第第頁浙江省杭州市錢塘區(qū)文海中學2024-2025學年上學期八年級期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分．請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）1．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．2，5，3 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，63．如果用2,5表示2街5巷的十字路口，那么6,3表示（）的十字路口．A．3街3巷 B．6街3巷 C．3街6巷 D．6街6巷4．不等式3x+1≤2x+2的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．5．下列命題中，是假命題的是（）A．對頂角相等B．同旁內(nèi)角互補C．兩點確定一條直線D．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等6．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若AB=5，BC=12，CA=9，則A．5 B．9 C．12 D．137．等腰三角形中，一個角為50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）A．50° B．50°或80° C．80° D．70°或80°8．某電梯乘載的重量超過1000公斤時會響起警示音，小剛、小明的體重分別為55公斤、70公斤．小剛、小明依序進入電梯，小剛走進后，警示音沒響，小明走進后，警示音響起．設兩人沒進入電梯前已乘載的重量為x公斤，則x滿足（）A．930<x≤970 B．875≤x<945 C．875<x≤945 D．930≤x<9709．如圖，線段AB=16，點P在線段AB上，且AP=10，分別以點A和點B為圓心，AP的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和點D，連接AC，BC，A．245 B．485 C．410．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PACA．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④二、填空題（每小題3分，共18分）11．平面直角坐標系中，若點Aa?2,a+1在y軸上，則點A的坐標為12．如圖，一太陽能熱水器支架（Rt△ACB）兩直角邊AC=1.2米，CB=1.6米，點D為受光面斜邊AB的中點，則連桿CD的長為米．13．如圖，P，Q是△ABC邊上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，則∠BAC的度數(shù)為．14．如果一元一次不等式組x>5x>2m-3的解集為x＞5，則m的取值范圍是15．如圖，點E在AC邊上，點F在AB邊上，將等邊△ABC沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，F(xiàn)D⊥AB，若CD的長是1，則等邊△ABC的邊長為．16．如圖是2002年北京第24屆國際數(shù)學家大會會徽，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為13和1，且直角三角形的兩直角邊分別為a，b，則(a+b)2的值為三、解答題（本大題共8小題，第17題6分，第18，19，20，21每小題6分，第22小題10分，第23，24題12分，共72分）17．解下列不等式（組）．（1）3x?2≥2x+1；（2）x218．如圖，在△ABC和△ADE中，D是BC邊上一點，且AD=AB，（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）AD平分∠BDE是否成立？請判斷并說明理由．19．如圖，∠A=∠D=90°，點B，E，F(xiàn)，C在同一直線上，AB=CD,BE=CF，求證：∠B=∠C．20．為支援抗擊新冠肺炎疫情前線，某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價為4萬元/噸，乙物資單價為3萬元/噸，采購兩種物資共花費1920萬元．（1）求甲、乙兩種物資各采購了多少噸？（2）現(xiàn)在計劃安排A，B兩種不同型號的卡車共50輛來運輸這批物資．甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛A型卡車；甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛B型卡車。按此要求安排A、B兩型卡車的數(shù)量，請問有哪幾種運輸方案？21．如圖，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點B在邊ED延長線上，AC與DE相交于點F．（1）求證：BD=CE．（2）求∠BEC的度數(shù)．22．已知方程組x+y=-7?mx?y=1+3m（1）求m的取值范圍；（2）化簡：|m-5|-|m+2|；（3）在m的取值范圍內(nèi)，當m為何整數(shù)時，不等式2mx+x<2m+1的解為x>1．23．綜合與實踐：動手操作：某校八（1）班數(shù)學課外興趣小組在學完第13章的特殊三角形后，利用手頭上的一副三角板（∠DOE＝90°，∠E=30°）的直角頂點O放置在另一塊直角三角板ABC（∠C=90°，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：（1）如圖1，三角板DOE的兩邊DO，EO分別與另一塊三角板的邊AC，BC交于點P，Q（規(guī)定：此時點P，Q均在邊AC，BC上運動），他們在旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)線段AP與CQ的長總相等及四邊形OPCQ的面積不會發(fā)生變化．問題解決：①請你幫他們說明AP=CQ的理由；②若AB=12cm，請你幫他們求出四邊形OPCQ拓展延伸：（2）如圖2，連接CD，當AB=12cm，DE=14cm，那么直角三角板DOE在繞點O旋轉(zhuǎn)一周的過程中，請你直接寫出線段24．某興趣小組在學習了勾股定理之后提出：“銳（鈍）角三角形有沒有類似于勾股定理的結(jié)論”的問題．首先定義了一個新的概念：如圖（1）△ABC中，M是BC的中點，P是射線MA上的點，設APPM=k．若∠BPC=90°，則稱（1）如圖（1），過B、C分別作中線AM的垂線，垂足為E、D．求證：CD=BE．（2）①如圖（2），當k=1，且AB=AC時，AB2+A②如圖（1），當k=1，△ABC為銳角三角形，且AB≠AC時，①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，也請說明理由．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義可知ABD不符合題意，C符合題意，故答案為：C．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據(jù)此逐項進行判斷即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵2+3=5，∴2，3，5不能組成三角形，故A不符合題意；B、∵2+2<7，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意；C、∵4+5>7，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；D、∵3+3=6，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意；故答案為：C．【分析】根據(jù)三角形三條邊的關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，由較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)，逐項進行判斷即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵用2,5表示2街5巷的十字路口，∴6,3表示6街3巷的十字路口，故答案為：B．【分析】本題考查坐標確定位置，解題的關鍵是明確坐標中的數(shù)字表示的意義，由2,5表示的意義直接得到答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵3x+1≤2x+2，∴3x?2x≤2?1，解得：x≤1，

