2025年上學期高二數(shù)學空間向量坐標運算試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知向量$\vec{a}=(1,2,-3)$，$\vec=(2,x,6)$，滿足$\vec{a}\perp\vec$，則$x$的值為（）A.-1B.1C.3D.-3已知$M$，$A$，$B$，$C$為空間中四點，任意三點不共線，且$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$，若$M$，$A$，$B$，$C$四點共面，則$t$的值為（）A.$\frac{5}{12}$B.$\frac{7}{12}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{3}$已知向量$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec=(1,2,-1)$，則$\vec{a}$在$\vec$上的投影向量為（）A.$\left(\frac{1}{6},\frac{1}{3},-\frac{1}{6}\right)$B.$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$C.$\left(\frac{1}{2},1,-\frac{1}{2}\right)$D.$\left(1,2,-1\right)$已知向量$\vec{a}=(m,3,4)$，$\vec=(2,n,-1)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$m+n$的值為（）A.-5B.5C.-10D.10若向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,-1,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec+\vert\vec{a}\vert$的值為（）A.$5+\sqrt{14}$B.$3+\sqrt{14}$C.$5+\sqrt{13}$D.$3+\sqrt{13}$已知向量$\vec{a}=(2,-3,1)$，$\vec=(x,y,2)$，且$\vec{a}\parallel\vec$，則實數(shù)$x+y$的值為（）A.-2B.2C.-4D.4在空間直角坐標系中，$O$為坐標原點，點$A(1,2,3)$，$B(2,-1,4)$，則向量$\overrightarrow{AB}$的坐標為（）A.$(1,-3,1)$B.$(-1,3,-1)$C.$(3,1,7)$D.$(1,3,1)$已知向量$\vec{a}=(1,0,-1)$，$\vec=(-1,2,1)$，則$\vert\vec{a}+2\vec\vert$的值為（）A.$\sqrt{6}$B.$\sqrt{10}$C.$\sqrt{14}$D.$\sqrt{26}$已知$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec=(-1,4,-2)$，$\vec{c}=(7,5,\lambda)$，若$\vec{a}$，$\vec$，$\vec{c}$三個向量不能構成空間直角坐標系上的一組基底，則實數(shù)$\lambda$為（）A.$\frac{65}{7}$B.$\frac{65}{8}$C.$\frac{65}{9}$D.$\frac{65}{10}$定義一個集合$A$，集合中的元素是空間中的點集，任取$\vec{a},\vec\inA$，且存在不全為0的實數(shù)$\lambda,\mu$有$\lambda\vec{a}+\mu\vec\inA$，已知$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,1,0)$，則不符合題意的$\vec{c}$是（）A.$(4,5,6)$B.$(3,3,3)$C.$(0,1,2)$D.$(1,1,1)$已知向量$\vec{a}=(1,2,-2)$，$\vec=(-2,x,y)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，且$\vec{a}\cdot\vec=-3$，則$x+y$的值可能為（）A.-3B.3C.-6D.6在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpAC$，$PA=AB=AC=2$，$M$為$BC$中點，點$N$為棱$PB$上的動點，當$\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{CM}$取最小值時，線段$PN$的長度為（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\sqrt{2}$C.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$D.$\frac{4\sqrt{2}}{3}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec=(1,2,-1)$，則$\vec{a}-2\vec=$__________。已知$\vec{a}=(m,1,1)$，$\vec=(1,-2,n)$，$\vec{c}=(2,1,1)$，若$(\vec{a}+\vec)\perp\vec{c}$，則$m+n$的值為__________。已知點$A(1,2,3)$，$B(4,5,6)$，則在$\overrightarrow{AB}$方向上的單位向量為__________。已知空間三點$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$，則向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為__________，三棱錐$O-ABC$（$O$為坐標原點）的體積為__________。（第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知向量$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec=(1,2,-1)$，$\vec{c}=(3,-2,m)$。（1）求$\vec{a}\cdot(\vec+\vec{c})$的值；（2）若$\vec{a}\perp\vec{c}$，求實數(shù)$m$的值。（本小題滿分12分）在空間直角坐標系中，已知點$A(2,-1,3)$，$B(1,2,-1)$，$C(3,2,2)$。（1）求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的坐標；（2）求$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$及$\vert\overrightarrow{BC}\vert$；（3）求向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角的余弦值。（本小題滿分12分）已知向量$\vec{a}=(1,2,-2)$，$\vec=(-3,x,y)$，且$\vec{a}\parallel\vec$。（1）求$x$，$y$的值；（2）若$\vert\vec{c}\vert=3$，且$\vec{c}$與$\vec{a}$垂直，求向量$\vec{c}$的坐標。（本小題滿分12分）已知$M$，$A$，$B$，$C$為空間四點，其中$A$，$B$，$C$三點不共線，且$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$。（1）若$x+y+z=1$，求證：$M$，$A$，$B$，$C$四點共面；（2）若$M$，$A$，$B$，$C$四點共面，且$\overrightarrow{OA}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{OC}=(0,0,1)$，$\overrightarrow{OM}=(2,3,4)$，求$x+y+z$的值。（本小題滿分12分）在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，使得點$A$為坐標原點，$AB$，$AD$，$AA_1$所在直線分別為$x$軸，$y$軸，$z$軸。（1）寫出正方體各頂點的坐標；（2）求向量$\overrightarrow{A_1B}$與$\overrightarrow{AC_1}$的坐標；（3）求異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值。（本小題滿分12分）已知向量$\v