2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)B.2π，x=kπ+π/12(k∈Z)C.π，x=kπ+π/12(k∈Z)D.2π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)在等差數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=9，若數(shù)列{b?}滿足b?=2^(a?)，則數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和S?=（）A.(4^n-1)/3B.2^(2n+1)-2C.2^(2n-1)D.(2^(2n)-1)/3已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則實(shí)數(shù)m=（）A.-3B.3C.-5D.5某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(diǎn)(2,√3)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/2-y2/4=1B.x2/3-y2/6=1C.x2/4-y2/8=1D.x2/1-y2/2=1從5名男生和3名女生中選3人參加某項(xiàng)活動，則所選3人中至少有1名女生的概率是（）A.15/28B.17/28C.19/28D.21/28已知復(fù)數(shù)z滿足z·i=1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,1/e)B.(0,1/e)C.(1/e,+∞)D.(0,e)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.16πB.20πC.24πD.28π已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則不等式f(x-1)>0的解集為（）A.(-1,1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,3)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-1,3)二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）曲線y=x3-2x+1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為________。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，則數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為________。已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率為√3的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=________。已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則ω=，φ=。三、解答題（共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cos2A+cos2B=2cos2C。（1）求角C的大??；（2）若c=2√3，△ABC的面積為2√3，求a+b的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)。（1）求證：AC?//平面CDB?；（2）求二面角B-CB?-D的余弦值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿足S?=2a?-2(n∈N*)。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）若b?=a?·log?a?，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。（本小題滿分12分）某公司為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量，決定對生產(chǎn)工藝進(jìn)行改進(jìn)?，F(xiàn)有A，B兩種新工藝可供選擇，為了比較兩種工藝的效果，分別用兩種工藝生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，得到如下列聯(lián)表：合格不合格合計(jì)A工藝8515100B工藝7525100合計(jì)16040200（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品合格與工藝選擇有關(guān)”；（2）若采用A工藝生產(chǎn)，每件產(chǎn)品的利潤為20元；若采用B工藝生產(chǎn)，每件產(chǎn)品的利潤為15元。但B工藝有一個(gè)附加收益：若產(chǎn)品合格，每件產(chǎn)品可獲得政府補(bǔ)貼5元。從利潤角度考慮，該公司應(yīng)選擇哪種工藝？參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k?)|0.10|0.05|0.01|0.001||---|---|---|---|k?|2.706|3.841|6.635|10.828|（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2(a∈R)。（1）若a=1/2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x?，x?(x?<x?)，求證：f(x?)+f(x?)>-1。參考答案與解析一、選擇題答案：C解析：解不等式x2-3x+2≤0得1≤x≤2，所以A=[1,2]；解不等式log?(x-1)≥1得x-1≥2，即x≥3，所以B=[3,+∞)，則A∩B=?，無正確選項(xiàng)。（注：此處題目可能存在錯(cuò)誤，若B為log?(x-1)≤1，則x-1≤2，即x≤3，此時(shí)B=(1,3]，A∩B=[1,2]∩(1,3]=(1,2]，仍無正確選項(xiàng)。建議檢查題目條件）答案：A解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/2=π；令2x+π/3=kπ+π/2(k∈Z)，解得x=kπ/2+π/12(k∈Z)，即對稱軸方程為x=kπ/2+π/12(k∈Z)，故選A。答案：D解析：設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，則a?=a?+4d=1+4d=9，解得d=2，所以a?=1+2(n-1)=2n-1，則b?=2^(2n-1)，所以數(shù)列{b?}是以b?=2^1=2為首項(xiàng)，公比q=2^2=4的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和S?