2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)寫作表達(dá)試題一、數(shù)學(xué)概念辨析題（20分）題目：函數(shù)的周期性與對稱性的關(guān)系探究已知函數(shù)$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的可導(dǎo)函數(shù)，現(xiàn)有以下兩個條件：條件①：$f(x+2)=f(2-x)$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立；條件②：$f(x+4)=-f(x)$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立.（1）分別寫出條件①和條件②所蘊含的函數(shù)性質(zhì)，并結(jié)合函數(shù)圖像舉例說明（至少各舉1個具體函數(shù)實例）.（2）若函數(shù)$f(x)$同時滿足條件①和條件②，求證：$f(x)$是周期函數(shù)，并求出它的最小正周期.（3）在（2）的條件下，若$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的解析式為$f(x)=x^2-2x$，試寫出$f(x)$在區(qū)間$[-4,4]$上的分段函數(shù)表達(dá)式，并分析該函數(shù)的奇偶性.解答要求：需明確區(qū)分“對稱性”與“周期性”的定義差異；證明過程需包含邏輯推理步驟和關(guān)鍵等式變形；函數(shù)圖像示例需標(biāo)注對稱軸、對稱中心或周期等關(guān)鍵特征.二、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題（30分）題目：校園快遞柜優(yōu)化設(shè)計問題某中學(xué)為方便學(xué)生取件，計劃在教學(xué)樓附近安裝智能快遞柜.經(jīng)調(diào)研，每天快遞到達(dá)量$y$（件）與當(dāng)天在校學(xué)生人數(shù)$x$（千人）的關(guān)系可近似表示為$y=120x+30$，其中$x\in[1,5]$.每個快遞柜有40個格子，每個格子可容納1件快遞，格子使用成本為0.5元/天，若快遞無法放入柜中，需人工配送，每件人工配送成本為5元.（1）設(shè)安裝$n$個快遞柜，試建立每天總成本$C(n)$（元）關(guān)于$n$的函數(shù)關(guān)系式（注：$n$為正整數(shù)，快遞柜數(shù)量不得超過學(xué)生人數(shù)對應(yīng)的最大需求量）.（2）若該校平均每天在校學(xué)生人數(shù)為3000人，試確定快遞柜安裝數(shù)量$n$，使總成本最低，并計算最低成本.（3）為提高快遞柜使用率，商家提出兩種優(yōu)化方案：方案甲：將快遞柜格子數(shù)量增加20%，成本增加15%；方案乙：引入快遞合并技術(shù)，使每天快遞到達(dá)量減少10%，但需支付技術(shù)維護(hù)費200元/天.若該校計劃長期使用優(yōu)化方案，從成本角度分析應(yīng)選擇哪種方案更優(yōu)？解答要求：需明確寫出建模過程中的假設(shè)條件；成本函數(shù)需包含固定成本與可變成本分析；方案對比需結(jié)合（2）中數(shù)據(jù)進(jìn)行定量計算，并給出明確結(jié)論.三、數(shù)學(xué)證明題（25分）題目：立體幾何中的位置關(guān)系證明如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為矩形，$AB=2AD=4$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=3$，$E$為$PD$的中點，點$F$在$PC$上，且$PF:FC=1:2$.（1）用向量法證明：$AE\perp$平面$PCD$；（2）求二面角$A-PB-C$的余弦值；（3）在線段$BC$上是否存在點$G$，使得$EG\parallel$平面$PAB$？若存在，求出$BG$的長度；若不存在，說明理由.解答要求：需建立空間直角坐標(biāo)系并標(biāo)注各點坐標(biāo)；證明過程需使用向量數(shù)量積或法向量進(jìn)行邏輯推導(dǎo)；結(jié)論需明確寫出“存在”或“不存在”，并給出嚴(yán)格證明.四、數(shù)學(xué)探究題（25分）題目：數(shù)列的遞推關(guān)系與極限問題已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，且$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$（$n\in\mathbb{N}^*$）.