2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)弦論技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）弦論中額外維度的緊致化模型弦論預(yù)言時空維度為10維，其中6個維度需緊致化為Calabi-Yau流形。若某Calabi-Yau流形的Hodge數(shù)滿足(h^{1,1}=3)，(h^{2,1}=2)，則該流形的歐拉示性數(shù)(\chi)為（）A.(2(h^{1,1}-h^{2,1})=2)B.(2(h^{2,1}-h^{1,1})=-2)C.(h^{1,1}+h^{2,1}=5)D.(h^{1,1}-h^{2,1}=1)開弦邊界條件與規(guī)范對稱性開弦端點(diǎn)滿足Dirichlet邊界條件（D膜）時，對應(yīng)規(guī)范場的（）A.向量表示B.旋量表示C.張量表示D.標(biāo)量表示弦振動模式的能量計算一根長度為(L)的閉弦，其最低激發(fā)態(tài)（第一激發(fā)能級）的能量與（）成正比A.(L^2)B.(L^{-2})C.(L)D.(L^{-1})超弦理論的時空超對稱性TypeIIB超弦理論的超對稱荷數(shù)量為（）A.1個Majorana-Weyl旋量B.2個Majorana-Weyl旋量（手征相反）C.2個Majorana-Weyl旋量（手征相同）D.4個Majorana旋量T對偶變換的幾何效應(yīng)在半徑為(R)的圓周上緊致化的玻色弦，經(jīng)T對偶變換后，其緊致半徑變?yōu)椋ǎ〢.(R)B.(1/R)C.(R^2)D.(1/R^2)弦耦合常數(shù)與對偶性下列對偶關(guān)系中，將耦合常數(shù)(g)映射為(1/g)的是（）A.T對偶B.S對偶C.U對偶D.鏡像對稱D膜世界體積理論D3膜上的低能有效理論為（）A.4維(\mathcal{N}=1)超楊-米爾斯理論B.10維超引力理論C.6維共形場論D.2維西格瑪模型弦論中的反常消除為消除10維超弦理論的引力反常，規(guī)范群的表示需滿足（）A.阿貝爾群條件B.秩不超過22C.異常系數(shù)(tr(R^2)=tr(F^2))D.無質(zhì)量態(tài)數(shù)目為偶數(shù)M理論與11維超引力M理論在下列哪種極限下退化為TypeIIA超弦理論？（）A.弦耦合常數(shù)(g_s\rightarrow0)B.弦耦合常數(shù)(g_s\rightarrow\infty)C.緊致維度半徑(R\rightarrow0)D.緊致維度半徑(R\rightarrow\infty)拓?fù)湎遗c物理弦的區(qū)別拓?fù)湎依碚撽P(guān)注的是（）A.時空度規(guī)的動力學(xué)B.背景場的拓?fù)洳蛔兞緾.弦的振動頻率D.黑洞熵的計算AdS/CFT對偶的基本表述AdS?×S?背景下的TypeIIB超弦理論對偶于（）A.4維(\mathcal{N}=4)超楊-米爾斯理論B.5維(\mathcal{N}=2)超引力理論C.6維共形場論D.10維超對稱規(guī)范理論弦論中的真空穩(wěn)定性KKLT機(jī)制通過引入（）實(shí)現(xiàn)德西特真空的穩(wěn)定化A.反膜與通量緊致化B.超對稱破缺C.拓?fù)淙毕軩.量子修正項二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）玻色弦的臨界維度為______，超弦的臨界維度為______。TypeI弦理論的規(guī)范群為______，其通過______對偶可與heterotic弦理論聯(lián)系。弦的Regge軌跡公式為(\alpha'(s)=a_0+\alpha's)，其中(\alpha')稱為______，對于無質(zhì)量粒子，(a_0=)______。在弦論中，引力子對應(yīng)弦的______振動模式，光子對應(yīng)______振動模式。三、計算題（本大題共3小題，共40分）弦的振動頻率與能譜（12分）考慮一根在平坦時空中傳播的閉弦，其世界面度規(guī)取共形gauge：(ds^2=-\tau^2+dx^2)。（1）寫出弦的橫向振動方程，并求解其傅里葉展開形式；（2）計算該弦的總能量動量張量，并證明其滿足Virasoro約束條件；（3）推導(dǎo)閉弦的質(zhì)量平方公式(M^2=4\pi\alpha'(\sum_{n=1}^\inftyn(a_n^i{}^\daggera_n^i+\tilde{a}_n^i{}^\dagger\tilde{a}_n^i)-1))。T對偶與動量-纏繞模式（14分）設(shè)玻色弦在半徑為(R)的圓周(S^1)上緊致化，弦的動量模式為(p=n/R)，纏繞模式為(w=mR)（(n,m\in\mathbb{Z})）。（1）寫出該弦的質(zhì)量平方公式，并證明在T對偶變換下(R\rightarrow1/R)時，動量與纏繞模式互換；（2）若(R=\sqrt{\alpha'})，計算最低質(zhì)量態(tài)（(n=0,m=0)）的質(zhì)量，并說明其物理意義；（3）當(dāng)(R\ll\sqrt{\alpha'})時，解釋為何纏繞模式主導(dǎo)能譜，并與高維引力理論的緊致化效應(yīng)對比。AdS/CFT對偶的應(yīng)用（14分）AdS?×S?背景下，TypeIIB超弦理論的弦耦合常數(shù)(g_s)與5維AdS半徑(L)滿足關(guān)系(L^4=4\pig_sN\alpha'^2)（(N)為D3膜數(shù)目）。（1）寫出對偶的4維(\mathcal{N}=4)超楊-米爾斯理論的規(guī)范群與耦合常數(shù)；（2）計算該規(guī)范理論的中央電荷(c)，并與AdS?時空的Brown-Henneaux中央電荷對比；（3）若(N=10^3)，(g_s=0.1)，估算AdS半徑(L)與弦長(\sqrt{\alpha'})的比值，并說明此時理論的適用近似（弱耦合/強(qiáng)耦合）。四、證明題（本大題共1小題，20分）超弦理論中的無tachyonic條件證明：對于TypeII超弦理論，其無質(zhì)量譜中不含快子（tachyon）的充要條件是時空維度(D=10)。（提示：利用超Virasoro代數(shù)的中心荷匹配條件，考慮左行與右行模的超對稱生成元對易關(guān)系。）五、應(yīng)用題（本大題共1小題，10分）弦論在早期宇宙學(xué)中的啟示簡述“弦氣體宇宙學(xué)”模型的基本假設(shè)，并說明該模型如何解決傳統(tǒng)大爆炸理論中的“視界問題”與“平坦性問題”。要求結(jié)合弦的振動模式、緊