2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)沖刺卷七試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.(\varnothing)復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.(-4)B.(-2)C.(2)D.(4)函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx}{e^x+e^{-x}})的部分圖像大致為（）（選項(xiàng)略，需結(jié)合奇偶性與單調(diào)性分析：(f(-x)=-f(x))為奇函數(shù)，排除A、C；當(dāng)(x\in(0,\frac{\pi}{2}))時(shí)，(f(x)>0)，排除D）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_2=2)，(S_3=7)，則公比(q=)（）A.(2)B.(\frac{1}{2})C.(2)或(\frac{1}{2})D.(-1)或(2)執(zhí)行如圖所示的程序框圖（圖略），若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.(10)B.(15)C.(20)D.(25)（提示：程序功能為計(jì)算(S=1+3+5+7+9=25)）某幾何體的三視圖如圖所示（圖略），則該幾何體的體積為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.(4)D.(8)（提示：由三視圖可知幾何體為底面半徑1、高4的圓柱的(\frac{1}{3})，體積(V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{4\pi}{3})，但選項(xiàng)中無(\pi)，推測(cè)為四棱錐，底面積4、高2，(V=\frac{8}{3})）已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(\frac{3\sqrt{2}+10}{10})B.(\frac{3\sqrt{2}-10}{10})C.(\frac{\sqrt{2}+5}{5})D.(\frac{\sqrt{2}-5}{5})已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3)，則(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.(2)C.(3)D.(4)已知函數(shù)(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x)（(a>0)），則函數(shù)(f(x))的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.(0)B.(1)C.(2)D.(3)（提示：求導(dǎo)得(f'(x)=\frac{(2ax-1)(x-1)}{x})，令(f'(x)=0)，解得(x=1)或(x=\frac{1}{2a})，因(a>0)，故有2個(gè)極值點(diǎn)）在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E,F)分別為棱(A_1D_1,CC_1)的中點(diǎn)，則直線(BE)與平面(BDF)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{6})C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.(\frac{\sqrt{3}}{2})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\leq0\\lnx,&x>0\end{cases})，若關(guān)于(x)的方程(f(x)=m)有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)(m)的取值范圍是（）A.((-1,0))B.((0,1))C.((-1,1))D.([0,1))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為______。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則(a_5=)______。現(xiàn)有5名志愿者分配到3個(gè)不同的社區(qū)參加服務(wù)，每個(gè)社區(qū)至少分配1人，則不同的分配方案共有______種。已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，過(F_1)的直線與雙曲線的左支交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=5)，(|AF_2|=8)，(|BF_2|=10)，則雙曲線的離心率為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）若(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由題意得：[\begin{cases}a_1+2d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\end{cases}\implies\begin{cases}a_1=1\d=2\end{cases}]故(a_n=1+2(n-1)=2n-1)。（2）(b_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right))，則(T_n=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right]=\frac{n}{2n+1})。18.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-C_1D-C)的余弦值。解析：（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(diǎn)(O)，連接(OD)。因?yàn)?O)為(A_1C)中點(diǎn)，(D)為(BC)中點(diǎn)，所以(OD\parallelA_1B)。又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，故(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)所在直線為(x,y,z)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(A(0,0,0))，(C_1(0,2,2))，(D(1,1,0))，(C(0,2,0))。(\vec{DC_1}=(-1,1,2))，(\vec{DC}=(-1,1,0))，設(shè)平面(C_1DC)的法向量(\vec{n}=(x,y,z))，[\begin{cases}-x+y+2z=0\-x+y=0\end{cases}\impliesx=y,z=0\implies\vec{n}=(1,1,0)]平面(ADC_1)的法向量(\vec{m}=(1,0,0))（(x)軸方向），二面角(A-C_1D-C)的余弦值為(\cos\theta=\frac{|\vec{m}\cdot\vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2})。19.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級(jí)隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)測(cè)試，得到如下頻率分布表：成績(jī)分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.200.350.300.10（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若該校高二年級(jí)共有800名學(xué)生，估計(jì)成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)；（3）從成績(jī)?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績(jī)?cè)赱90,100]的概率。解析：（1）平均數(shù)(\bar{x}=55\times0.05+65\times0.2+75\times0.35+85\times0.3+95\times0.1=76.5)，方差(s^2=(55-76.5)^2\times0.05+(65-76.5)^2\times0.2+\cdots+(95-76.5)^2\times0.1=122.75)。（2）成績(jī)不低于80分的頻率為(0.3+0.1=0.4)，故估計(jì)人數(shù)為(800\times0.4=320)。（3）[50,60)有5人（記為A,B,C,D,E），[90,100]有10人（記為1-10），總基本事件數(shù)(C_{15}^2=105)，至少1人在[90,100]的對(duì)立事件為2人都在[50,60)，共(C_5^2=10)，故所求概率(P=1-\frac{10}{105}=\frac{19}{21})。20.（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)(P(0,2))的直線(l)與橢圓(E)交于(M,N)兩點(diǎn)，若以(MN)為直徑的圓過原點(diǎn)(O)，求直線(l)的方程。解析：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})，將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1\impliesa^2=8)，(b^2=2)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）設(shè)直線(l:y=kx+2)，聯(lián)立橢圓方程得：[(1+4k^2)x^2+16kx+8=0]設(shè)(M(x_1,y_1))，(N(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{16k}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{8}{1+4k^2})。因?yàn)橐?MN)為直徑的圓過原點(diǎn)，所以(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=x_1x_2+y_1y_2=0)，(y_1y_2=(kx_1+2)(kx_2+2)=k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4)，代入得：((1+k^2)\cdot\frac{8}{1+4k^2}+2k\cdot(-\frac{16k}{1+4k^2})+4=0\impliesk^2=\frac{3}{2}\impliesk=\pm\frac{\sqrt{6}}{2})，故直線(l)的方程為(y=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}x+2)。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求實(shí)數(shù)(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\in\mathbb{N}^*)）。解析：（1）(f'(x)=e^x-a)，若(a\leq0)，則(f'(x)>0)恒成立，(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增；若(a>0)，令(f'(x)=0)得(x=\lna)，當(dāng)(x<\lna)時(shí)，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；當(dāng)(x>\lna)時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增。（2）由（1）知，當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x){\min}=f(\lna)=a-a\lna-1)，令(g(a)=a-a\lna-1)，則(g'(a)=-\lna)，當(dāng)(a=1)時(shí)，(g(a){\max}=0)，故(a=1)。（3）由（2）知(e^x\geqx+1)，令(x=\frac{1}{k})（(k\in\mathbb{N}^*)），則(e^{\frac{1}{k}}>1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k})，兩邊取對(duì)數(shù)得(\frac{1}{k}>\ln\frac{k+1}{k}=\ln(k+1)-\lnk)，累加得：(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1))。22.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+\cos\alpha\y=\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，(x)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_