學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準(zhǔn)考證號學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準(zhǔn)考證號…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共3頁溫州醫(yī)科大學(xué)《數(shù)值分析》2025學(xué)年第二學(xué)期期末試卷（A卷）專業(yè)

班級

姓名

學(xué)號

說明：本試卷共100分；答題要求：按要求答題考生須知:1.姓名、學(xué)號、系、專業(yè)、年級、班級必須寫在密封線內(nèi)指定位置。2.答案必須用藍(lán)、黑色鋼筆或圓珠筆寫在試卷上，字跡要清晰，卷面要整潔，寫在草稿紙上的一律無效。一、選擇題（本題共10小題，每題3分，滿分30分。從每題所給的A、B、C、D四個選項中選出最佳答案）下列關(guān)于誤差的表述，錯誤的是（）（可用于醫(yī)學(xué)檢測數(shù)據(jù)精度分析）A.絕對誤差是近似值與真值的差值，可能為正或負(fù)B.相對誤差能更準(zhǔn)確反映測量精度，與量綱無關(guān)C.若近似值x*具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為0.5×10^(n-1)D.舍入誤差是由于計算過程中數(shù)字舍入導(dǎo)致的誤差，屬于計算誤差某患者血液中藥物濃度隨時間變化的實測數(shù)據(jù)為(1,2.1)、(2,3.8)、(3,4.9)，采用線性插值計算t=2.5時的濃度值，結(jié)果為（）（基于藥物代謝動力學(xué)數(shù)據(jù)處理）A.4.35B.4.50C.4.65D.4.80關(guān)于拉格朗日插值多項式的性質(zhì)，下列表述正確的是（）（可用于生理信號插值重建）A.插值節(jié)點越多，插值多項式的逼近效果一定越好B.拉格朗日插值基函數(shù)在對應(yīng)節(jié)點處取值為1，其他節(jié)點處取值為0C.二次拉格朗日插值需要4個插值節(jié)點才能構(gòu)造D.拉格朗日插值多項式的誤差僅與插值節(jié)點數(shù)量有關(guān)采用梯形公式計算定積分02(xA.4.0B.4.5C.5.0D.5.5求解線性方程組2x1+A.2.5x_2=3.5B.2.5x_2=4.5C.3.5x_2=2.5D.3.5x_2=4.5某醫(yī)學(xué)實驗數(shù)據(jù)采用最小二乘法擬合為線性函數(shù)y=ax+b，已知i=13xi=6，iA.1.5B.2.0C.2.5D.3.0關(guān)于微分方程數(shù)值解法的表述，錯誤的是（）（可用于細(xì)菌增殖模型求解）A.歐拉法是一階精度的數(shù)值方法，計算簡單但誤差較大B.改進歐拉法通過預(yù)測-校正步驟提高精度，屬于二階方法C.龍格-庫塔法（RK4）的精度高于歐拉法，計算量也更大D.微分方程數(shù)值解的步長越小，計算結(jié)果的精度一定越高采用牛頓法求解非線性方程f(x)=x^2-4x+3=0，取初始值x0=0.5，第一次迭代得到的x1值為（）（可用于藥物劑量優(yōu)化計算）A.-0.5B.0.8C.1.2D.1.5關(guān)于Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的對比，下列表述正確的是（）（可用于多器官生理模型求解）A.兩者的迭代公式完全相同，僅計算順序不同B.Gauss-Seidel迭代法利用最新計算結(jié)果，收斂速度通常更快C.若Jacobi迭代法收斂，則Gauss-Seidel迭代法一定收斂D.兩種方法都適用于所有線性方程組的求解下列數(shù)值方法中，可用于計算人體心輸出量（基于染料稀釋法積分）的是（）（基于臨床檢測標(biāo)準(zhǔn)模型）A.牛頓插值法B.Simpson求積公式C.歐拉法D.最小二乘法二、填空題（本題共6小題，每題3分，滿分18分。）已知某血壓計測量值x*=125mmHg，真值x=120mmHg，則其相對誤差為________（保留兩位小數(shù)）；可用于醫(yī)學(xué)儀器精度評估。采用兩點高斯求積公式計算定積分?1設(shè)線性方程組Ax=b，若矩陣A的條件數(shù)cond(A)很大，則該方程組屬于________方程組；可用于分析生理參數(shù)方程組的穩(wěn)定性。采用線性插值計算函數(shù)f(x)在x處的值時，需要已知f(x)在________個互異點處的函數(shù)值；可用于缺失醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)補全。