2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)功能材料”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（一）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.功能材料的微觀結(jié)構(gòu)分析中，常用到集合工具描述原子分布區(qū)域。設(shè)集合(A={x|\lnx\leq1})（表示材料結(jié)晶區(qū)的原子坐標(biāo)范圍），集合(B={x|-1\leqx\leq1})（表示材料非結(jié)晶區(qū)的原子坐標(biāo)范圍），則(A\capB)對(duì)應(yīng)材料的過渡區(qū)域坐標(biāo)范圍為（）A.({x|-1\leqx\leqe})B.({x|0<x\leqe})C.({x|0<x\leq1})D.({x|-1\leqx\leq1})2.壓電材料的振動(dòng)頻率模型可表示為函數(shù)(f(x)=\sin2x+\sqrt{3}\cos2x)，下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說法正確的是（）A.函數(shù)(f(x))的圖象關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱B.函數(shù)(f(x))的圖象關(guān)于點(diǎn)(\left(\frac{\pi}{4},0\right))對(duì)稱C.把函數(shù)(f(x))的圖象向左平移(\frac{\pi}{12})個(gè)單位可得到(y=2\sin2x)的圖象D.函數(shù)(f(x))的最小正周期為(\pi)，且在(\left[0,\frac{\pi}{6}\right])上單調(diào)遞減3.超導(dǎo)材料的臨界溫度計(jì)算中涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉提出的歐拉公式(e^{ix}=\cosx+i\sinx)是重要工具。若某超導(dǎo)材料的臨界溫度對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為(e^{\frac{\pi}{4}i})，則下列結(jié)論正確的是（）A.(e^{\pii}=1)B.(e^{\frac{\pi}{2}i}=1+i)C.復(fù)數(shù)(e^{\frac{\pi}{4}i})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).(|e^{\frac{\pi}{3}i}|=1)4.納米材料的顆粒生長(zhǎng)過程可視為等差數(shù)列模型。已知某納米顆粒的直徑序列({a_n})為等差數(shù)列，前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_7+2S_4=18)，(a_3=3)，則(S_{10}=)（）A.240B.60C.180D.1205.磁性材料的磁疇分布可抽象為圓與直線的位置關(guān)系問題。若圓(C_1:(x+1)^2+(y-2)^2=4)表示某磁疇的邊界，直線(l:x-y+1=0)為材料的晶界，另一個(gè)磁疇邊界圓(C_2)的圓心為((2,1))，半徑為(r)，若兩磁疇邊界圓與晶界(l)均相交且不重合，則(r)的取值范圍為（）A.((3,+\infty))B.((\sqrt{5},+\infty))C.((3-\sqrt{2},3+\sqrt{2}))且(r\neq2)D.((\sqrt{5}-2,\sqrt{5}+2))且(r\neq2)6.光電材料的光吸收效率函數(shù)為(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{\sinx})（(x\in(-\pi,\pi))且(x\neq0)），則其函數(shù)圖象大致為（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)，在((0,\pi))上單調(diào)遞增B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)，在((0,\pi))上先增后減C.關(guān)于(y)軸對(duì)稱的偶函數(shù)，在((0,\pi))上單調(diào)遞減D.非奇非偶函數(shù)，在((0,\pi))上單調(diào)遞增7.復(fù)合材料的強(qiáng)度計(jì)算涉及圓錐體積與側(cè)面積的關(guān)系?，F(xiàn)有兩個(gè)圓錐型材料試件，母線長(zhǎng)均為3，體積分別為(V_1,V_2)，側(cè)面展開圖面積分別為(S_1,S_2)，且(S_1+S_2=9\pi)，(\theta_1+\theta_2=\pi)（(\theta_1,\theta_2)為側(cè)面展開圖圓心角），則(|V_1-V_2|=)（）A.(2\sqrt{2})B.(\frac{\sqrt{10}}{10})C.(\sqrt{10})D.(\frac{2\sqrt{2}}{3})8.智能材料的響應(yīng)特性滿足函數(shù)方程(f(xy)=xf(y)+yf(x))（(x,y\in(0,+\infty))），若(f(e)=e)（(e)為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.(f\left(\frac{e^2}{e^2}\right)=1)B.(f\left(\frac{e^{10}}{e^5}\right)=5e^5)C.(f(x))在((0,+\infty))上為增函數(shù)D.對(duì)任意(x>1)，有(f(x)>x)二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分）9.高分子材料的聚合度計(jì)算中需用到二項(xiàng)式定理。已知某聚合物的聚合度分布函數(shù)為((2x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}})^7)的展開式，則下列結(jié)論正確的是（）A.展開式共7項(xiàng)B.含(x)項(xiàng)的系數(shù)為480C.無常數(shù)項(xiàng)D.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為12810.晶體材料的原子堆積模型可抽象為正方體中的幾何問題。在棱長(zhǎng)為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(Q)為棱(CC_1)的中點(diǎn)，點(diǎn)(P)為棱(C_1D_1)上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)(P)使得直線(B_1C\parallel)平面(DPQ)B.存在點(diǎn)(P)使得直線(A_1C_1\perp)平面(DPQ)C.存在點(diǎn)(P)使得(\triangleDPQ)的周長(zhǎng)為(3+\sqrt{13})D.存在點(diǎn)(P)使得三棱錐(D_1-DPQ)的體積為(\frac{2}{3})11.