=2(4^n-1)/(4-1)=(2^(2n+1)-2)/3，無正確選項(xiàng)。（注：若b?=2^(a?-1)，則b?=2^(2n-2)=4^(n-1)，此時(shí)S?=(4^n-1)/3，選A）答案：C解析：a+b=(1+m,1)，因?yàn)閍⊥(a+b)，所以a·(a+b)=1×(1+m)+2×1=1+m+2=m+3=0，解得m=-3，無正確選項(xiàng)。（注：若a=(1,-2)，則a·(a+b)=1×(1+m)+(-2)×1=m-1=0，解得m=1，仍無正確選項(xiàng)。建議檢查題目條件）答案：（因無三視圖，無法給出準(zhǔn)確答案，以下為示例解析）解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的組合體，圓柱的底面半徑為2cm，高為3cm，圓錐的底面半徑為2cm，高為3cm，則該幾何體的體積V=π×22×3+1/3×π×22×3=12π+4π=16πcm3，故選B。答案：A解析：f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±2√3)/6=(3±√3)/3=1±√3/3，所以函數(shù)f(x)在(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)上單調(diào)遞增，在(1-√3/3,1+√3/3)上單調(diào)遞減，則極大值點(diǎn)為x=1-√3/3≈0，故選A。答案：D解析：由離心率e=c/a=√3得c=√3a，又c2=a2+b2，所以3a2=a2+b2，即b2=2a2；將點(diǎn)(2,√3)代入雙曲線方程得4/a2-3/b2=1，將b2=2a2代入得4/a2-3/(2a2)=1，即5/(2a2)=1，解得a2=5/2，b2=5，無正確選項(xiàng)。（注：若點(diǎn)為(√3,√3)，則3/a2-3/b2=1，將b2=2a2代入得3/a2-3/(2a2)=3/(2a2)=1，解得a2=3/2，b2=3，仍無正確選項(xiàng)。建議檢查題目條件）答案：C解析：從8人中選3人的總組合數(shù)為C?3=56；所選3人中至少有1名女生的對立事件是所選3人全是男生，有C?3=10種情況，所以所求概率P=1-10/56=46/56=23/28，無正確選項(xiàng)。（注：若為“至少有2名女生”，則概率為(C?2C?1+C?3)/C?3=(15+1)/56=16/56=4/14=2/7，仍無正確選項(xiàng)。建議檢查題目條件）答案：B解析：由z·i=1+i得z=(1+i)/i=(1+i)(-i)/i·(-i)=(-i-i2)/(-i2)=(-i+1)/1=1-i，所以|z|=√(12+(-1)2)=√2，故選B。答案：B解析：函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程lnx=ax有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)y=lnx與y=ax的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。設(shè)過原點(diǎn)的直線與y=lnx相切于點(diǎn)(x?,lnx?)，則切線斜率k=1/x?=lnx?/x?，解得lnx?=1，即x?=e，所以切線斜率k=1/e，所以當(dāng)0<a<1/e時(shí)，函數(shù)y=lnx與y=ax的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，故選B。答案：D解析：在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=4+4-2×2×2×(-1/2)=12，所以BC=2√3。設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，由正弦定理得BC/sin∠BAC=2r，即2√3/sin120°=2r，解得r=2√3/(√3/2)=4。因?yàn)镻A⊥平面ABC，PA=3，所以三棱錐外接球的半徑R=√(r2+(PA/2)2)=√(16+9/4)=√(73/4)=√73/2，表面積S=4πR2=4π×73/4=73π，無正確選項(xiàng)。（注：若∠BAC=60°，則BC2=4+4-2×2×2×1/2=4，BC=2，r=2/sin60°=4/√3，R=√((4/√3)2+(3/2)2)=√(16/3+9/4)=√(91/12)，仍無正確選項(xiàng)。建議檢查題目條件）答案：A解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，令f(x)=0得x=0或x=2，所以當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0。因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-f(-x)，當(dāng)-2<x<0時(shí)，f(x)=-f(-x)>-f(2)=0；當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)=-f(-x)<-f(0)=0。則不等式f(x-1)>0等價(jià)于：當(dāng)x-1>0，即x>1時(shí)，x-1>2，解得x>3；當(dāng)x-1<0，即x<1時(shí)，-2<x-1<0，解得-1<x<1；綜上，不等式的解集為(-1,1)∪(3,+∞)，故選A。二、填空題答案：y=x-1解析：y'=3x2-2，在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率k=3×12-2=1，所以切線方程為y-0=1×(x-1)，即y=x-1。答案：a?=2?-1解析：由a???=2a?+1得a???+1=2(a?+1)，所以數(shù)列{a?+1}是以a?+1=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，則a?+1=2×2^(n-1)=2?，所以a?=2?-1。答案：16/3解析：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程x=-1；直線l的方程為y=√3(x-1)，聯(lián)立方程組{y=√3(x-1)，y2=4x}，消去y得3(x-1)2=4x，即3x2-10x+3=0，設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=10/3，所以|AB|=x?+x?+2=10/3+2=16/3。答案：ω=2，φ=π/6解析：由圖象可知，函數(shù)的最小正周期T=2×(π/3-(-π/6))=2×π/2=π，所以ω=2π/T=2；當(dāng)x=-π/6時(shí)，函數(shù)取得最小值-2，所以2×(-π/6)+φ=-π/2+2kπ(k∈Z)，解得φ=-π/2+π/3+2kπ=-π/6+2kπ(k∈Z)，因?yàn)閨φ|<π/2，所以φ=-π/6。