∴將解集表示在數(shù)軸上如下圖所示：

故答案為：B．【分析】先求出不等式的解集，然后將解集表示在數(shù)軸上即可得到答案.5．【答案】B【解析】【解答】A、對頂角相等，所以A選項為真命題；B、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，所以B選項為假命題；C、兩點確定一條直線，所以C選項為真命題；D、角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，所以D選項為真命題．故選B．【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)對A進行判斷；根據(jù)平行線的性質(zhì)對B進行判斷；根據(jù)直線公理對C進行判斷；根據(jù)角平分線性質(zhì)對D進行判斷．6．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB，AC的垂直平分線分別交BC于點E，F(xiàn)，∴EA=EB，F(xiàn)A=FC，

∵BC=12，∴△AEF的周長為：EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=12，故答案為：C．【分析】線根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，F(xiàn)A=FC，從而進行等量代換得△AEF的周長為BC的長.7．【答案】B【解析】【解答】解：①頂角為50°；

②當?shù)捉菫?0°時，頂角的度數(shù)為180°-50°-50°=80°；綜上所述，等腰三角形的頂角度數(shù)為50°或80°，故答案為：B．【分析】根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，分已知角是頂角和底角兩種情況討論，即可求解.8．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意，得x+55≤1000x+55+70>1000，

解得：875<x≤945，

【分析】本題考查了一元一次不等式組的應用，根據(jù)”小剛的重量為55公斤，小剛走進后，警示音沒響，小明的重量為70公斤，進入電梯后，警示音響起，且兩人沒進入電梯前已乘載的重量為x公斤“可列出關于x的不等式組，解不等式組即可.9．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，連接CD交AB于點E，根據(jù)作圖可知CD是AB的垂直平分線，AC=AD=BC=BD=AP=10，∴四邊形ACBD為菱形，∠AEC=90°，∴CE=DE，AE=BE，

∵AB=16，

∴∴CE=A∴CD=2CE=12，設點C到邊AD的距離為h，∴AD?h=1∴h=1故答案為：B．【分析】連接CD交AB于點E，先利用基本作圖得到CD是AB的垂直平分線，AC=AD=BC=BD=AP=10，從而證明四邊形ACBD是菱形，∠AEC=90°，進而得CE=DE，AE=BE=8，再利用勾股定理計算出CE=6，于是得到CD=12，接下來設點C到邊AD的距離為10．【答案】D【解析】【解答】解：①如圖，過點P作PD⊥AC于D，∵∠ABC，∠EAC的角平分線BP，AP交于點P，PM⊥BE，∴PM=PN，∴PM=PN=PD，∴CP平分∠ACF，故①正確；②∵PM⊥BE，PN⊥BF，

∴∠BMP=∠BNP=90°，

∵∴∠ABC+∠MPN=180°，在Rt△PAM和RtPA=PAPM=PD∴Rt△PAM≌∴∠APM=∠APD，同理得Rt△PCD≌∴∠CPD=∠CPN，∴∠MPN=2∠APC，∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正確；③∵∠ABC，∠EAC的角平分線BP，AP交于點P，

