2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)高考超常發(fā)揮試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）已知集合A={x|log?(x-1)≤2}，B={x|x2-4x-12≤0}，則A∩B=（）A.[1,6]B.(1,6]C.[2,6]D.(2,6]某外賣平臺(tái)為優(yōu)化配送路徑，將配送區(qū)域劃分為邊長(zhǎng)為1km的正方形網(wǎng)格，某騎手從原點(diǎn)(0,0)出發(fā)，沿網(wǎng)格線配送至點(diǎn)(4,3)，若每次只能向右或向上移動(dòng)1km，則不同的最短路徑共有（）A.35條B.42條C.56條D.70條函數(shù)f(x)=e?-2x+a在區(qū)間[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(2-2ln2,2]B.[2-2ln2,2)C.(2-2ln2,2)D.[2-2ln2,2]我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載"今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈，問積及為粟幾何？"其意思為"現(xiàn)將谷子堆放在平地上，形成一個(gè)圓錐形谷堆，底面圓的周長(zhǎng)為12丈，高為2丈，問這堆谷子的體積和質(zhì)量各是多少？"已知π取3，1斛谷子的體積約為2.7立方丈，1斛谷子的質(zhì)量約為60千克，則這堆谷子的質(zhì)量約為（）A.5333千克B.6667千克C.8000千克D.10667千克已知向量a=(1,2),b=(m,1)，且(a+b)⊥(a-b)，則m=（）A.-2B.2C.-1D.1某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某種疾病的診斷方法，已知在患有該疾病的人群中，有90%的人能通過某種檢測(cè)被確診，而在未患有該疾病的人群中，有5%的人會(huì)被誤診為患有該疾病.若該疾病在人群中的發(fā)病率為0.5%，則在一次檢測(cè)中被確診為患有該疾病的人，實(shí)際上未患有該疾病的概率為（）A.1/19B.1/20C.1/21D.1/22已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=1，且Re(z)≥1，則|z|的取值范圍是（）A.[√3,3]B.[√3,√5]C.[√5,3]D.[2,3]已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖像如圖所示，其中f(0)=1/2，f(π/3)=0，則函數(shù)f(x)的反函數(shù)f?1(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為（）A.π/3B.2π/3C.πD.4π/3已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?，過F?的直線與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn)，若|AF?|=3|AF?|，且∠F?AF?=60°，則雙曲線C的離心率為（）A.√7/2B.√13/3C.√10/2D.√13/2某科技公司研發(fā)了一款智能機(jī)器人，其電池續(xù)航時(shí)間y（單位：小時(shí)）與行駛速度x（單位：km/h）之間的關(guān)系可以用函數(shù)y=kx/(x2+bx+c)來(lái)模擬，其中k,b,c為常數(shù).已知當(dāng)行駛速度為10km/h時(shí)，續(xù)航時(shí)間為5小時(shí)；當(dāng)行駛速度為20km/h時(shí)，續(xù)航時(shí)間為8小時(shí)；當(dāng)行駛速度為30km/h時(shí)，續(xù)航時(shí)間為6小時(shí).則該機(jī)器人的最佳行駛速度（即續(xù)航時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)的行駛速度）為（）A.15km/hB.20km/hC.25km/hD.30km/h二、填空題（本大題共6小題，共36分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的反函數(shù)f?1(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為________.已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，則數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?=________.某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)男401050女302050合計(jì)7030100經(jīng)計(jì)算K2=100×(40×20-30×10)2/(50×50×70×30)≈4.762，則有________%的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與體育鍛煉情況有關(guān).（參考數(shù)據(jù)：P(K2≥3.841)=0.05，P(K2≥5.024)=0.025）已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√5，以點(diǎn)P為球心，半徑為2的球面與正四棱錐的表面相交，則交線的總長(zhǎng)度為________.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若|AF|=3，則△AFM的面積為________.某企業(yè)為提高生產(chǎn)效率，對(duì)生產(chǎn)流程進(jìn)行優(yōu)化改造，需要投入固定成本50萬(wàn)元，此外，每生產(chǎn)x千件產(chǎn)品，還需投入可變成本C(x)萬(wàn)元，且C(x)=x2/2+2x，若每件產(chǎn)品的售價(jià)為10元，則該企業(yè)至少生產(chǎn)________千件產(chǎn)品，才能實(shí)現(xiàn)盈利.三、填空題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+2?.（1）證明：數(shù)列{a?/2?}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且滿足b2+c2-a2=bc.（1）求角A的大?。唬?）若a=√3，b+c=3，求△ABC的面積.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D,E分別是A?B?,BB?的中點(diǎn).（1）求證：CE⊥平面A?CD；（2）求二面角A?-CD-E的余弦值.