儲(chǔ)能材料的能量釋放效率構(gòu)成等比數(shù)列模型。設(shè)等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，前(n)項(xiàng)積為(T_n)，若滿足(0<a_1<1)，(a_{2023}a_{2024}>1)，(\frac{a_{2023}-1}{a_{2024}-1}<0)，則下列結(jié)論正確的是（）A.({a_n})為遞減數(shù)列B.(S_{2023}<S_{2024})C.當(dāng)(n=2023)時(shí)，(T_n)最小D.當(dāng)(T_n>1)時(shí)，(n)的最小值為404712.金屬材料的疲勞強(qiáng)度測(cè)試數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布。某批材料的疲勞強(qiáng)度測(cè)試值(X\simN(\mu,\sigma^2))，已知(P(X\leq2025)=0.3)，(P(X\geq2050)=0.2)，則下列結(jié)論正確的有（）A.(\mu\in(2025,2050))B.(P(2025<X<2050)=0.5)C.若(\sigma=10)，則(P(X>\mu+10)=0.1587)D.該批材料中約有68.27%的測(cè)試值落在區(qū)間((\mu-\sigma,\mu+\sigma))內(nèi)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.導(dǎo)電材料的電阻計(jì)算中，向量的數(shù)量積可用于分析電場(chǎng)強(qiáng)度與電流方向的關(guān)系。已知向量(\boldsymbol{a},\boldsymbol)的夾角為(\frac{5\pi}{6})，且(|\boldsymbol{a}|=2)，(|\boldsymbol|=4)，則(|\boldsymbol{a}-\boldsymbol|=)__________。14.光學(xué)材料的折射路徑滿足橢圓方程。已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦點(diǎn)為(F_1,F_2)，過(F_2)的直線與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF_1|=2|F_1B|)，(AB\perpF_1B)，則橢圓的離心率(e=)__________。15.形狀記憶材料的恢復(fù)力函數(shù)為(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x+3)，若材料在溫度(a)下的恢復(fù)力滿足(f(2a-3)+f(a^2)\geq6)，則(a)的取值范圍為__________。16.量子點(diǎn)材料的能級(jí)分布滿足排列組合規(guī)律。現(xiàn)有4種不同的量子點(diǎn)材料，每種材料有2個(gè)完全相同的樣本，將這8個(gè)樣本放入3個(gè)不同的測(cè)試盒中，每個(gè)測(cè)試盒至少放2個(gè)樣本，則不同的放置方法有__________種（用數(shù)字作答）。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）在新型陶瓷材料的配方優(yōu)化中，需分析材料密度與成分比例的關(guān)系。某研究小組選取A、B兩種原料，其質(zhì)量比例(x\in[0,1])（A原料占比），對(duì)應(yīng)的材料密度(\rho(x)=\sin(\pix)+\cos(\pix)+2)（單位：(g/cm^3)）。（1）求(\rho(x))在(x=\frac{1}{4})處的切線方程；（2）求(\rho(x))在([0,1])上的最大值及對(duì)應(yīng)的原料比例(x)。18.（12分）超導(dǎo)材料的臨界電流密度測(cè)試中，樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析至關(guān)重要。某實(shí)驗(yàn)室對(duì)100個(gè)超導(dǎo)材料樣本的臨界電流密度（單位：(A/mm^2)）進(jìn)行檢測(cè)，得到如下頻率分布直方圖：（注：直方圖數(shù)據(jù)缺失，假設(shè)分組為([0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10])，對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.1,0.2,0.4,0.2,0.1）（1）計(jì)算樣本的平均臨界電流密度及方差（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值代替）；（2）若臨界電流密度不低于6(A/mm^2)的樣本為優(yōu)質(zhì)品，從樣本中隨機(jī)抽取3個(gè)，記優(yōu)質(zhì)品數(shù)量為(X)，求(X)的分布列及數(shù)學(xué)期望。19.（12分）在復(fù)合材料的層合結(jié)構(gòu)中，層間應(yīng)力分析需用立體幾何知識(shí)。如圖，在四棱錐(S-ABCD)中，四邊形(ABCD)是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)(S)在底面(ABCD)上的射影為底面中心(O)，點(diǎn)(P)在棱(SD)上，且(\triangleSAC)的面積為1。（1）若點(diǎn)(P)是(SD)的中點(diǎn)，證明：平面(SCD\perp)平面(PAC)；（2）在棱(SD)上是否存在一點(diǎn)(P)，使得直線(SA)與平面(PAC)所成角的正弦值為(\frac{\sqrt{10}}{5})？若存在，求(\frac{SP}{PD})的值；若不存在，說明理由。20.（12分）智能溫控材料的溫度響應(yīng)模型滿足雙曲線方程。已知雙曲線(E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的右焦點(diǎn)為(F(2,0))，過(F)的直線(l)與雙曲線交于(M,N)兩點(diǎn)，當(dāng)(l)垂直于(x)軸時(shí)，(|MN|=6)。（1）求雙曲線(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)(M,N)在雙曲線右支上，點(diǎn)(Q)在直線(x=\frac{a^2}{c})上（(c)為半焦距），若(\overrightarrow{QF}=2\overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN})，求直線(l)的斜率。21.（12分）納米催化材料的反應(yīng)速率模型為(v(t)=te^{-kt}(t\geq0))，其中(k>0)為反應(yīng)速率常數(shù)。（1）求反應(yīng)速率(v(t))的最大值及對(duì)應(yīng)的時(shí)間(t)；（2）若反應(yīng)的總產(chǎn)率(Y=\int_0^{+\infty}v(t)dt)，當(dāng)(Y=\frac{1}{4})時(shí)，求(k)的值；（3）證明：對(duì)任意(t\geq0)，有(v(t)\leq\frac{1}{e^2k^2})