∴∠EAC=2∠PAM，∠ABP=12∠ABC，

∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB=2∠PAM，

∵∠PAM=∠ABP+∠APB，

∴∠ABC+∠ACB=2∠ABP+∠APB=212④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD∴S△APD∴S△MAP+S故答案為：D．【分析】①過點P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PM=PN=PD，由角平分線的判定推出CP平分∠ACF；②根據(jù)垂直的定義以及四邊形內(nèi)角和等于360°求出∠ABC+∠MPN=180°，然后證明Rt△PAM≌Rt△PADHL，Rt△PCD≌Rt△PCNHL，得∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，從而得∠MPN=2∠APC，進而得∠ABC+2∠APC=180°；③根據(jù)角平分線的定義得∠EAC=2∠PAM，∠ABP=12∠ABC11．【答案】0,3【解析】【解答】解：∵點Aa?2,a+1在y軸上，

∴a?2=0，解得：a=2，

∴a+1=3，

∴點A的坐標為0,3．

故答案為：0,3．

12．【答案】1【解析】【解答】解：∵AC=1.2，CB=1.6，

∴在Rt△ACB中，AB=A∵點D為斜邊AB的中點，

∴CD=1故答案為：1．

【分析】先利用勾股定理求出AB長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CD的長.13．【答案】120°【解析】【解答】解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴△PAQ是等邊三角形，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∵∠BAP+∠B=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°，∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=120°，故答案為：120°．【分析】根據(jù)等邊三角形的判定以及等腰三角形“等邊對等角”性質(zhì)得△PAQ是等邊三角形，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，從而得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，進而結(jié)合三角形外角的性質(zhì)求出∠BAP=∠CAQ=30°，最后根據(jù)角的和差關系即可求出∠BAC的度數(shù).14．【答案】m≤4【解析】【解答】解：∵一元一次不等式組x>5x>2m-3的解集為x＞5，

∴2m?3≤5解得：m≤4，故答案為：m≤4．

【分析】根據(jù)取一元一次不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”即可求出m的取值范圍.15．【答案】3【解析】【解答】解：設BF=m，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∵FD⊥AB，∴∠BFD=90°，∴∠BDF=90°?∠B=30°，∴BD=2BF=2m，∴DF=B∵折疊的性質(zhì)，

∴AF=DF=3∵AF+BF=BD+CD，CD=1，∴3m+m=2m+1，

解得：m=3+12，故答案為：3+2【分析】設BF=m，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=BC，∠B=60°，從而得∠BDF=30°，進而由含30°的直角三角形的性質(zhì)得BD=2m，于是利用勾股定理求得DF=3m，由折疊的性質(zhì)得AF=DF=316．【答案】25【解析】【解答】解：根據(jù)題意，得a2+b2=13，a-b2=1，

∴a-b2-故答案為：25．【分析】利用勾股定理得a2+b2=13，a-b17．【答案】（1）解：∵3x?2≥2x+1，∴3x?2x≥1+2，∴x≥3；（2）解：x2由①得：x≤2，由②得：x<4，∴原不等式組的解集為：x≤2．【解析】【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的法，按照移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟進行求解；（2）根據(jù)不等式組的解法，先分別求兩個不等式的解，再根據(jù)口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”得不等式組的解集.（1）解：3x?2≥2x+1，3x?2x≥1+2，x≥3．（2）解：x2解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x<4，所以不等式組的解集為x≤2．18．【答案】（1）證明：在△ABC與△ADE中，

AB=ADAC=AEBC=DE，

∴（2）解：成立，理由如下：

由（1）得△ABC≌△ADE，

∴∠ADE=∠B，

∵AB=AD，

∴∠B=∠ADB，

∴∠ADB=∠ADE，

∴AD平分∠BDE．【解析】【分析】（1）利用全等三角形判定定理“SSS”即可得證結(jié)論；（2）由（1）中的全等三角形得∠ADE=∠B，根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”性質(zhì)得∠B=∠ADB，最后進行等量代換即可得證結(jié)論.（1）證明：在△ABC與△ADE中，AD=ABAC=AE∴△ABC≌△ADESSS（2）解：成立，理由如下：由（1）知，△ABC≌△ADE，∴∠ADE=∠ABD，又∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE，∴AD平分∠BDE．19．【答案】證明：∵BE=CF，

∴CE=BF，

在Rt△BAF和Rt△CDE中，

BF=CEAB=CD，

∴Rt△BAF?Rt△CDEHL，

∴【解析】【分析】先求出CE=BF，從而證明Rt△BAF?Rt△CDEHL20．【答案】（1）解：設甲、乙兩種物資各采購了x噸，y噸，

根據(jù)題意，得x+y=5404x+3y=1920解得：x=300y=240∴甲、乙兩種物資各采購了300噸，240噸；（2）解：設安排A型卡車m輛，則安排B型卡車50-m輛，

