正整數(shù)，則的最大值與最小值的差為（

）A．25 B．24 C．74 D．8【答案】A【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，把等式的左邊進(jìn)行運(yùn)算，再根據(jù)條件進(jìn)行分析即可．【詳解】解：，∵，∴p＋q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，則p＋q＝13，36＝1×36，則p＋q＝37，36＝2×18，則p＋q＝20，36＝3×12，則p＋q＝15，36＝6×6，則p＋q＝12，∴m的最大值為37，最小值為12．其差為25，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，求得m與p＋q，pq的關(guān)系．9．（2022春·上海嘉定·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：___________．【答案】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．10．（2021春·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，將它剪去一個(gè)正方形①，然后從剩余的長(zhǎng)方形中再剪去一個(gè)正方形③，最后剩下長(zhǎng)方形②，則長(zhǎng)方形②的面積為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)圖形可知正方形①邊長(zhǎng)為：b，正方形③邊長(zhǎng)為：，再根據(jù)大長(zhǎng)方形的面積減去正方形①和正方形③的面積，即可求解．【詳解】由圖可知：正方形①邊長(zhǎng)為：b，正方形③邊長(zhǎng)為：，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)圖形列代數(shù)式的知識(shí)，理清圖中各圖形之間的面積關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022春·河南鶴壁·八年級(jí)校考期中）在的運(yùn)算結(jié)果中，項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則先化簡(jiǎn)，，結(jié)合項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：，由項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，得到，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式運(yùn)算，涉及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、合并同類項(xiàng)運(yùn)算等，讀懂題意，根據(jù)要求得到方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2022春·河南鶴壁·八年級(jí)校考期中）如圖是中國(guó)宋代的“賈憲三角”，又稱“楊輝三角”，分別展示了二項(xiàng)式乘方展開(kāi)式的字母及字母規(guī)律和系數(shù)規(guī)律．觀察下列各式及其展開(kāi)式，展開(kāi)式的第三項(xiàng)為_(kāi)_____．11

11

2

11

3

3

11

4

6

4

11

5

10

10

5

1【答案】【分析】根據(jù)“賈憲三角”或者“楊輝三角”展開(kāi)式的字母規(guī)律和系數(shù)規(guī)律直接求解即可得到答案．【詳解】解：由題中展示的字母規(guī)律和系數(shù)規(guī)律知，展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)為；展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)為；展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)為；…根據(jù)以上規(guī)律得到展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)為，根據(jù)以上規(guī)律得到展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律，讀懂題意，觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)這些展開(kāi)式中的規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2022春·上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┮阎恼归_(kāi)式中不含三次項(xiàng)和四次項(xiàng)，則展開(kāi)式中二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)之和為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將原式展開(kāi)，根據(jù)題意展開(kāi)式中不含三次項(xiàng)和四次項(xiàng)，可得，，求解即可得的值，然后代入求值可確定展開(kāi)式中二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)，求和即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，展開(kāi)式中不含三次項(xiàng)和四次項(xiàng)，∴，，解得，，∴，，即展開(kāi)式中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)的系數(shù)為，∴展開(kāi)式中二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)之和為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算、多項(xiàng)式相關(guān)概念、代數(shù)式求值等知識(shí)，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則，正確展開(kāi)原式是解題關(guān)鍵．14．（2022·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形內(nèi)，將2張①號(hào)長(zhǎng)方形紙片和3張②號(hào)長(zhǎng)方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒(méi)有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長(zhǎng)相等．（1）若①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為2厘米，則②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為_(kāi)______厘米；（2）若①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的面積為40平方厘米，則②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的面積是_________平方厘米．【答案】

4

【分析】（1）根據(jù)正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長(zhǎng)相等可得②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬的2倍，進(jìn)而計(jì)算即可；（2）觀察圖形，②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬的2倍，②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)的3倍是①號(hào)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由圖知，②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的寬為（厘米），故答案為：4；（2）設(shè)①長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為a，寬為b，則，由圖知，②長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為，∴②號(hào)長(zhǎng)方形紙片的面積是（平方厘米），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的乘法運(yùn)算的應(yīng)用，利用圖形，正確列出式子是解答的關(guān)鍵．15．（2022春·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┮阎L(zhǎng)方形可以按圖所示方式分成九部分，在變化的過(guò)程中，下面說(shuō)法正確的有______（請(qǐng)將所有正確的編號(hào)填在橫線上）①圖中存在三部分的周長(zhǎng)之和恰好等于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比可能為③當(dāng)長(zhǎng)方形為正方形時(shí)，九部分都為正方形④當(dāng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為時(shí)，它的面積可能為【答案】①③##③①【分析】根據(jù)矩形面積關(guān)系和整式運(yùn)算法則進(jìn)行分析即可．【詳解】如圖，根據(jù)平移性質(zhì)可得，圖中，故①正確；若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為，則，，此等式不成立，故②錯(cuò)誤；當(dāng)長(zhǎng)方形為正方形時(shí)，，即，所以九部分都為正方形，故③正確；當(dāng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為時(shí)，，即，所以四邊形的面積=；故④錯(cuò)誤；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用，理解矩形面積關(guān)系是關(guān)鍵．16．（2022春·上?！て吣昙?jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)?？计谥校┯腥舾蓮埲鐖D所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，則需要A類卡片______張，B類卡片______張，C類卡片______張，請(qǐng)你在右下角的大矩形中畫(huà)出一種拼法．（標(biāo)上卡片名稱）【答案】

2

1

3；圖見(jiàn)解析（答案不唯一）【分析】首先分別計(jì)算大矩形和三類卡片的面積，再進(jìn)一步根據(jù)大矩形的面積應(yīng)等于三類卡片的面積和，進(jìn)行分析所需三類卡片的數(shù)量．【詳解】解：長(zhǎng)為，寬為的矩形面積為：，A圖形面積為，B圖形面積為，C圖形面積為，則可知需要A類卡片2張，B類卡片1張，C類卡片3張．故答案為：2；1；3．【點(diǎn)睛】本題主要考查的內(nèi)容是整式的運(yùn)算與幾何的綜合題，方法較新穎，注意對(duì)此類問(wèn)題的深入理解，是解題的關(guān)鍵．17．（2021春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是，求m，n的值．【答案】【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則得到原式的計(jì)算結(jié)果為，再根據(jù)展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，∵展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是，∴且，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題，熟知不含某項(xiàng)即含某項(xiàng)的系數(shù)為零是解題的關(guān)鍵．18．（2022春·廣東惠州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若的展開(kāi)式中不含，項(xiàng)（其中m，n均為常數(shù)）．(1)求m，n的值；(2)先化簡(jiǎn)，然后在（1）的條件下，求A的值．【答案】(1)，(2)；【分析】（1）將原式展開(kāi)合并后，令含，項(xiàng)的系數(shù)之和為0即可求出m與n的值．（2）根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將m與n的值代入原式即可求出答案．【詳解】（1）原式，由題意可知：，，∴，，（2）原式，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．19．（2022春·山西大同·八年級(jí)大同一中?？茧A段練習(xí)）如圖，現(xiàn)有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，規(guī)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間預(yù)留部分是邊長(zhǎng)為a米的正方形．(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）；(2)若，綠化成本為20元/平方米，則完成綠化共需要多少元？【答案】(1)平方米(2)元【分析】（1）利用矩形面積公式求出長(zhǎng)方形面積，減去中間正方形面積華健即可；（2）將代入公式，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：平方米；（2）解：當(dāng)時(shí)，平方