求解常微分方程dydx對數(shù)據(jù)點(0,1)、(1,3)、(2,5)進行最小二乘線性擬合，得到的擬合直線方程為________；可用于腫瘤生長趨勢擬合。三、計算題（本題共4小題，每題8分，滿分32分。）誤差分析與數(shù)據(jù)處理（結(jié)合醫(yī)學(xué)檢測場景）：某血糖儀測量5次患者血糖值（單位：mmol/L）分別為：5.2、5.3、5.1、5.4、5.0。已知該血糖儀的絕對誤差限為0.2mmol/L。（1）計算血糖測量值的平均值及絕對誤差限；（2）計算平均值的相對誤差限（保留三位小數(shù)）；（3）說明誤差分析在醫(yī)學(xué)檢測中的應(yīng)用價值，解釋絕對誤差與相對誤差的臨床意義，以及如何根據(jù)誤差限評估檢測結(jié)果的可靠性。插值法應(yīng)用（結(jié)合藥物濃度擬合場景）：某患者注射藥物后，不同時間t（單位：h）的血藥濃度C（單位：mg/L）數(shù)據(jù)如下：t:012C:02.03.6（1）構(gòu)造二次拉格朗日插值多項式L2(t)；（2）利用L2(t)計算t=1.5h時的血藥濃度近似值；（3）說明拉格朗日插值法在藥物代謝研究中的應(yīng)用價值，解釋插值節(jié)點選擇對結(jié)果精度的影響，以及如何避免高次插值的龍格現(xiàn)象。數(shù)值積分（結(jié)合腫瘤體積計算場景）：已知腫瘤橫截面面積隨半徑r（單位：cm）的變化函數(shù)為S(r)=π(4r-r2)，采用Simpson公式計算積分04（1）寫出Simpson求積公式的一般形式及本次計算的具體表達(dá)式；（2）計算積分的近似值（保留兩位小數(shù)）；（3）說明Simpson公式在醫(yī)學(xué)影像體積計算中的應(yīng)用價值，對比梯形公式與Simpson公式的精度差異，解釋步長選擇對計算結(jié)果的影響。微分方程數(shù)值解（結(jié)合細(xì)菌增殖場景）：細(xì)菌數(shù)量N(t)滿足微分方程dNdt（1）采用改進歐拉法取步長h=1，計算N(1)的近似值（預(yù)測-校正步驟需完整）；（2）說明改進歐拉法的計算優(yōu)勢，對比歐拉法與改進歐拉法的精度差異；（3）解釋該微分方程在微生物培養(yǎng)中的醫(yī)學(xué)意義，分析環(huán)境容納量對細(xì)菌增殖的影響，以及數(shù)值解法在臨床抗生素使用時機選擇中的應(yīng)用。四、證明題（本題共1小題，滿分10分。需邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)合高等數(shù)學(xué)定理與醫(yī)學(xué)場景展開，可引用教材核心結(jié)論）證明：對于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的n次拉格朗日插值多項式Ln(x)，其插值余項Rn(x)=f(x)-Ln(x)=f(n+（提示：分兩步展開證明：當(dāng)x=xk（k=0,1,...,n）時，Rn(xk)=0，故Rn(x)可表示為Rn(x)=K(x)k=構(gòu)造輔助函數(shù)g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)k=0n(t?xk)，g(t)在[a,b]結(jié)合醫(yī)學(xué)場景說明：該定理為醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)插值的誤差控制提供理論依據(jù)。例如，在體溫連續(xù)監(jiān)測中，若通過離散測量點插值重建體溫曲線，可利用余項公式估算插值誤差，避免因誤差過大導(dǎo)致發(fā)熱峰值誤判。在藥物濃度曲線擬合中，根據(jù)余項定理選擇合適的插值節(jié)點數(shù)量，可在保證精度的前提下減少計算量，為給藥方案制定提供可靠數(shù)據(jù)支撐。在心電圖信號重建中，通過余項分析優(yōu)化插值策略，能有效降低信號失真，提高心律失常診斷的準(zhǔn)確性。）五、應(yīng)用題（本題共1小題，滿分10分。需建立數(shù)值分析模型，選擇合適方法求解，分析結(jié)果的醫(yī)學(xué)工程意義）某醫(yī)院通過實驗獲得患者血液中胰島素濃度C（單位：μU/ml）與時間t（單位：min）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下：t:1020304050C:15