2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)龍以明幾何分析試卷一、單選題（共10小題，每小題5分，滿分50分）已知雙曲線與平行于x軸的動(dòng)直線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，F(xiàn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，延長(zhǎng)FA至點(diǎn)C，使|AC|=|FB|，連接BC交x軸于點(diǎn)D，若|FD|=2|OD|，則該雙曲線的離心率為（）A.√2B.√3C.2D.3在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面α的法向量為n=(2,-3,1)，點(diǎn)P(1,2,-1)在平面α上，則平面α的方程為（）A.2x-3y+z+3=0B.2x-3y+z-3=0C.x+2y-z+4=0D.x+2y-z-4=0焦點(diǎn)為F的拋物線y2=4x上有一點(diǎn)P（在第一象限），將點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=2對(duì)稱得到點(diǎn)Q，線段QF與x軸交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2，則直線PQ的斜率為（）A.-1/2B.-2C.1/2D.2過點(diǎn)M(1,1)作斜率為k的直線交圓x2+y2=4于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足2→OP=→OA+→OB，若對(duì)每一個(gè)確定的實(shí)數(shù)k，記|OP|的最大值為M(k)，則當(dāng)k變化時(shí)，M(k)的最小值是（）A.1B.√2C.2D.√3已知半橢圓C?：x2/a2+y2/b2=1(y≥0)與半橢圓C?：x2/a2+y2/c2=1(y<0)組成的曲線稱為"果圓"，其中a>b>c>0。"果圓"與x軸的交點(diǎn)分別為A(-a,0)、B(a,0)，與y軸的交點(diǎn)分別為C(0,b)、D(0,-c)，點(diǎn)P為半橢圓C?上一點(diǎn)（不與A、B重合），若存在λ∈R使得→DP=λ→CP，則半橢圓C?的離心率的取值范圍為（）A.(0,√3/3]B.[√3/3,√2/2)C.(√2/2,1)D.[√3/3,1)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F分別為棱A?D?、CC?的中點(diǎn)，則異面直線BE與DF所成角的余弦值為（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知曲線C：x2/4+y2/3=1，直線l：y=kx+m與C交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，則m2的取值范圍是（）A.[12/7,4]B.(12/7,4]C.[12/7,4)D.(12/7,4)已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF與l交于點(diǎn)Q，若→FQ=2→PF，則|PQ|=（）A.6B.8C.10D.12已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?、F?，離心率為1/2，過F?的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△AF?B的周長(zhǎng)為8，則橢圓C的方程為（）A.x2/4+y2/3=1B.x2/4+y2=1C.x2/16+y2/12=1D.x2/16+y2/4=1在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.16πB.20πC.24πD.28π二、多選題（共4小題，每小題5分，滿分20分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P是雙曲線E：x2/4-y2=1上的點(diǎn)，點(diǎn)F?、F?是E的左、右焦點(diǎn)，A?、A?是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若∠F?PF?=90°，則△F?PF?的面積為1B.點(diǎn)P到兩漸近線的距離之積為4/5C.點(diǎn)P在雙曲線的右支時(shí)，1/|PA?|+1/|PA?|的最大值為√5/3D.設(shè)△PF?F?的面積為S，則S·tan∠PF?F?為定值我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）。在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)定點(diǎn)F?(-1,0)，F(xiàn)?(1,0)，P(x,y)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)滿足|PF?|·|PF?|=m的P的軌跡為曲線C?，滿足|PF?|·|PF?|=n的P的軌跡為曲線C?(m≠n)，則（）A.曲線C?關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱B.當(dāng)P不在x軸上時(shí)，∠PF?F?=∠PF?F?C.當(dāng)m=2時(shí)，曲線C?上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于√2D.當(dāng)曲線C?、C?有公共點(diǎn)時(shí)，mn≥0已知曲線Γ是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)A(0,0)、B(2,0)和C(1,√3)的距離的和等于4的點(diǎn)的軌跡，P為Γ上一點(diǎn)，則（）A.曲線Γ關(guān)于x軸對(duì)稱B.存在點(diǎn)P，使得PA=PBC.△PAB面積的最大值是√3D.存在點(diǎn)P，使得∠APB為鈍角已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上，那么（）A.|PA|+|PB|>8B.|PA|·|PB|>16C.|PA|+|PB|的最小值為10D.若PA與C相切，則PB也與C相切三、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）點(diǎn)M在直線x+y-4=0上，點(diǎn)N在拋物線y2=4x上，記M、N兩點(diǎn)間的最小距離為d，則當(dāng)d=√2時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為________。已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x?,y?)在C上，且x?≥1，則|PF|的取值范圍是________，x?+|PF|的最小值為________。已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?、F?，焦距為2c，點(diǎn)P為C在第一象限上一點(diǎn)，直線PF?