（注：若函數(shù)取得最大值，則φ=π/3，建議結(jié)合圖象判斷）三、解答題解析：（1）由cos2A+cos2B=2cos2C得2cos(A+B)cos(A-B)=2cos2C，因?yàn)锳+B=π-C，所以cos(A+B)=-cosC，所以-2cosCcos(A-B)=2(2cos2C-1)，即-cosCcos(A-B)=2cos2C-1，移項(xiàng)得2cos2C+cosCcos(A-B)-1=0，無法直接求解，建議使用正弦定理角化邊：由cos2A+cos2B=2cos2C得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C)，即-2sin2A-2sin2B=-4sin2C，即sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理得a2+b2=2c2。又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，將a2+b2=2c2代入得c2=2c2-2abcosC，即c2=2abcosC，所以cosC=c2/(2ab)。（2）由△ABC的面積S=1/2absinC=2√3，得ab=4√3/sinC；又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=2c2-2abcosC（由（1）知a2+b2=2c2），所以c2=2abcosC，即12=2×4√3/sinC×cosC=8√3cotC，所以cotC=12/(8√3)=3/(2√3)=√3/2，即tanC=2/√3=2√3/3，所以sinC=2√3/√(12+9)=2√3/√21=2√7/7，cosC=√3/√21=√7/7，則ab=4√3/(2√7/7)=4√3×7/(2√7)=14√21/7=2√21，所以a2+b2=2c2=24，所以(a+b)2=a2+b2+2ab=24+4√21，即a+b=√(24+4√21)，無法化簡為整數(shù)，建議檢查題目條件。解析：（1）連接BC?，交B?C于點(diǎn)O，連接OD。因?yàn)橹比庵鵄BC-A?B?C?，所以四邊形BCC?B?是矩形，O為BC?的中點(diǎn)；又D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D是△ABC?的中位線，所以O(shè)D//AC?。因?yàn)镺D?平面CDB?，AC??平面CDB?，所以AC?//平面CDB?。（2）以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC?所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，B(0,2,0)，B?(0,2,2)，D(1,1,0)。向量CB=(0,2,0)，CB?=(0,2,2)，CD=(1,1,0)。設(shè)平面CBB?的法向量n?=(1,0,0)；設(shè)平面CDB?的法向量n?=(x,y,z)，則{n?·CB?=0,n?·CD=0}，即{2y+2z=0,x+y=0}，令x=1，則y=-1，z=1，所以n?=(1,-1,1)。則cos<n?,n?>=n?·n?/(|n?||n?|)=1/(1×√3)=√3/3，因?yàn)槎娼荁-CB?-D為銳角，所以余弦值為√3/3。解析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S?=a?=2a?-2，解得a?=2；當(dāng)n≥2時(shí)，S?-S???=a?=2a?-2-(2a???-2)=2a?-2a???，即a?=2a???，所以數(shù)列{a?}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以a?=2×2^(n-1)=2?。（2）b?=a?·log?a?=2?·log?2?=2?·n，所以T?=1×2+2×22+3×23+…+n×2?，①2T?=1×22+2×23+…+(n-1)×2?+n×2^(n+1)，②①-②得-T?=2+22+23+…+2?-n×2^(n+1)=2(2?-1)/(2-1)-n×2^(n+1)=2^(n+1)-2-n×2^(n+1)=(1-n)2^(n+1)-2，所以T?=(n-1)2^(n+1)+2。解析：（1）由離心率e=c/a=√2/2得c=√2/2a，又b2=a2-c2=a2-1/2a2=1/2a2；將點(diǎn)(1,√2/2)代入橢圓方程得1/a2+(1/2)/b2=1，將b2=1/2a2代入得1/a2+(1/2)/(1/2a2)=1/a2+1/a2=2/a2=1，解得a2=2，b2=1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（2）設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立方程組{y=kx+m,x2/2+y2=1}，消去y得x2/2+(kx+m)2=1，即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，所以x?+x?=-4km/(1+2k2)，x?x?=(2m2-2)/(1+2k2)，y?y?=(kx?+m)(kx?+m)=k2x?x?+km(x?+x?)+m2=k2(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=(2k2m2-2k2-4k2m2+m2+2k2m2)/(1+2k2)=(m2-2k2)/(1+2k2)。橢圓C的右頂點(diǎn)為(√2,0)，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過右頂點(diǎn)，所以向量(√2-x?,-y?)·(√2-x?,-y?)=0，即(√2-x?)(√2-x?)+y?y?=0，展開得2-√2(x?+x?)+x?x?+y?y?=0，將x?+x?，x?x?，y?y?代入得2-√2(-4km)/(1+2k2)+(2m2-2)/(1+2k2)+(m2-2k2)/(1+2k2)=0，通分整理得2(1+2k2)+4√2km+2m2-2+m2-2k2=0，即(4k2+2)+4√2km+3m2-2=0，即4k2+4√2km+3m2=0，因式分解得(2k+√2m)(2k+√2m)=0，即(2k+√2m)2=0，所以2k+√2m=0，即m=-√2k，所以直線l的方程為y=kx-√2k=k(x-√2)，所以直線l過定點(diǎn)(√2,0)，但該點(diǎn)為橢圓右頂點(diǎn)，與題目條件矛盾，建議檢查題目條件。解析：（1）由列聯(lián)表得K2=200×(85×25-75×15)2/[(100×100×160×40)]=200×(2125-1125)2/(100×100×160×40)=200×10002/(64000000)=200×1000000/64000000=200/64=3.125，因?yàn)?.125<3.841，所以沒有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品合格與工藝選擇有關(guān)”。（2）采用A工藝的利潤為100×20=2000元；采用B工藝的利潤為75×(15+5)+25×15=75×20+375=1500+375=1875元，因?yàn)?000>1875，所以應(yīng)選擇