根據(jù)題意，得7m+550?m≥3003m+750?m≥240，

解得：25≤m≤2712，

∵m為正整數(shù)，

∴m的值為25或26或27，

∴共有3種運輸方案如下：

方案一：安排25輛A型卡車，25輛B型卡車；

方案二：安排26輛A型卡車，24輛B【解析】【分析】（1）設甲、乙兩種物資各采購了x噸，y噸，根據(jù)“采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價為4萬元/噸，乙物資單價為3萬元/噸，采購兩種物資共花費1920萬元”可列出關于x，y的二元一次方程組并解之即可；（2）設安排A型卡車m輛，則安排B型卡車50-m輛，根據(jù)“甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛A型卡車，甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛B型卡車，且甲、乙兩種物資各采購了300噸，240噸”可列出關于m的不等式組并解之得m的取值范圍，然后由m為正整數(shù)得出三種不同方案．（1）解：設甲物資采購了x噸，乙物資采購了y噸，依題意得：x+y=5404x+3y=1920解得x=300y=240答：甲物資采購了300噸，乙物資采購了240噸；（2）解：設安排A型卡車m輛，則安排B型卡車（50－m）輛，依題意得：7m+550?m解得25≤m≤271∵m為正整數(shù)，∴m可以為25，26，27，∴共有3種運輸方案：方案一：安排25輛A型卡車，25輛B型卡車；方案二：安排26輛A型卡車，24輛B型卡車；方案三：安排27輛A型卡車，23輛B型卡車．21．【答案】（1）證明：∵△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△BAD?△CAESAS，

（2）解：由（1）得△BAD?△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠AFD=∠EFC，

∴180°-∠ABD-∠AFD=180°-∠ACE-∠EFC，

∴∠BEC=∠BAC=90°．【解析】【分析】（1）利用“手拉手”全等模型證明△BAD?△CAESAS（2）由（1）中的全等三角形相等得∠ABD=∠ACE，根據(jù)對頂角相等性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可得到∠BEC=∠BAC=90°．（1）證明：∵△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD?△CAESAS∴BD=CE．（2）∵△BAD?△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠AFD=∠EFC，∴∠BEC=∠BAC=90°．22．【答案】（1）解：∵方程組x+y=-7-mx-y=1+3m，

解得：x=m-3y=-4-2m，

∵方程組的解滿足x為非正數(shù)，y為負數(shù)，

∴m-3≤0-4-2m<0，

（2）解：由（1）得-2<m≤3，

∴m-5＜0，m+2＞0，

∴原式＝5-m-m-2＝3-2m；（3）解：∵2mx+x＜2m+1，

∴2m+1x<2m+1，

∵不等式的解為x＞1，

∴2m+1＜0，

解得：m<-由（1）得-2<m≤3，∴-2<m<-1∵m為整數(shù)，∴m=-1．【解析】【分析】（1）利用“加減消元法”解方程組得出x=m-3y=-4-2m，由方程組的解滿足的條件得到關于m（2）結(jié)合（1）中m的取值范圍判斷出m-5＜0，m+2＞0，然后利用絕對值的意義進行化簡即可；（3）利用不等式的基本性質(zhì)可得m<-12，結(jié)合（1）所求m的范圍知-2<m<-123．【答案】解：（1）①如圖1，連接CO，

∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜邊AB的中點，

∴CO=AO=12AB，∠OCQ=∠A=45°，AO⊥CO，

∵∠DOE=90°，

∴∠AOP+∠POC=∠POC+∠COQ=90°，

∴∠AOP=∠COQ，

在△AOP和△COQ中，

∠A=∠OCQOA=OC∠AOP=∠COQ，

∴△AOP≌△COQ（ASA），

∴AP=CQ；

②由①得△AOP≌△COQ，

∴S△AOP=S△COQ，

∴S四邊形OPCQ=S△COQ+S△COP=S△AOP+S△COP=S△AOC，

∵AB=12，

∴OC=12AC=6，

∴S△AOC=12S△ABC=12×12×12×6=18，

∴S四邊形CPOQ=18；

（2）如圖2，當點D，C，O共線，且點C在點D和點O之間時，線段CD長的最小，

∵∠DOE=90°，∠E=30°，DE=14，

∴OD=12【解析】【分析】（1）①連接CO，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到得到CO=AO，∠OCQ=∠A=45°，AO⊥CO，從而得∠AOP=∠COQ，進而證明△AOP≌△COQ（ASA），于是得AP=CQ；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得S（2）當點D，C，O共線，且點C在點D和點O之間時，線段CD長的最小，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到OD，OC的值，則求出CD=OD-