2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)環(huán)境材料”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（一）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）設(shè)集合(A={x|\lnx\leq1})，(B={x|-1\leqx\leq1})，則(A\capB=)（）A.({x|-1\leqx\leqe})B.({x|0<x\leqe})C.({x|0<x\leq1})D.({x|-1\leqx\leq1})函數(shù)(f(x)=\sin2x+\sqrt{3}\cos2x)的性質(zhì)表述正確的是（）A.圖象關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱B.圖象關(guān)于點(diǎn)(\left(\frac{\pi}{4},0\right))對(duì)稱C.向左平移(\frac{\pi}{12})個(gè)單位后得到(y=2\sin2x)的圖象D.最小正周期為(\pi)，且在(\left[0,\frac{\pi}{6}\right])上單調(diào)遞減歐拉公式(e^{ix}=\cosx+i\sinx)（其中(i)為虛數(shù)單位）揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.(e^{\pii}=-1)B.(|e^{\frac{\pi}{3}i}|=1)C.復(fù)數(shù)(e^{\frac{\pi}{4}i})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn).(e^{\frac{\pi}{2}i}+e^{\pii}=1+i)已知(S_n)為等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和，(a_7=1)，(2S_5=5S_2)，則(S_{12}=)（）A.240B.60C.180D.120若圓(C_1:(x+1)^2+(y-2)^2=4)與圓(C_2:(x-3)^2+(y+1)^2=r^2)（(r>0)）相交，則(r)的取值范圍是（）A.((3,+\infty))B.((5,+\infty))C.((1,5))D.((1,3))函數(shù)(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{\sinx})的部分圖象大致為（）A.（圖象選項(xiàng)略，提示：奇函數(shù)，結(jié)合特殊點(diǎn)值判斷）B.（圖象選項(xiàng)略，提示：在(x=2.9)處函數(shù)值為正）C.（圖象選項(xiàng)略，提示：偶函數(shù)特征排除）D.（圖象選項(xiàng)略，提示：在(x=\pi)附近無(wú)定義）兩圓錐母線長(zhǎng)均為3，體積分別為(V_1,V_2)，側(cè)面展開圖面積分別為(S_1,S_2)，且(S_1+S_2=9\pi)，(\theta_1+\theta_2=\pi)（(\theta_1,\theta_2)為側(cè)面展開圖圓心角），則(|V_1-V_2|=)（）A.(2\sqrt{2})B.(\frac{\sqrt{10}}{10})C.(\sqrt{10})D.(\frac{2\sqrt{10}}{5})定義在((0,+\infty))上的函數(shù)(f(x))滿足(f(xy)=xf(y)+yf(x))，且(f(e)=e)（(e)為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.(f\left(\frac{e^2}{e^2}\right)=1)B.(f\left(\frac{e^{10}}{e^5}\right)=5e^5)C.(f(x))在定義域上單調(diào)遞增D.(f(x)=x\lnx)是滿足條件的一個(gè)函數(shù)二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）在(\left(2x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^7)的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）A.展開式共7項(xiàng)B.含(x^2)項(xiàng)的系數(shù)為480C.無(wú)常數(shù)項(xiàng)D.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(P)在線段(B_1C_1)上，(Q)為棱(CC_1)的中點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)(P)使得直線(B_1C\parallel)平面(DPQ)B.存在點(diǎn)(P)使得直線(A_1C_1\perp)平面(DPQ)C.存在點(diǎn)(P)使得(\triangleDPQ)的周長(zhǎng)為(3+\sqrt{13})D.存在點(diǎn)(P)使得三棱錐(D_1-DPQ)的體積為(\frac{4}{3})設(shè)等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，前(n)項(xiàng)積為(T_n)，若滿足(0<a_1<1)，(a_{2023}a_{2024}>1)，(\frac{a_{2023}-1}{a_{2024}-1}<0)，則下列結(jié)論正確的是（）A.({a_n})為遞減數(shù)列B.(S_{2023}+S_{2025}=2S_{2024})C.當(dāng)(n=2023)時(shí)，(T_n)最小D.