2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與醫(yī)學(xué)試卷一、選擇題（每題5分，共60分）某醫(yī)院對(duì)某種新型降壓藥進(jìn)行臨床試驗(yàn)，選取200名高血壓患者隨機(jī)分為實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組服用新藥，對(duì)照組服用安慰劑。試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：組別有效人數(shù)無效人數(shù)總計(jì)實(shí)驗(yàn)組8515100對(duì)照組6040100總計(jì)14555200若用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷該藥是否有效，計(jì)算得到的χ2值約為（）A.6.43B.8.72C.10.25D.12.68神經(jīng)元細(xì)胞膜電位變化的Hodgkin-Huxley模型中，描述鈉離子通道開放概率的微分方程為：dy/dt=α(1-y)-βy，其中α和β為速率常數(shù)。若α=0.1ms?1，β=0.05ms?1，當(dāng)y=0.5時(shí)，膜電位變化的瞬時(shí)速率為（）A.0.025ms?1B.0.05ms?1C.0.075ms?1D.0.1ms?1某種病毒的傳播服從Logistic模型：dN/dt=rN(1-N/K)，其中N為感染人數(shù)，r為增長(zhǎng)率，K為環(huán)境容量。已知當(dāng)N=K/3時(shí)，感染人數(shù)的增長(zhǎng)速率為0.02K/天，則r的值為（）A.0.01B.0.03C.0.06D.0.09醫(yī)院急診科在疫情期間的就診人數(shù)服從泊松分布，已知平均每小時(shí)接診5人，則1小時(shí)內(nèi)接診不超過3人的概率為（）A.Σ?=03(e??·5?)/k!B.Σ?=3^∞(e??·5?)/k!C.1-Σ?=03(e??·5?)/k!D.1-Σ?=4^∞(e??·5?)/k!醫(yī)學(xué)影像中腫瘤區(qū)域的邊緣檢測(cè)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題。若某腫瘤截面輪廓的函數(shù)表達(dá)式為f(x)=x3-3x2+2，其邊緣轉(zhuǎn)折點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)收集了100名患者的血糖值（mmol/L）數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得樣本均值為5.2，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.8。若血糖值服從正態(tài)分布，估計(jì)該人群血糖值在4.4~6.0范圍內(nèi)的比例約為（）A.68.3%B.95.4%C.99.7%D.100%在藥物動(dòng)力學(xué)研究中，血藥濃度C(t)隨時(shí)間變化的函數(shù)為C(t)=Ae???+Be???（k>m>0），則藥物在體內(nèi)的平均滯留時(shí)間為（）A.(A/k+B/m)/(A+B)B.(Ak+Bm)/(A+B)C.(Ak2+Bm2)/(A+B)D.(A/k2+B/m2)/(A+B)為評(píng)估某種疫苗的有效性，研究人員對(duì)1000名接種者和1000名未接種者進(jìn)行追蹤，結(jié)果如下表：組別感染人數(shù)未感染人數(shù)接種組50950未接種組200800該疫苗的保護(hù)率（(對(duì)照組發(fā)病率-接種組發(fā)病率)/對(duì)照組發(fā)病率）為（）A.25%B.50%C.75%D.95%心電圖中QRS波群的寬度通常服從正態(tài)分布，某醫(yī)院測(cè)得健康人群QRS寬度的均值為0.08秒，標(biāo)準(zhǔn)差為0.01秒。若某患者的QRS寬度為0.11秒，其標(biāo)準(zhǔn)化值（Z分?jǐn)?shù)）為（）A.-3B.-1C.1D.3在放射治療中，腫瘤組織接受的輻射劑量D與距離r的平方成反比，即D=k/r2。若源皮距從100cm增加到120cm，為保持劑量不變，放射源強(qiáng)度應(yīng)從I調(diào)整為（）A.1.44IB.1.2IC.0.83ID.0.69I某醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從二項(xiàng)分布B(n,p)，已知E(X)=6，Var(X)=4.8，則參數(shù)p的值為（）A.0.1B.0.2C.0.8D.0.9在基因序列分析中，DNA片段的堿基排列可視為馬爾可夫鏈。若某片段中堿基A→T的轉(zhuǎn)移概率為0.3，T→C的轉(zhuǎn)移概率為0.2，則A→T→C的聯(lián)合概率為（）A.0.06B.0.1C.0.3D.0.5二、填空題（每題6分，共30分）醫(yī)學(xué)研究中常用ROC曲線評(píng)價(jià)診斷試驗(yàn)的性能，其橫軸為假陽(yáng)性率（1-特異性），縱軸為真陽(yáng)性率（敏感性）。若某診斷試驗(yàn)的ROC曲線下面積為0.85，則該試驗(yàn)的診斷效能等級(jí)為________（填“差”“一般”“良好”或“優(yōu)秀”）。某醫(yī)院用CT機(jī)測(cè)量肺部結(jié)節(jié)體積，測(cè)量值X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)?，F(xiàn)進(jìn)行5次獨(dú)立測(cè)量，得數(shù)據(jù)：12.3,12.7,12.5,12.9,12.6（單位：mm3），則μ的無偏估計(jì)為________mm3，σ2的無偏估計(jì)為________mm3。藥物劑量與療效的關(guān)系可用Logistic回歸模型描述：P=1/(1+e?(β?+β?D))，其中P為療效概率，D為劑量。若β?=-2，β?=0.5，則當(dāng)劑量D=________時(shí)，療效概率P=0.5。