第7節(jié)對數(shù)函數(shù)高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.通過具體實例,了解對數(shù)函數(shù)的概念.能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.2.知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1).1強基礎(chǔ)固本增分2研考點精準(zhǔn)突破目錄索引

1強基礎(chǔ)固本增分知識梳理1.對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是

.

微點撥對數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)=logax的三個特征:(1)底數(shù)a>0,且a≠1;(2)真數(shù)是自變量x且x>0;(3)系數(shù)為1.(0,+∞)2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)圖象a>10<a<1圖象特征在y軸右側(cè),過定點(1,0)

這是因為loga1=0

當(dāng)x逐漸增大時,圖象是上升的當(dāng)x逐漸增大時,圖象是下降的函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)性質(zhì)定義域(0,+∞)值域R單調(diào)性在(0,+∞)上單調(diào)遞增在(0,+∞)上單調(diào)遞減函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x=1時,y=0當(dāng)x>1時,y>0;當(dāng)0<x<1時,y<0當(dāng)x>1時,y<0;當(dāng)0<x<1時,y>0微點撥1.對數(shù)值的符號規(guī)律:logax>0?(a-1)(x-1)>0,logax<0?(a-1)(x-1)<0(其中a>0,a≠1,x>0).2.在直線x=1的右側(cè),當(dāng)a>1時,底數(shù)越大,圖象越靠近x軸;當(dāng)0<a<1時,底數(shù)越小,圖象越靠近x軸.也就是說,在第一象限內(nèi),不同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.微拓展函數(shù)y=loga|x|與y=|logax|(a>0,a≠1)的性質(zhì)

函數(shù)y=loga|x|y=|logax|a>10<a<1a>10<a<1定義域(-∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)值域R[0,+∞)奇偶性偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增;在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減;在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增圖象微思考如何確定對數(shù)型函數(shù)y=kloga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)圖象所過的定點?3.反函數(shù)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為

,它們的定義域與值域正好互換.

微點撥1.只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù).2.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.反函數(shù)

常用結(jié)論

2.對于函數(shù)f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),則必有mn=1.3.函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象與

(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對稱,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象與y=loga(-x)(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱.自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.函數(shù)f(x)=log3(x-1)是對數(shù)函數(shù).(

)2.若logax>1,則x>a.(

)3.函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1)在其定義域上單調(diào)遞增.(

)4.函數(shù)y=||的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞).(

)××√×題組二回源教材5.(人教A版必修第一冊習(xí)題4.4第1題改編)函數(shù)y=的定義域為

.

6.(人教B版必修第二冊習(xí)題4-2

B第6題改編)已知0<m<n,且m≠1,n≠1,則logm7與logn7的大小關(guān)系是

.

當(dāng)1<m<n或0<m<n<1時,logm7>logn7;當(dāng)0<m<1<n時,logm7<logn7

解析

當(dāng)n>m>1時,函數(shù)y=logmx和y=lognx的圖象如圖①所示,當(dāng)x=7時,數(shù)形結(jié)合可得logm7>logn7.當(dāng)0<m<n<1時,函數(shù)y=logmx和y=lognx的圖象如圖②所示,當(dāng)x=7時,數(shù)形結(jié)合知logm7>logn7.當(dāng)0<m<1<n時,函數(shù)y=logmx與y=lognx的圖象如圖③所示,當(dāng)x=7時,顯然,logn7>logm7.①

②③題組三連線高考7.(2021·新高考Ⅱ,7)已知a=log52,b=log83,c=,則下列判斷正確的是(

)A.c<b<a B.b<a<cC.a<c<b D.a<b<cCB

解析

(方法一)∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x).不妨令x=1,則有f(-1)=f(1),2研考點精準(zhǔn)突破考點一對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例1(1)(2024·浙江嘉興模擬)若函數(shù)f(x)=log2|a+x|的圖象不經(jīng)過第四象限,則實數(shù)a的取值范圍為

.

[1,+∞)解析

函數(shù)f(x)=log2|a+x|的圖象關(guān)于直線x=-a對稱,其定義域為{x|x≠-a},作出函數(shù)f(x)=log2|a+x|的大致圖象(如圖所示),由圖象可知,要使函數(shù)f(x)=log2|a+x|的圖象不經(jīng)過第四象限,則

解得a≥1,所以實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).(2)(2024·北京海淀模擬)不等式2log3x-(x-1)(x-2)>0的解集為

.

(1,3)[對點訓(xùn)練1](1)(2024·浙江杭州模擬)函數(shù)f(x)=logn(x+m)恒過定點(-2,0),則m的值為(

)A.5 B.4

C.3

D.2C解析

由函數(shù)f(x)=logn(x+m)恒過定點(-2,0),可得logn(-2+m)=0,所以-2+m=1,解得m=3,故選C.(2)(2024·天津模擬)函數(shù)f(x)=xln(x2+1)的圖象大致為(

)C解析

由題可知,函數(shù)f(x)的定義域為R,又f(-x)=-xln[(-x)2+1]=-xln(x2+1)=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),排除A,B,又f(1)=ln

2>0,因此排除D,故選C.考點二對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1求單調(diào)區(qū)間或參數(shù)取值范圍例2(1)(2024·河北唐山模擬)函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

(-1,1)解析

由

得-1<x<3,則函數(shù)f(x)的定義域為(-1,3),又f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)=lg(x+1)(3-x)=lg(-x2+2x+3),令u=-x2+2x+3,則u(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減,又因為y=lg

u在定義域上是增函數(shù),所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1).變式探究1(變結(jié)論)本例(1)中,若函數(shù)解析式不變,則函數(shù)f(x)的最大值為

.

lg4解析

由于f(x)的定義域為(-1,3),又f(x)=lg(-x2+2x+3),令u=-x2+2x+3,易知,u有最大值4,因此函數(shù)f(x)的最大值為lg

4.變式探究2(變條件)本例(2)中,若函數(shù)解析式不變,則當(dāng)函數(shù)

的值域為R時,實數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,-4]∪[0,+∞)

解析

當(dāng)函數(shù)

的值域為R時,u(x)=x2-ax-a應(yīng)能取到所有正實數(shù),所以Δ=a2+4a≥0,解得a≥0或a≤-4,故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-4]∪[0,+∞).[對點訓(xùn)練2]若函數(shù)

在(-2,+∞)單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,-6]

考向2比較對數(shù)值大小

例3(1)(2024·湖南益陽模擬)已知,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是(

)A.c>b>a B.c>a>bC.b>a>c D.a>c>bB(2)設(shè)a=log26,b=log312,c=log515,則(

)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.c<a<bB解析

a=log26=1+log23,b=log312=1+log34,c=log515=1+log53.因為log23>log22=1,log34>log33=1,0<log53<log55=1,所以a>c,b>c.又因為2log23=log29>log28=3,2log34=log316<log327=3,所以2log23>2log34,即log23>log34,a>b.所以a>b>c.規(guī)律方法比較對數(shù)值大小的方法若底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷;若底數(shù)為同一字母,則需對底數(shù)進行分類討論若底數(shù)不同,真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后,再進行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進行比較考向3解對數(shù)型不等式例4(1)(2024·廣東河源模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞D(2,+∞)規(guī)律方法求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法logax>logab借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況討論logax>b