與y軸交于點(diǎn)M，→F?M=2→MP，若直線PF?的斜率為√3/3，則C的離心率為________。已知直線l：mx+ny=1（m>0，n>0）與橢圓C：x2/4+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，過AB的中點(diǎn)M作垂直于l的直線l'，設(shè)l'與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)C、D，且CD的中點(diǎn)為N。設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則|MN|/d的取值范圍是________。已知M是圓O?：(x-1)2+(y-2)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，N是圓O?：(x+2)2+(y+3)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足→OP=→OM+→ON，則|OP|的最小值為________。已知點(diǎn)A(0,2)，B為拋物線C：x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y=-2上的射影為D，P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，則|BD|+|PA|的最小值為________。四、解答題（共6小題，滿分70分）（本小題滿分10分）雙曲線E的一個(gè)頂點(diǎn)在直線x+y-2=0上，且其離心率為√2。(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若一條直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且該直線與雙曲線的漸近線不平行，則定義該直線為雙曲線的切線，定義該公共點(diǎn)為切線的切點(diǎn)，已知點(diǎn)P在直線x=3上，且過點(diǎn)P恰好可作雙曲線E的兩條切線，設(shè)這兩條切線的切點(diǎn)分別為A和B。（i）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求t的取值范圍；（ii）設(shè)直線PA和直線PB分別與直線x=1交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，證明：直線AM和直線BN交點(diǎn)在定直線上。（附：雙曲線x2/a2-y2/b2=1以點(diǎn)(x?,y?)為切點(diǎn)的切線方程為x?x/a2-y?y/b2=1）（本小題滿分12分）一般地，若兩個(gè)橢圓焦點(diǎn)都在x軸或y軸上，長(zhǎng)軸相等，其中一個(gè)橢圓的短半軸長(zhǎng)與另一個(gè)橢圓的焦距長(zhǎng)相等，則稱兩個(gè)橢圓為相關(guān)橢圓。已知橢圓C?：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，拋物線C?與C?有一個(gè)相同的焦點(diǎn)F。過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l?與l?，直線l?與C?交于點(diǎn)G、B，直線l?與C?交于點(diǎn)C、D。(1)若橢圓C?的離心率為1/2，焦距為2，求該橢圓的相關(guān)橢圓方程及拋物線C?的方程；(2)四邊形GCBD的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)過橢圓C?左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線與橢圓交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P為MA的中點(diǎn)。若x軸上存在點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k，都有OP⊥QN（O為原點(diǎn)），若|OQ|=2，求橢圓C?的離心率。（本小題滿分12分）如圖，已知圓錐的高SO與母線SA所成的角為30°，過SA的平面與圓錐的高SO所成的角為45°，該平面截這個(gè)圓錐所得的截面為橢圓C，橢圓C的長(zhǎng)軸為AB，短軸為CD，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，C的中心為N，再以AB為弦且垂直于SO的圓截面，記該圓與直線SC交于E、F，與直線SD交于G、H。(1)用SO的長(zhǎng)h分別表示橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a和短軸長(zhǎng)2b；(2)若h=2√3，（i）求橢圓C的焦距；（ii）橢圓C左右焦點(diǎn)分別為F?、F?，C上不同兩點(diǎn)D、E在長(zhǎng)軸同側(cè)，且∠DF?F?=∠EF?F?，設(shè)直線DF?與EF?交于點(diǎn)Q，記Q的橫坐標(biāo)為t，設(shè)f(t)=|QF?|·|QF?|，請(qǐng)寫出f(t)的解析式（不要求求出定義域）。（本小題滿分12分）已知點(diǎn)P為圓O：x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，→QM=1/2→QP，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C。(1)求曲線C的方程；(2)已知橢圓在變換(x',y')=(kx,y)下保持位置關(guān)系不變性，即點(diǎn)(x,y)在橢圓上，在變換下點(diǎn)(kx,y)也在橢圓上；直線與橢圓相切，在變換下直線與橢圓也相切。用上述結(jié)論證明：在點(diǎn)M(x?,y?)處曲線C的切線的方程為x?x/4+y?y=1；(3)已知點(diǎn)A為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且在A、B處兩曲線的切線平行，求|AB|的最小值。（本小題滿分12分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過E的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長(zhǎng)為6。(1)求E的方程；(2)若面積為3√3的△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在E上，邊BC過F，邊AB過原點(diǎn)，求直線BC的方程；(3)已知M(0,1)，過點(diǎn)M的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)P，Q，l上是否存在點(diǎn)S滿足1/|SM|2=1/|SP|2+1/|SQ|2，且S異于M？若存在，求S的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。（本小題滿分12分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，點(diǎn)P(x,y,z)是平面ABC上的動(dòng)點(diǎn)。(1)求平面ABC的方程；(2)