2025年上學期高二數(shù)學幾何概型專題試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）在區(qū)間[0,2π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“sinx≥1/2”發(fā)生的概率為（）A.1/3B.1/2C.2/3D.3/4解析：本題考查與長度有關的幾何概型。解不等式sinx≥1/2，x∈[0,2π]，得π/6≤x≤5π/6。區(qū)間長度為5π/6-π/6=2π/3，總區(qū)間長度為2π，所以概率為(2π/3)/(2π)=1/3，故選A。已知復數(shù)z=x+yi（x,y∈R），若|z|≤2，則x+y≥2的概率為（）A.(π-2)/4πB.(π-2)/πC.(4-π)/4D.(π-2)/2π解析：本題考查復數(shù)與幾何概型的結合。|z|≤2表示以原點為圓心，2為半徑的圓及其內部，面積為4π。x+y≥2表示直線x+y=2的右上方區(qū)域，在圓內形成一個弓形。圓心到直線的距離d=|0+0-2|/√2=√2，弦長為2√(22-(√2)2)=2√2，弓形面積為扇形面積減去三角形面積，即(1/4)×4π-(1/2)×2√2×√2=π-2。所以概率為(π-2)/4π，故選A。甲乙兩人約定在上午8:00至9:00之間到某地點會面，先到者等后到者15分鐘，過時不等。若兩人在這段時間內任意時刻到達的概率相等，則兩人能會面的概率為（）A.7/16B.9/16C.15/16D.1/4解析：本題考查會面問題的幾何概型。設甲到達時間為8時x分，乙到達時間為8時y分，x,y∈[0,60]。兩人能會面的條件是|x-y|≤15，在平面直角坐標系中表示為正方形[0,60]×[0,60]內兩條直線y=x+15和y=x-15之間的區(qū)域。總面積為60×60=3600，不能會面的區(qū)域是兩個三角形，面積和為2×(1/2)×45×45=2025，所以能會面的概率為1-2025/3600=1575/3600=7/16，故選A。在半徑為1的圓內隨機取一點，則該點到圓心的距離小于1/2的概率為（）A.1/4B.1/2C.3/4D.1/8解析：本題考查與面積有關的幾何概型。圓的面積為π×12=π，到圓心距離小于1/2的區(qū)域是半徑為1/2的同心圓，面積為π×(1/2)2=π/4，所以概率為(π/4)/π=1/4，故選A。在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?內隨機取一點P，則點P到正方體中心的距離小于1的概率為（）A.π/12B.π/6C.π/4D.π/3解析：本題考查與體積有關的幾何概型。正方體體積為23=8，到中心距離小于1的點構成半徑為1的球體，體積為(4/3)π×13=4π/3，所以概率為(4π/3)/8=π/6，故選B。已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3，若從區(qū)間[-2,4]上任取一個實數(shù)x，則f(x)≤0的概率為（）A.1/3B.1/2C.2/3D.3/4解析：本題考查二次函數(shù)與幾何概型。解不等式x2-2x-3≤0，得-1≤x≤3，區(qū)間長度為4，總區(qū)間長度為6，概率為4/6=2/3，故選C。在平面直角坐標系中，點(x,y)滿足x2+y2≤4，則x2+y2≤2x的概率為（）A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3解析：本題考查圓與幾何概型。x2+y2≤4表示半徑為2的圓，面積為4π。x2+y2≤2x可化為(x-1)2+y2≤1，表示圓心在(1,0)，半徑為1的圓，面積為π。兩圓相交弦所對的圓心角為120°，所以小圓在大圓內的面積為(120°/360°)×4π+(√3/4)×22=(4π/3)+√3，概率為[(4π/3)+√3]/4π，計算得1/3+√3/(4π)，但選項中無此答案，說明題目應為兩圓面積比，即π/4π=1/4，故選A。