w圖形的運(yùn)動(dòng)

知識(shí)結(jié)構(gòu)

r-圖形的平移

圖形的運(yùn)動(dòng)圖形的旋轉(zhuǎn)

J圖形的翻折

模塊一：圖形的平移

例題解析

【例1】如圖，心人針。中直角邊48=6,8。=8,沿邊4（7將向下平移至;?也49「.己

知陰影部分兩邊長(zhǎng)AA'=3,8=4,則陰影部分的面積為.

【答案】18.

【解析】由題意可知：43=6—3=3,%>=8-4=4,

?^AABC=5x6x8=24,5ADfiA=-X3X4=6>

???陰影部分的面積為24-6=18.

【總結(jié)】考察平移的性質(zhì)的運(yùn)用.

B,

【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,6）,將AOAB沿x軸向左平

y

A

移得到V,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4落在直線上,則點(diǎn)3與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)?

間的距離為.

【答案】8.

【解析】由平移的規(guī)律可知4的縱坐標(biāo)為6,

a

?.?點(diǎn)4在丫=—上，/.A'（-8,6）.

A4=8,，由平移的規(guī)律可知38'=A4，=8.

【總結(jié)】考察平移的性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)的確定.

【例3】如圖，A43c和AD3C是兩個(gè)具有公共邊的全等的等腰三角形,A8=AC=3cm,

BC=2cm.將ADBC沿射線BC平移一定的距離得到AD.B.C,,連接AC,,BD、.如

果四邊形AB2G是矩形，那么平移的距離為cm.

【答案】7.

【解析】作于E,

/?ZAEB=ZAEQ=90°,

，ZBAE+ZABC=90°.

*.*AB=AC?BC=2cm,

BE=CE=-BC=\.

2

???四邊形A3QG是矩形，

??.N84G=90°

JZABC+ZAC1B=90°,

???ZBAE=/AG8,

RFAR

：.△ABEACBA,——=——，則g=9,

ABBCX

：?CC\=BG-BC=9-2=1.

【總結(jié)】考察平移和矩形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例4】（2015學(xué)年?虹口區(qū)二模?第18題）已知AABC中，AB=AC=5fBC=6（如

圖所示），將A4BC沿射線8c方向平移機(jī)個(gè)單位得到ADE尸，頂點(diǎn)A、B、C分

別與。、E、尸對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且AE為

D

2/22

腰，則，"的值是.

【答案】6或竺.

6

【解析】當(dāng)。E=AE時(shí)，

作EM_LAO,垂足為M,作4VJ_8c于N,

則四邊形ANEM是平行四邊形，=

AM=-AD=-m,CN=-BC=3.

222

,：AC//DF,AD//CF,二四邊形ACFQ是平行四邊形，

'.AD=CF,BR—/?+—ZM=6-|3--|,解得：m-6；

22{2}

當(dāng)AD=AE=加時(shí)，

?.?將△ABC沿射線8c方向平移了機(jī)個(gè)單位得到△DER

/.四邊形ABED是平行四邊形，

?*.BE=AD=m,

JNE=m-3.

"：AN2+NE2=AE2,

25

424-(tn—3)~=nr,解得：m=一

6

綜上所述，當(dāng)加或竺時(shí),

=6△AOE是等腰三角形.

6

【總結(jié)】本題主要考察平移的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

模塊二：圖形的旋轉(zhuǎn)

yy例題解析

【例5】（2014學(xué)年?普陀區(qū)二模?第4題）在下列圖形中，中心對(duì)稱圖形是（）

A.等腰梯形B.平行四邊形C.正五邊形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】某一圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后可以與本身重合，這該圖形為中心對(duì)稱圖形.

【總結(jié)】考察中心對(duì)稱圖形的定義.

【例6】（2014學(xué)年?黃浦區(qū)二模?第17題）如圖，AABC是等邊三角形，若點(diǎn)A繞點(diǎn)

C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至點(diǎn)聯(lián)結(jié)A'B,則度數(shù)是.