（1）計算$a_2,a_3,a_4$的值，猜想數(shù)列${a_n}$的通項公式，并使用數(shù)學(xué)歸納法證明.（2）若$b_n=\frac{a_n}{n(n+1)}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$S_n$，并求$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$.（3）若將遞推公式改為$a_{n+1}=\frac{ka_n}{a_n+2}$（$k>0$），討論$k$的取值對數(shù)列${a_n}$極限存在性的影響，并求出極限存在時的極限值.解答要求：數(shù)學(xué)歸納法需嚴(yán)格遵循“歸納奠基—歸納遞推—結(jié)論”三步；極限計算需說明依據(jù)（如單調(diào)有界準(zhǔn)則或夾逼定理）；需結(jié)合函數(shù)$f(x)=\frac{kx}{x+2}$的單調(diào)性分析數(shù)列的斂散性.五、跨學(xué)科綜合題（30分）題目：物理學(xué)中的拋物線運動與數(shù)學(xué)模型某同學(xué)在體育課上進(jìn)行鉛球投擲訓(xùn)練，鉛球出手時的高度為$h=1.8\\text{m}$，初速度大小為$v_0=10\\text{m/s}$，出手角度為$\theta$（與水平方向夾角）.忽略空氣阻力，重力加速度$g=10\\text{m/s}^2$，鉛球的運動軌跡可視為拋物線.（1）建立平面直角坐標(biāo)系（以出手點為原點，水平方向為$x$軸，豎直方向為$y$軸），寫出鉛球運動軌跡的參數(shù)方程（以時間$t$為參數(shù)），并消去參數(shù)$t$得到普通方程.（2）當(dāng)$\theta=45^\circ$時，求鉛球的最大高度和水平射程（落地時的水平距離）.（3）若該同學(xué)身高$1.8\\text{m}$，站立位置與投擲線的水平距離為$2\\text{m}$，投擲線后有一高$3\\text{m}$的障礙物，為避免鉛球撞障礙物，求出手角度$\theta$的取值范圍（精確到$0.1^\circ$）.解答要求：參數(shù)方程需明確物理量的實際意義；射程計算需包含方程求解過程和判別式分析；角度范圍需結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)和不等式求解，結(jié)果需驗證合理性.六、數(shù)學(xué)文化論述題（15分）題目：《九章算術(shù)》中的“方程術(shù)”與現(xiàn)代線性代數(shù)的關(guān)聯(lián)《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)名著，其中“方程章”記載：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗.問上、中、下禾實一秉各幾何？”（1）用現(xiàn)代漢語描述上述問題，并列出相應(yīng)的三元一次方程組.（2）用矩陣消元法（初等行變換）求解該方程組，并與《九章算術(shù)》中的“直除法”（類似加減消元法）進(jìn)行步驟對比.（3）結(jié)合上述案例，論述中國古代數(shù)學(xué)成就對現(xiàn)代線性代數(shù)發(fā)展的啟示.解答要求：需準(zhǔn)確翻譯古算題中的數(shù)學(xué)術(shù)語（如“秉”“實”“斗”）；矩陣變換需寫出每一步的初等行變換過程；論述部分需包含至少2個具體關(guān)聯(lián)點（如算法思想、符號體系等）.七、開放創(chuàng)新題（35分）題目：函數(shù)迭代與分形幾何初步定義函數(shù)迭代：對于函數(shù)$f(x)$，記$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$（$n\in\mathbb{N}^*$），稱$f_n(x)$為$f(x)$的$n$次迭代.（1）設(shè)$f(x)=2x+1$，計算$f_2(x),f_3(x)$，猜想$f_n(x)$的表達(dá)式，并證明.（2）若$f(x)=\begin{cases}2x,\quad0\leqx\leq\frac{1}{2},\2(1-x),\frac{1}{2}<x\leq1,\end{cases}$稱為“帳篷映射”.試計算$f_2\left(\frac{1}{3}\right),f_3\left(\frac{1}{7}\right)$，并在坐標(biāo)系中畫出$f_1(x),f_2(x)$的圖像，分析圖像的分形特征.（3）若存在$x_0$使得$f_n(x_0)=x_0$且$f_k(x_0)\neqx_0$（$1\leqk<n$），則稱$x_0$為$f(x)$的$n$-周期點.對于帳篷映射，試找出一個3-周期點，并證明其周期性.解答要求：迭代函數(shù)表達(dá)