2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)油墨”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）集合與邏輯用語某電商平臺(tái)在“雙11”促銷期間，統(tǒng)計(jì)了購買“電子產(chǎn)品”（記為集合A）和“家居用品”（記為集合B）的用戶數(shù)據(jù)：所有用戶中，購買電子產(chǎn)品的占60%，購買家居用品的占50%，同時(shí)購買兩類商品的占30%。若從所有用戶中隨機(jī)抽取1人，設(shè)事件C為“只購買一類商品”，則P(C)=（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7函數(shù)與導(dǎo)數(shù)某品牌打印機(jī)的墨盒容量y（單位：毫升）與打印頁數(shù)x（單位：頁）滿足函數(shù)關(guān)系y=0.002x+5（x≥0），當(dāng)墨盒余量為2毫升時(shí)停止打印。若每頁打印成本C（單位：元）與打印頁數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為C(x)=0.01+0.0001x，則打印總成本最低時(shí)的打印頁數(shù)為（）A.200頁B.500頁C.800頁D.1000頁三角函數(shù)某摩天輪的半徑為50米，輪心距地面高度為60米，運(yùn)行一周需30分鐘。若某游客從最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，其離地面高度h（米）與時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系為h(t)=Asin(ωt+φ)+B（A>0，ω>0，|φ|<π），則φ=（）A.-π/2B.0C.π/2D.π平面向量在平面直角坐標(biāo)系中，快遞員從點(diǎn)O(0,0)出發(fā)，沿向量a=(3,4)方向騎行2.5千米到達(dá)A點(diǎn)，再沿向量b=(-1,2)方向騎行√5千米到達(dá)B點(diǎn)。若以O(shè)為原點(diǎn)，x軸正方向?yàn)檎龞|方向，則B點(diǎn)位于O點(diǎn)的（）A.東北方向B.東南方向C.西北方向D.西南方向復(fù)數(shù)某電子元件的阻抗Z（單位：歐姆）滿足Z=3+4i（i為虛數(shù)單位），其共軛復(fù)數(shù)為(\overline{Z})，則|Z·(\overline{Z})-Z|=（）A.5B.10C.15D.20立體幾何某倉庫采用正四棱錐結(jié)構(gòu)，底面邊長(zhǎng)為8米，側(cè)棱長(zhǎng)為5米。若在棱錐內(nèi)部放置一個(gè)半徑為r的球體，則r的最大值為（）A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米數(shù)列某企業(yè)2025年第一季度每月利潤(rùn)（單位：萬元）成等比數(shù)列，其中1月利潤(rùn)為100萬元，3月利潤(rùn)為144萬元。若按此增長(zhǎng)率，該企業(yè)2025年下半年（7-12月）的總利潤(rùn)為（）A.100×(1.2?-1.23)萬元B.100×1.2?×6萬元C.100×1.2?×(1.2?-1)/0.2萬元D.100×1.2?×(1.2?-1)/0.2萬元概率統(tǒng)計(jì)某醫(yī)院使用試劑盒檢測(cè)新冠病毒，已知感染患者檢測(cè)陽性的概率為95%，未感染患者檢測(cè)陰性的概率為90%。若該地區(qū)感染率為0.1%，某人體檢時(shí)檢測(cè)結(jié)果為陽性，則其實(shí)際感染的概率約為（）A.0.95%B.1.5%C.9.5%D.90%圓錐曲線某拋物線形拱橋跨度為20米，拱頂距離水面4米。若一艘寬6米、高3米的船要通過該拱橋，則船頂距離水面的安全距離至少為（）A.0.28米B.0.52米C.0.76米D.1.0米數(shù)學(xué)建模某社區(qū)規(guī)劃建設(shè)一個(gè)矩形綠地，要求綠地面積不小于200平方米，且長(zhǎng)比寬多10米。若每米圍欄成本為150元，則綠地圍欄總成本的最小值為（）A.6000元B.8000元C.10000元D.12000元二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）多空題已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，其極大值點(diǎn)為x=，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為。數(shù)列與不等式若正項(xiàng)等比數(shù)列{a?}滿足a?+a?=10，a?+a?=20，則a?=；記b?=log?a?，則數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和S?的最小值為。立體幾何在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M為BB?的中點(diǎn)，N為A?D?的中點(diǎn)，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為______；三棱錐M-ADN的體積為______。概率統(tǒng)計(jì)某班40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖中，[80,90)分?jǐn)?shù)段的頻率為0.3，[90,100]分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為8，則該班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分估計(jì)為______（精確到0.1）；若從成績(jī)?cè)赱80,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則2人成績(jī)均在[90,100]的概率為______。數(shù)學(xué)文化《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”（注：直角三角形中內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)）。若勾為5，股為12，則內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為______；若將該直角三角形繞“股”所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，則該幾何體的體積為______。開放探究題已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，若存在實(shí)數(shù)a,b（a<b），使得f(a)=f(b)=m，則m的取值范圍是______；此時(shí)a+b=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）某工廠生產(chǎn)一種精密零件，其直徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(10,σ2)。已知P(X<9.9)=0.1587，P(X>10.2)=0.0228。（1）求σ的值；（2）若從該零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，記Y為直徑在(9.9,10.2)內(nèi)的零件個(gè)數(shù)，求Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)。18.（12分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知cosA=3/5，b=2，c=5。（1）求a及sinC的值；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且AD=BD，求△ABD的面積。19.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)。（1）求證：AC?⊥平面B?CD；（2）求二面角A?-CB?-D的余弦值。20.（12分）某電商平臺(tái)銷售A,B兩種商品，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，A商品的日銷量X（單位：件）服從參數(shù)為λ=5的泊松分布，B商品的日銷量Y（單位：件）服從正態(tài)分布N(10,4)。（1）求P(X=3)+P(X=4)的值（精確到0.01）；（2）若A商品每件利潤(rùn)為20元，B商品每件利潤(rùn)為15元，求該平臺(tái)每日銷售這兩種商品總利潤(rùn)的期望。21.（12分）已知橢圓C：(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（a>b>0）的離心率為√3/2，右焦點(diǎn)為F(√3,0)，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l的斜率為1，求△OMN的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（3）設(shè)點(diǎn)P(4,0)，直線PM,PN分別與x軸交于A,B兩點(diǎn)，求證：|OA|·|OB|為定值。22.（12分）某物流公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)城市之間建立中轉(zhuǎn)倉庫，兩城市相距200千米，倉庫選址需滿足以下條件：①到甲城市的距離不小于50千米，到乙城市的距離不小于80千米；②倉庫到兩城市的距離之和最小。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求倉庫選址點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若汽車運(yùn)輸成本與距離成正比，比例系數(shù)為k（k>0），且倉庫運(yùn)營(yíng)成本為每日500元，若每日從倉庫向甲、乙兩城市運(yùn)輸貨物的總量為100噸，