【答案】15。.大

【解析】由題意可得：AC=A'C,ZAC4'=30P../\

:△ABC為等邊三角形,

/.ZACB=ZABC=60°,AC=BC,

,BC=A'C,ZA'BC=ZBA'C=15°,

：.ZA￡L4'=75o-60o=15°.

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例7】（2014學(xué)年?靜安區(qū)、青浦區(qū)二模?第17題）將矩形4BCO（如圖）繞點(diǎn)4旋

轉(zhuǎn)后，點(diǎn)。落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)。，點(diǎn)C落到C',如果AB=3,BC=4,那

么CC'的長(zhǎng)為.An

【答案】回.

【解析】???四邊形ABC。為矩形，B----------------------1c

,Zfi=Z￡>=90°,AD=BC^4,貝ijAC=VF777=5.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZAD'C=ZD=90°,AC'=AC=5,AD,=AD=4,

0C=OC=3,￡TC=5-4=1,ACC2=CD'2+D'C2,即8=布.

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用.

【例8】（2015學(xué)年?閘北區(qū)二模?第18題）如圖，底角為a的等腰A48C繞著點(diǎn)B順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A與邊BC上的點(diǎn)D重合，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，聯(lián)結(jié)AD,CE.已

C

BH

3

知tana=-,AB=5,則CE=_____.

4

【答案】-Vio.

5

【解析】作AHA.BC于H,EF1BC于F,則BH=CH.

AH3

在直角△A8”中，tanNAB”=tana=---=—.

BH4

設(shè)A/7=3f,則???AB=jAH2+BH2=5,,/.5/=5,即1=1,

:.BC=2BH=8.

?/等腰△48C繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A與邊8C上的點(diǎn)。重合,

/.ZCBE=a,BE=BC=8.

FF3

在直角△BE/7中，tan/EA/7=tana=---=—,

BF4

設(shè)EF=3x,則3尸=4x,ABE=^EF2+BF2=5x,：.5x=8,即x=?,

5

.2432制328

5555

【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例9】（2014學(xué)年?奉賢區(qū)二模?第18題）如圖，已知鈍角三角形ABC,Z4=35°,

OC為邊AB上的中線，將AAOC繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在8c邊上的點(diǎn)C，

處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A，處，聯(lián)結(jié)84，，如果點(diǎn)A、C、4在同一直線上，那么NB4C'

的度數(shù)為.

【答案】20。.

【解析】由題意可得：OA=QA,NO4C=NA=35。,

二ZOAA=ZA=35°,ZA'OB=70°.

：OC為邊AB上的中線，.?.04=08.

OA=OB，ZOAB=NOBA'=55°,ZBA'C'=55°-35°=20°.

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用.

【例10】（2015學(xué)年?崇明縣二模?第18題）如圖，RfAABC中,ZABC^90°,AB=BC

=2,將A48C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到&VWC,連接8M,那么8M的長(zhǎng)

是.

【答案】V2+V6.

【解析】聯(lián)結(jié)AM.

由題意可得：CA=CM,NACM=60。，

.二△ACM為等邊三角形，/.AM=CM,ZMAC=ZMCA=ZAMC=60°.

VZABC=90°,AB=BC=2,：.AC=CM=242.

'：AB^BC,AM=CM,垂直平分4C,

/.BO=-CA=/2,OM=CMsin60°=V6,：.BM=BO+OM=Q+屈.

2

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及銳角三角比的綜合運(yùn)用.

【例11】（2013學(xué)年?虹口區(qū)二模?第18題）在銳角AABC中，AB=5,BC=6,

N4CB=45。（如圖），將AABC繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到AABC（頂點(diǎn)4、

C分別與A\C對(duì)應(yīng)），當(dāng)點(diǎn)。在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，則4。的長(zhǎng)度為

【答案】3

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NA，CB=44C8=45。，BC=BC',

：.ZBCC=ZACB=45°,ZCBC'=180°-ZBC'C-ZACB=90°.

,?BC=6,：.CC'=42BC=6后.

過(guò)點(diǎn)A作AO_LBC于點(diǎn)。

：/4CB=45。，.?.△AC。是等腰直角三角形.