當(dāng)(T_n>1)時(shí)，(n)的最小值為4047三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量(\boldsymbol{a},\boldsymbol)的夾角為(\frac{5\pi}{6})，且(|\boldsymbol{a}|=2)，(|\boldsymbol|=\sqrt{3})，則(|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|=)________。已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左、右焦點(diǎn)為(F_1,F_2)，離心率為(\frac{1}{2})，過(guò)(F_2)的直線與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\triangleAF_1B)的周長(zhǎng)為8，則橢圓(C)的短軸長(zhǎng)為________。已知函數(shù)(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x+2)，若對(duì)任意(a\in[m,+\infty))，不等式(f(2a-3)+f(a^2)\geq6)恒成立，則(m)的最小值為________。數(shù)學(xué)文化題：我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“芻甍”是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體。如圖，某芻甍(ABCDEF)中，(AB=4)，(AD=2)，(EF=2)，(EA=ED=FB=FC=\sqrt{5})，則該芻甍的體積為________。四、解答題（本大題共6小題，共72分）（12分）在銳角(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)的對(duì)邊分別為(a,b,c)，滿足(\cos2A-\cos2B=2\sinC(\sinB-\sinC))。（1）求角(A)的大??；（2）若(\triangleABC)的外接圓半徑為1，求(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB})的取值范圍（(O)為外接圓圓心）。（12分）如圖，在四棱錐(S-ABCD)中，四邊形(ABCD)是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)(S)在底面(ABCD)上的射影為底面中心(O)，(\triangleSAC)的面積為1。（1）若點(diǎn)(P)是(SD)的中點(diǎn)，證明：平面(SCD\perp)平面(PAC)；（2）在棱(SD)上是否存在一點(diǎn)(P)，使得直線(SA)與平面(PAC)所成角的正弦值為(\frac{\sqrt{10}}{5})？若存在，求(\frac{SP}{PD})的值；若不存在，說(shuō)明理由。（12分）某環(huán)保監(jiān)測(cè)部門對(duì)某水域的水質(zhì)進(jìn)行年度監(jiān)測(cè)，隨機(jī)抽取該水域100個(gè)樣本，得到重金屬含量(X)（單位：mg/L）的頻率分布直方圖如圖所示（數(shù)據(jù)分組為([0,0.1),[0.1,0.2),\cdots,[0.9,1.0])）。（1）求直方圖中(a)的值，并估計(jì)該水域重金屬含量的中位數(shù)；（2）若規(guī)定重金屬含量不超過(guò)0.5mg/L為“達(dá)標(biāo)”，超過(guò)0.8mg/L為“嚴(yán)重超標(biāo)”。從該水域隨機(jī)抽取3個(gè)樣本，記(Y)為“嚴(yán)重超標(biāo)”的樣本數(shù)，求(Y)的分布列和數(shù)學(xué)期望。（12分）已知拋物線(E:y^2=2px)（(p>0)）的焦點(diǎn)為(F)，過(guò)(F)的直線與拋物線交于(M,N)兩點(diǎn)，且當(dāng)直線斜率為1時(shí)，(|MN|=8)。（1）求拋物線(E)的方程；（2）若點(diǎn)(P(-1,t))（(t>0)），過(guò)點(diǎn)(P)作拋物線(E)的兩條切線，切點(diǎn)分別為(A,B)，直線(AB)與(x)軸交于點(diǎn)(Q)，求(\trianglePQF)面積的最小值。（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx)（(a,b\in\mathbb{R})）。（1）若(a=0)，(b=1)，證明：當(dāng)(x>0)時(shí)，(f(x)>0)；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極值，且函數(shù)(g(x)=f'(x))在((0,1))上有唯一零點(diǎn)，求(a)的取值范圍。（12分）選考題：[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，(x)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho\sin^2\theta=4\cos\theta)。（1）寫出(C_1)的普通方程和(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)曲線(C_1)上任意一點(diǎn)(P)作與(C_2)夾角為(30^\circ)的直線，交(C_2)于點(diǎn)(A)，求(|PA|)的最小值。（注：全卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）試題設(shè)計(jì)說(shuō)明：內(nèi)容覆蓋：嚴(yán)格依據(jù)2025年高考數(shù)學(xué)考試大綱，涵蓋集合、函數(shù)、數(shù)列、幾何、