在區(qū)間[0,1]上任取兩個數(shù)x,y，則x+y≤1的概率為（）A.1/4B.1/2C.3/4D.1解析：本題考查二維幾何概型。在平面直角坐標系中，x,y∈[0,1]表示邊長為1的正方形，面積為1。x+y≤1表示直線x+y=1下方的三角形區(qū)域，面積為1/2，概率為1/2，故選B。某人向一個半徑為6的圓形靶射擊，假設他每次射擊都能擊中靶面任意一點，且擊中靶面任意一點的概率相等，則他擊中靶心區(qū)域（半徑為2）的概率為（）A.1/9B.1/6C.1/3D.1/2解析：本題考查與面積有關的幾何概型。靶的面積為π×62=36π，靶心區(qū)域面積為π×22=4π，概率為4π/36π=1/9，故選A。在區(qū)間[-1,1]上任取兩個數(shù)a,b，則二次方程x2+ax+b=0有實根的概率為（）A.1/3B.1/2C.2/3D.1/4解析：本題考查二次方程與幾何概型。方程有實根的條件是Δ=a2-4b≥0，即b≤a2/4。a,b∈[-1,1]表示邊長為2的正方形，面積為4。滿足b≤a2/4的區(qū)域面積為∫(-1到1)a2/4da+2×1×(1-1/4)=(1/12)a3|(-1到1)+3/2=(1/12+1/12)+3/2=1/6+3/2=5/3，概率為(5/3)/4=5/12，無正確選項，可能題目應為a,b∈[0,1]，則面積為∫(0到1)a2/4da=1/12，概率為1/12，仍無選項，推測正確條件為b≤a2/4且b≥0，面積為∫(0到1)a2/4da=1/12，概率為1/12，題目可能存在錯誤，暫選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在區(qū)間[0,π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“tanx≥1”發(fā)生的概率為________。解析：解不等式tanx≥1，x∈[0,π]，得π/4≤x<π/2，區(qū)間長度為π/2-π/4=π/4，總區(qū)間長度為π，概率為(π/4)/π=1/4，答案為1/4。在平面直角坐標系中，點(x,y)滿足|x|≤1，|y|≤1，則x2+y2≥1的概率為________。解析：正方形面積為2×2=4，x2+y2≥1表示圓外區(qū)域，面積為4-π×12=4-π，概率為(4-π)/4，答案為(4-π)/4。在體積為8的正方體ABCD-A?B?C?D?內隨機取一點P，則點P到正方體各面的距離都大于1的概率為________。解析：正方體棱長為2，到各面距離都大于1的點構成棱長為0的正方體，體積為0，概率為0，答案為0。（注：若正方體體積為27，棱長為3，則概率為(1/3)3=1/27）甲乙兩人玩轉盤游戲，轉盤被分成8個面積相等的扇形，其中紅色區(qū)域3個，黃色區(qū)域2個，藍色區(qū)域3個。兩人各轉一次轉盤，指針指向區(qū)域顏色相同的概率為________。解析：總情況數(shù)為8×8=64，顏色相同的情況數(shù)為3×3+2×2+3×3=9+4+9=22，概率為22/64=11/32，答案為11/32。三、解答題（本大題共6小題，共80分）（12分）在區(qū)間[0,3]上任取兩個數(shù)x,y，求x+y≤2的概率。解析：在平面直角坐標系中，x,y∈[0,3]表示邊長為3的正方形，面積為9。x+y≤2表示直線x+y=2下方的三角形區(qū)域，面積為1/2×2×2=2，概率為2/9。（14分）在半徑為1的圓內隨機取一點，求該點到圓心的距離大于1/2且小于√3/2的概率。解析：圓的面積為π×12=π，到圓心距離大于1/2且小于√3/2的區(qū)域是圓環(huán)，面積為π×(√3/2)2-π×(1/2)2=π×(3/4-1/4)=π×1/2=π/2，概率為(π/2)/π=1/2。（14分）甲乙兩人約定在下午1:00至2:00之間到圖書館見面，先到者等后到者20分鐘，過時不等。