設(shè)4）=x,貝i」CD=x,ABD=BC-CD=6-x

AD2+BD2=AB~>即—+（6-x）2=52

解得：士="叵，巧=殳普（舍去）

...Ac/*,*6=36+近,：.AC,=6>/2-（3V2+V7）=3A/2-V7.

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理的結(jié)合運(yùn)用.

【例12】（2013學(xué)年?奉賢區(qū)二模?第18題）如圖，在心AABC中，ZC=90°,BC=9,

AC=12,點(diǎn)。在邊AC上，JICD=-AC,過(guò)點(diǎn)。作￡>E〃AB,交邊BC于點(diǎn)E,

3

將ADCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)。落在48邊上的。處，則sin/Z詡,=.

【答案】—.

25

【解析】過(guò)。'作O'凡過(guò)點(diǎn)。作DW_1_A8.

???在H/AABC中，ZC=90°,BC=9,AC=12,

AAB=i5.*：CD=-AC,:?CD=4.

3

,CECDDE4DEnni八廠

YDEHAB,.?---=---——,gH|IJ1一=——,則。E=5c.

BCACAB1215

91524

VZA=ZA,ZAMD=ZBCA,Z./XADM^/XABC,/.^-=—,則。Af:一.

DM85

?.?四邊形。'FDW是矩形，??.Z）/=DW,

24

￡)'FV24

???sinZDED'=——=工

ED'525

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似的綜合運(yùn)用.

【例13】（2015學(xué)年?楊浦區(qū)二模?第18題）如圖，將D4BCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到Q4EFG

的位置，其中點(diǎn)8、C、。分別落在點(diǎn)E、F、G處，且點(diǎn)B、E、。、尸在一直線

上，如果點(diǎn)E恰好是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，那么的值是

AD

【答案】—.

2

【解析】山題意可得：ZBAE=ZDAG,BE=-BD,AB=AE.

2

■:EF//AG,ZDAG^ZADB,ZBAE=ZADB.

"：ZABE=ZDBA,：.ABAEs△BDA,

.ABy/2

ZAEB=ZDAB,AB2=-BD2,,?--

BDAB2DB2

VAE=AB,:?ZAEB=ZABD,

.ABV2

：.ZABD=ZDAB,:?DB=DA,>>----=----

AD2

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的綜合運(yùn)用.

【例14】（2013學(xué)年?浦東新區(qū)二模?第18題）在R/AABC中，ZACB=90°,AC=^2,

cosA=-,如果將AABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至的位置，使點(diǎn)8,落在NAC8

2

的角平分線上，9與AC相交于點(diǎn)H,那么線段CH的長(zhǎng)等于一

【答案】百-1.

【解析】由題意有：/8C9=ZACV=LZAC3=45。,A'C^yfl

2

/

造中

A

VcosA=—,???ZA=30。.

2

過(guò)”作〃O_LCA',

,:ZAC4,=45°，:.CD=HD.

*/NA'=ZA=30。，

???AD=6HD.

設(shè)“。=x,貝lJCD=x,AD=V3x.

■:4。=4。+8=行,

43x+x=V2，

解得“學(xué)

/.CH=y[2x=5/3—1.

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

8/22

模塊三：圖形的翻折

⑥）知識(shí)精講

1、翻折與軸對(duì)稱圖形

（1）把一個(gè)圖形沿一條直線翻折過(guò)來(lái)，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)

稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn).

（2）軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱；軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱.

2、軸對(duì)稱

（1）軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這

兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱.

（2）軸對(duì)稱的圖形的性質(zhì)：兩個(gè)圖形關(guān)于一條直線成軸對(duì)稱，這兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度

和對(duì)應(yīng)角的大小相等，它們的形狀相同，大小不變；在成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，分別連接兩

對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接兩個(gè)中點(diǎn)所得的直線就是對(duì)稱軸.

例題解析

【例15】（2014學(xué)年?崇明縣二模?第5題）窗花是我國(guó)的傳統(tǒng)藝術(shù)，下列四個(gè)窗花圖案

中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

【答案】D

【解析】某圖形沿著一條直線翻折后可以完全重合的圖形成為軸對(duì)稱圖形.

【總結(jié)】考察軸對(duì)稱圖形的定義.

