2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)分組求和法專題試題一、選擇題（每題5分，共30分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則數(shù)列${a_n+1}$的前$n$項和為（）A.$2^{n+1}-2$B.$2^n-1$C.$2^{n+1}-1$D.$2^n+1$若數(shù)列${a_n}$的通項公式為$a_n=(-1)^n(3n-2)$，則其前100項和$S_{100}=$（）A.150B.300C.-150D.-300已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_2=5$，$S_5=35$，等比數(shù)列${b_n}$滿足$b_1=a_1$，$b_3=a_4$，則數(shù)列${a_n+b_n}$的前$n$項和為（）A.$n^2+2n+2^{n+1}-2$B.$n^2+2n+2^n-1$C.$n^2+3n+2^{n+1}-2$D.$n^2+3n+2^n-1$數(shù)列${a_n}$滿足$a_n=\frac{1}{n(n+2)}+\left(\frac{1}{3}\right)^n$，則其前$n$項和$S_n=$（）A.$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}+\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right]$B.$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}+\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right]$C.$\frac{3}{4}-\frac{n+3}{2(n+1)(n+2)}+\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right]$D.$\frac{3}{4}-\frac{n+3}{2(n+1)(n+2)}+\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right]$已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=2^n+n-1$，則$a_1+a_3+a_5=$（）A.37B.40C.43D.46若數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+2n+1$，則其前$n$項和$S_n=$（）A.$n^3+2n$B.$n^3+2n+1$C.$n^2+2n$D.$n^2+2n+1$二、填空題（每題5分，共20分）數(shù)列${a_n}$的通項公式為$a_n=2n+3^n$，則其前$n$項和$S_n=$__________。已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_n=(-1)^n\cdotn^2$，則$S_{10}=$__________。若數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=3^n-2n+1$，則$a_n=$__________。數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，且對任意$n\geq2$，有$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{n(n-1)}$，則其前$n$項和$S_n=$__________。三、解答題（共50分）（10分）已知等差數(shù)列${a_n}$的公差$d=2$，前$n$項和為$S_n$，且$S_3=15$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）若$b_n=a_n+2^n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$。（12分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+2$。（1）證明：數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n$；（3）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{3^n}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$。（14分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=2a_n-1$，數(shù)列${b_n}$是等差數(shù)列，$b_1=a_1$，$b_3=a_3$。（1）求數(shù)列${a_n}$和${b_n}$的通項公式；（2）設(shè)$c_n=a_n+b_n$，求數(shù)列${c_n}$的前$n$項和$T_n$；（3）若$d_n=\frac{b_n}{a_n}$，求數(shù)列${d_n}$的前$n$項和$K_n$。（14分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_2=3$，且$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$。（1）證明：數(shù)列${a_{n+1}-a_n}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（3）設(shè)$c_n=a_n+\frac{1}{2^n}$，求數(shù)列${c_n}$的前$n$項和$T_n$。四、拓展題（共20分）（20分）已知數(shù)列${a_n}$的通項公式為$a_n=n^2\cdot\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$，求其前$2025$項和$S_{2025}$。參考答案及解析一、選擇題A解析：由$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，知${a_n+1}$是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，$S_n=2(2^n-1)/(2-1)=2^{n+1}-2$。A解析：$S_{100}=(-1+4)+(-7+10)+\cdots+(-295+298)=3\times50=150$。C解析：$a_n=2n+1$，$b_n=2^{n+1}$，$T_n=n^2+2n+2^{n+2}-4$。A解析：裂項得$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$，等比部分和為$\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right]$。C解析：$a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2$（$n\geq2$），$a_1=2$，$a_3=6$，$a_5=34$，和為43。A解析：累加法得$a_n=n^2+1$，$S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n=n^3+2n$。二、填空題$n(n+1)+\frac{3(3^n-1)}{2}$解析：等差部分和$n(n+1)$，等比部分和$\frac{3(3^n-1)}{2}$。55解析：$S_{10}=(-1+4)+(-9+16)+\cdots+(-81+100)=3+7+\cdots+19=55$。$\begin{cases}2,&n=1\2\cdot3^{n-1}-2,&n\geq2\end{cases}$解析：$n=1$時$a_1=S_1=2$；$n\geq2$時$a_n=S_n-S_{n-1}=2\cdot3^{n-1}-2$。$2-\frac{1}{n}$解析：累加法得$a_n=2-\frac{1}{n}$，$S_n=2n-1+\frac{1}{n}$。三、解答題（1）$a_n=2n+1$；（2）$T_n=n(n+2)+2^{n+1}-2$。（1）略；（2）$S_n=\frac{3^{n+1}-3}{2}-n$；（3）$T_n=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4\cdot3^n}$。（1）$a_n=2^{n-1}$，$b_n=2n-1$；（2）$T_n=2^n+n^2-1$；（3）$K_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}$。（1）略；（2）$a_n=2^n-1$；（3）$T_n=2^{n+1}-\frac{1}{2^n}-n-2$。四、拓展題$S_{2025}=1013^2$解析：周期為4，每