某傳染病的基本再生數(shù)R?=3.0，意味著在沒有干預(yù)的情況下，每個(gè)感染者平均可傳染________人；若通過戴口罩使傳播概率降低50%，則有效再生數(shù)R變?yōu)開_______。在醫(yī)學(xué)圖像處理中，為增強(qiáng)病灶區(qū)域，常對(duì)圖像進(jìn)行灰度變換。若原始圖像的灰度值為x（0≤x≤255），變換函數(shù)為y=255·(x/255)^γ（γ>0），當(dāng)γ<1時(shí)，該變換的作用是________（填“增強(qiáng)暗區(qū)域”或“增強(qiáng)亮區(qū)域”）。三、解答題（共60分）（12分）為研究某新型抗生素對(duì)細(xì)菌的抑制效果，實(shí)驗(yàn)人員測(cè)量了不同濃度C（μg/mL）下細(xì)菌的生長(zhǎng)抑制率Y（%），數(shù)據(jù)如下表：C12345Y2035506580（1）判斷Y與C是否存在線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算相關(guān)系數(shù)r；（2）建立Y關(guān)于C的線性回歸方程Y=a+b?C；（3）預(yù)測(cè)當(dāng)濃度C=6μg/mL時(shí)的抑制率。（12分）Hodgkin-Huxley模型中，鉀離子通道的電導(dǎo)g_K(t)=g_Kmax·n?，其中n為激活變量，滿足微分方程dn/dt=α?(1-n)-β?n，α?=0.01(10-V)/(e^(0.1(10-V))-1)，β?=0.125e^(-V/80)（V為膜電位，單位mV）。（1）當(dāng)膜電位V=0mV時(shí)，計(jì)算α?和β?的值；（2）求此時(shí)n的穩(wěn)態(tài)值n∞=α?/(α?+β?)；（3）若g_Kmax=36mS/cm2，求鉀離子通道的穩(wěn)態(tài)電導(dǎo)g_K。（12分）某醫(yī)院急診科的救護(hù)車調(diào)度問題可簡(jiǎn)化為排隊(duì)論模型。已知救護(hù)車的平均到達(dá)率λ=4輛/小時(shí)，每輛救護(hù)車的平均服務(wù)時(shí)間μ=0.2小時(shí)/輛，系統(tǒng)容量無限，車輛源無限。（1）判斷該排隊(duì)系統(tǒng)的類型（M/M/1,M/M/c等）；（2）計(jì)算系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度ρ；（3）求平均等待隊(duì)長(zhǎng)L_q和平均等待時(shí)間W_q（單位：小時(shí)）。（12分）在腫瘤放射治療中，為保護(hù)正常組織，需計(jì)算靶區(qū)的劑量分布。設(shè)某腫瘤為半徑R=3cm的球體，其內(nèi)部任一點(diǎn)的劑量D(r)=D?e^(-kr)，其中r為該點(diǎn)到球心的距離，k=0.1cm?1，D?=100Gy。（1）寫出球坐標(biāo)系下劑量在整個(gè)腫瘤體積內(nèi)的積分表達(dá)式；（2）計(jì)算腫瘤的平均劑量D?=(1/V)∫D(r)dV，其中V=4πR3/3；（3）若正常組織位于r=4cm處，估算其受到的劑量。（12分）為評(píng)估某地區(qū)居民的健康狀況，衛(wèi)生部門隨機(jī)抽取了200名成年人進(jìn)行體檢，測(cè)量其體重指數(shù)BMI，數(shù)據(jù)整理如下表：BMI區(qū)間[18.5,24)[24,28)[28,∞)總計(jì)男性40301080女性604020120總計(jì)1007030200（1）根據(jù)BMI標(biāo)準(zhǔn)，[18.5,24)為正常，[24,28)為超重，[28,∞)為肥胖，計(jì)算男性和女性的肥胖率；（2）用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷BMI等級(jí)與性別是否獨(dú)立，寫出檢驗(yàn)步驟（α=0.05，χ2?.??(2)=5.991）；（3）從肥胖人群中隨機(jī)抽取3人，求其中至少有1名男性的概率。四、建模題（30分）（30分）糖尿病是一種常見的代謝性疾病，血糖監(jiān)測(cè)是糖尿病管理的重要環(huán)節(jié)。某研究團(tuán)隊(duì)收集了一名2型糖尿病患者的連續(xù)血糖監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其餐后血糖變化近似服從以下規(guī)律：餐后t小時(shí)的血糖值G(t)=G?+at2e???，其中G?為餐前血糖（mmol/L），a、k為正參數(shù)。（1）（6分）求血糖值G(t)的一階導(dǎo)數(shù)G’(t)，并解釋其生理意義；（2）（8分）證明當(dāng)t=2/k時(shí)，血糖值達(dá)到最大值G_max，并寫出G_max的表達(dá)式；（3）（8分）已知該患者某次餐后血糖數(shù)據(jù)：G?=7.0mmol/L，餐后1小時(shí)血糖為9.0mmol/L，餐后2小時(shí)達(dá)到最大值10.0mmol/L，求參數(shù)a和k的值；（4）（8分）根據(jù)糖尿病管理指南，餐后血糖應(yīng)控制在10.0mmol/L以下。若該患者通過飲食調(diào)整使血糖峰值降低10%，且峰值出現(xiàn)時(shí)間提前0.5小時(shí)，試建立新的血糖變化模型，并估算餐后3小時(shí)的血糖值。五、開放探究題（20分）（20分）數(shù)學(xué)模型在傳染病預(yù)測(cè)和防控中發(fā)揮著重要作用。2025年初，某地區(qū)爆發(fā)了一種新型呼吸道傳染病，衛(wèi)生部門收集了前20天的確診病例數(shù)據(jù)（如下表），請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決以下問題：天數(shù)t12345678910病例數(shù)N(t)5122865148320680125020002800天數(shù)t11121314151617181920病例數(shù)N(t)3500400044004700485049204960498049904995（1）（6分）根據(jù)數(shù)據(jù)特征