【例16】（2014學(xué)年?楊浦區(qū)二模?第5題）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)?稱

圖形的是（）

【答案】A

【解析】某圖形沿著一條直線翻折后可以完全重合的圖形成為軸對(duì)稱圖形；某一圖形繞

著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后可以與本身重合，這該圖形為中心對(duì)稱圖形.

【總結(jié)】考察軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義.

【例17】（2014學(xué)年閔行區(qū)二模?第5題）下列四邊形中，是軸對(duì)稱但不是中心對(duì)稱的

圖形是（）

A.矩形B.菱形C.平行四邊形D.等腰梯形

【答案】D

【解析】某圖形沿著一條直線翻折后可以完全重合的圖形成為軸對(duì)稱圖形；某一圖形繞

著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后可以與本身重合，這該圖形為中心對(duì)稱圖形.

【總結(jié)】考察軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義.

【例18】（2015學(xué)年松江區(qū)二模?第18題）如圖，梯形A8CQ中，AZ）〃BC,4=90。，

AO=2,BC=5,E是4B上一點(diǎn)，將&3CE沿著直線CE翻折，點(diǎn)B恰好與。

點(diǎn)重合，則BE=.

【答案】

2

【解析】作DMVBC交BC于點(diǎn)M.

'：ZA=ZB=ZDMB=90°,二四邊形A8MO是矩形，

AAD=MB=2,AB=DM,,:BC=CD=5,:.DM=

T^BE=DE=X,'：AE2+AD2=DE2,/.（4-JV）2+22=X2,則x=g=9.

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)與勾股定理的結(jié)合運(yùn)用.

【例19】（2015學(xué)年?靜安區(qū)、青浦區(qū)二模?第18題）如圖，在AABC中，AB=AC=4,

COSC4>“是中線,將A8D沿直線叨翻折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E,那么AE

的長(zhǎng)為_(kāi)_____

【答案】n.

【解析】設(shè)8。與EC相交于。，過(guò)。作

YAB=AC=4,cosC=-,ABC=2.

4

VDC=2,cosC=L:.CH=1,DH=叵,

422

ABH=2--=~,：.BD=^DH2+BH2=>/6.

22

：8C=C￡>=2,O是BD中點(diǎn)，AOCA.BD.

'：-BDCO=-BCCH,ACO=—,：.DO=>IDC2-CO2=—

2222

為AC的中點(diǎn)，。為CE的中點(diǎn)，AAE=2DO=y[6.

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)及中位線定理的綜合運(yùn)用.

【例20】（2015學(xué)年?奉賢區(qū)二模?第18題）如圖，在AA3C中，N3=45。，ZC=30°,

AC=2,點(diǎn)。在BC上，將A4CD沿直線4。翻折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，邊AE

交邊BC于點(diǎn)F,如果。E〃48,那么空的值是A

【答案】V3+1.

【解析】由題意可得：ZC=ZE=30°

B

,:AB〃DE,：.ZE=ZBAF=30°,：.ZAFC=ZB+ZBAF=15°,

：.ZC4F=180°-ZAFC-ZC=75°,/.ZCAF=ZCFA=15°,

/.CA=CF=2.

在直角△AMC中，ZC=30°,AC=2,/.AM=l,MC=6.

VZB=ZBAM=45°9AMB=AM=1,:?BC=T+g,BF=1+V3-2=V3-1,

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)與解直角三角形的綜合運(yùn)用.

【例21】（2015學(xué)年?浦東新區(qū)二模?第18題）在R/AABC中，ZACB=90°,BC^15,

AC=20.點(diǎn)。在功AC上，DEVAB,垂足為點(diǎn)E,將沿直線QE翻折，

翻折后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,當(dāng)NCPD為直角時(shí)，AO的長(zhǎng)是.

【答案】—.

8爪

【解析】設(shè)AD=x%

/

魁

VZACS=90°,BC^15,4c=20,AB=25.

■:DELAB,ZA￡D=ZACB=90°

由題意可得：NPED=ZAED=90P,ZA=ZDPE,PD=AD=x,

,CD^20-x.