求兩人能見面的概率。解析：設甲到達時間為1時x分，乙到達時間為1時y分，x,y∈[0,60]。兩人能見面的條件是|x-y|≤20，總面積為60×60=3600，不能見面的區(qū)域是兩個三角形，面積和為2×(1/2)×40×40=1600，能見面的概率為1-1600/3600=2000/3600=5/9。（14分）在區(qū)間[0,2]上任取兩個數(shù)a,b，求二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,+∞)上有零點的概率。解析：函數(shù)在[0,+∞)上有零點的條件是f(0)≤0或Δ=a2-4b≥0且對稱軸x=-a/2≥0。f(0)=b≤0，a,b∈[0,2]，所以b≤0不成立。對稱軸x=-a/2≥0得a≤0，又a∈[0,2]，所以a=0，此時Δ=0-4b≥0得b≤0，仍不成立。綜上，概率為0。（14分）在平面直角坐標系中，點(x,y)滿足x2+y2≤4，求x+2y≥0的概率。解析：圓的面積為π×22=4π，x+2y≥0表示直線x+2y=0右上方的半圓區(qū)域，面積為2π，概率為2π/4π=1/2。（12分）在棱長為3的正方體ABCD-A?B?C?D?內隨機取一點P，求點P到頂點A的距離小于2的概率。解析：正方體體積為33=27，到頂點A的距離小于2的點構成半徑為2的球體的1/8（因為在正方體內部），體積為(1/8)×(4/3)π×23=(1/8)×(32/3)π=4π/3，概率為(4π/3)/27=4π/81。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）在區(qū)間[0,1]上任取三個數(shù)x,y,z，求x+y+z≤1的概率。解析：在空間直角坐標系中，x,y,z∈[0,1]表示棱長為1的正方體，體積為1。x+y+z≤1表示三棱錐區(qū)域，體積為1/6，概率為1/6。在平面直角坐標系中，點(x,y)滿足|x|+|y|≤2，求x2+y2≥1的概率。解析：|x|+|y|≤2表示邊長為2√2的正方形，面積為8，x2+y2≥1表示圓外區(qū)域，面積為8-π×12=8-π，概率為(8-π)/8=1-π/8。五、綜合應用題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）某商場舉行抽獎活動，在一個半徑為1米的圓形轉盤上，劃分出圓心角為60°的扇形區(qū)域作為一等獎，圓心角為120°的扇形區(qū)域作為二等獎，其余區(qū)域為三等獎。求顧客轉動轉盤一次，獲得一等獎、二等獎、三等獎的概率分別是多少？解析：圓的面積為π×12=π，一等獎區(qū)域面積為(60°/360°)π=π/6，概率為(π/6)/π=1/6；二等獎區(qū)域面積為(120°/360°)π=π/3，概率為(π/3)/π=1/3；三等獎區(qū)域面積為π-π/6-π/3=π/2，概率為(π/2)/π=1/2。甲乙兩人進行射擊比賽，甲的命中率為0.6，乙的命中率為0.5。兩人各射擊一次，求：（1）兩人都命中的概率；（2）恰有一人命中的概率；（3）至少有一人命中的概率。解析：（1）兩人都命中的概率為0.6×0.5=0.3；（2）恰有一人命中的概率為0.6×(1-0.5)+(1-0.6)×0.5=0.6×0.5+0.4×0.5=0.3+0.2=0.5；（3）至少有一人命中的概率為1-(1-0.6)×(1-0.5)=1-0.4×0.5=1-0.2=0.8。六、拓展探究題（本大題共2小題，每小題20分，共40分）在區(qū)間[0,π]上任取兩個數(shù)x,y，求sinx>siny的概率。解析：x,y∈[0,π]表示邊長為π的正方形，面積為π2。sinx>siny的區(qū)域面積為2×∫(0到π)sinxdx=2×(-cosx)|(0到π)=2×(1+1)=4，概率為4/π2。在平面直角坐標系中，點(x,y)滿足0≤x≤2,0≤y≤2，求x2+y2≤2x+2y的概率。解析：x2