（本小題滿分12分）某電商平臺(tái)為了提升用戶體驗(yàn)，對(duì)商品推薦算法進(jìn)行優(yōu)化，現(xiàn)從平臺(tái)用戶中隨機(jī)抽取1000人，記錄其每天使用平臺(tái)的時(shí)長(zhǎng)x（單位：分鐘），得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)這1000名用戶每天使用平臺(tái)的平均時(shí)長(zhǎng)；（3）為進(jìn)一步優(yōu)化算法，平臺(tái)決定從每天使用時(shí)長(zhǎng)在[120,150)和[150,180]的用戶中，用分層抽樣的方法抽取10人進(jìn)行深度訪談，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，求這3人中至少有1人每天使用時(shí)長(zhǎng)在[150,180]的概率.（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(diǎn)(√3,1/2).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)P(0,1)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過點(diǎn)Q(1,0)，求直線l的方程.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x+1(a>0).（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x?,x?(x?<x?)，且f(x?)-f(x?)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.四、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）某物流公司為提高運(yùn)輸效率，計(jì)劃對(duì)運(yùn)輸車輛進(jìn)行更新?lián)Q代，現(xiàn)有A,B兩種型號(hào)的新能源車輛可供選擇，A型車每輛價(jià)格為15萬(wàn)元，每年的運(yùn)營(yíng)成本為2萬(wàn)元；B型車每輛價(jià)格為20萬(wàn)元，每年的運(yùn)營(yíng)成本為1.5萬(wàn)元.假設(shè)兩種車輛的使用年限均為10年，10年后的殘值均為購(gòu)車價(jià)格的10%，若該公司要求的年投資回報(bào)率為8%，問：（1）購(gòu)買A型車和B型車的年均成本分別為多少萬(wàn)元？（精確到0.01萬(wàn)元）（2）從經(jīng)濟(jì)性角度考慮，該公司應(yīng)選擇哪種型號(hào)的車輛？（參考數(shù)據(jù)：(1+0.08)1?≈2.1589，(1+0.08)?1?≈0.4632）（本小題滿分12分）某城市為緩解交通擁堵，計(jì)劃在市中心區(qū)域修建一條地下通道，為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的支持度，隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：年齡段支持不支持合計(jì)18-35歲30010040036-55歲25015040055歲以上100100200合計(jì)6503501000（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為市民對(duì)該項(xiàng)目的支持度與年齡段有關(guān)？（2）現(xiàn)從支持該項(xiàng)目的市民中按年齡段分層抽樣的方法抽取13人，再?gòu)倪@13人中隨機(jī)抽取3人作為市民代表參加項(xiàng)目聽證會(huì)，求這3人中至少有1人來(lái)自55歲以上年齡段的概率.（參考數(shù)據(jù)：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，P(K2≥6.635)=0.01，P(K2≥10.828)=0.001）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC的中點(diǎn).（1）求證：平面BDE⊥平面ABCD；（2）求二面角A-BE-D的正弦值；（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使得直線BF與平面BDE所成角的正弦值為√3/4？若存在，求出PF/PC的值；若不存在，說明理由.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax2-bx-1，其中a,b∈R.（1）若a=0,b=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(1)=0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）若a=1，b=0，證明：對(duì)任意的x>0，f(x)≥x3.（本小題滿分12分）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為M,N.（1）求證：以MN為直徑的圓與x軸相切；（2）設(shè)直線AB與圓x2+y2=1交于P,Q兩點(diǎn)，求|PQ|·|AB|的最小值.（本小題滿分12分）某科研團(tuán)隊(duì)為研究某種新型材料的抗壓強(qiáng)度，對(duì)該材料進(jìn)行了多次試驗(yàn)，得到抗壓強(qiáng)度X（單位：MPa）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ,σ2均未知.現(xiàn)從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取16個(gè)樣本，得到樣本均值x?=50，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=4.（1）求μ的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）若該材料的抗壓強(qiáng)度達(dá)到45MPa以上為合格，根據(jù)（1）的結(jié)果，能否認(rèn)為該材料的合格率超過95%？（參考數(shù)據(jù)：t?.???(15)=2.1315，t?.???(16)=2.1199，Φ(1.25)=0.8944，Φ(1.645)=0.95，Φ(1.96)=0.975）五、開放探究題（本大題共1小題，共15分）某城市為推動(dòng)綠色出行，計(jì)劃在市區(qū)范圍內(nèi)建設(shè)公共自行車租賃系統(tǒng)，為合理規(guī)劃站點(diǎn)布局，需要考慮多個(gè)因素：（1）站點(diǎn)覆蓋范圍：每個(gè)站點(diǎn)的服務(wù)半徑為500米；（2）人口密度：人口密集區(qū)域應(yīng)適當(dāng)增加站點(diǎn)數(shù)量；（3）交通流量：交通樞紐周邊應(yīng)設(shè)置站點(diǎn)；（4）建設(shè)成本：每個(gè)站點(diǎn)的建設(shè)成本為10萬(wàn)元，占地面積為50平方米.現(xiàn)有A,B兩個(gè)方案可供選擇：方案A：在市中心區(qū)域（邊長(zhǎng)為4km的