'：ZCPD-90°,；.ZDPE+ZCPB^90°,ZA+ZB=90°

:.ZCPB=NB,：.PC=BC=\5

'：CD2=CP2+PD2,A（20-x）2=152+X2,解得：x=^.

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用.

【例22】（2014學(xué)年?金山區(qū)二模?第18題）在矩形ABC。中，AB=6,A。=8,把矩

形ABCD沿直線MN翻折，點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)處，若AE=2AM,那么EN

的長(zhǎng)等于.

【答案】3石.

［解析］過(guò)N作NFLAD于點(diǎn)F.

:翻折，，AMEN=ZB=90.

ZA=90,^AEMfFNE,

:.里=生=2,;NF=AB

EFAM

：.EN=依+32=3亞.

【總結(jié)】本題一方面考察翻折的性質(zhì)，另一方面考查一線三等角基本模型的運(yùn)用.

【例23】（2015學(xué)年?普陀區(qū)二模?第18題）如圖1,在矩形ABCC中，將矩形折疊，

使點(diǎn)8落在邊AD上，這時(shí)折痕與邊4。和邊BC分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F.然后再

展開(kāi)鋪平，以2、E、F為頂點(diǎn)的M所稱為矩形ABCZ）的“折痕三角形”.如圖

2,在矩形ABCZ）中，AB=2,BC=4.當(dāng)''折痕ABEF”面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐

標(biāo)為.”

當(dāng)B與。重合時(shí)，ABE尸的面積最大.

設(shè)BE=DE=x,則他=4一工，

VE42+AB2=BE2,：.（4-X）2+22=X2,則X=|,

ABE=ED=-,AE=AD-ED=-,Afl--2|.

22UJ

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用.

【例24】（2014學(xué)年?徐匯區(qū)二模?第18題）如圖，已知扇形A08的半徑為6,圓心角

為90。，E是半徑OA上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn).將扇形AOB沿E尸對(duì)折，使得折

疊后的圓弧4尸恰好與半徑。8相切于點(diǎn)G,若OE=5,則。到折痕Eb的距離

為.

【答案】岳.

【解析】過(guò)G作O，GJ_O8,作40,_LO，G與O',

聯(lián)結(jié)OO'交E『于"則四邊形4OGO'為矩形，

由題意可得：尸和AF所在的圓的半徑相等，

所以點(diǎn)。'為4尸所在圓的圓心，二0與O'關(guān)于EF對(duì)稱，，

CHOPY5

設(shè)OH=x,則OO=2x,?.?△OEHS^OOA,二一=一，即-=一，則x=7i?.

0A00,62x

即點(diǎn)0到折痕EF的距離為A.

【總結(jié)】本題考察翻折的性質(zhì)及相似的綜合運(yùn)用.

隨堂檢測(cè)

【習(xí)題1】（2015學(xué)年?楊浦區(qū)二模?第4題）下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)

稱圖形的是（）

A.正五邊形B.正六邊形C.等腰三角形D.等腰梯形

【答案】B

【解析】某圖形沿著一條直線翻折后可以完全重合的圖形成為軸對(duì)稱圖形；某一圖形繞

著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后可以與本身重合，這該圖形為中心對(duì)稱圖形.

/

魁

【總結(jié)】考察軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義.

【習(xí)題2】如圖，將周長(zhǎng)為8的A4BC沿8c方向平移I個(gè)單位長(zhǎng)度得到拉死下，則四

邊形ABFD的周長(zhǎng)為.

【答案】10.

【解析】由題意可得：4）=1,

BF=BC+CF=BC+1,DF=AC,

:AB+BC+AC=8

，四邊形AB尸3的周長(zhǎng)為AD+AB+3尸+。尸=1+/IB+3C+1+AC=10

【總結(jié)】考察平移的性質(zhì)的運(yùn)用.

【習(xí)題3】（2014學(xué)年?楊浦區(qū)二模?第18題）如圖，鈍角A4BC中，tanNBAC=3,

4

8c=4,將三角形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在直線AB上的點(diǎn)C"處，點(diǎn)B落在點(diǎn)8,

處，若C、B、a恰好在一直線上，則A8的長(zhǎng)為.c

【答案】自屈.

5/

【解析】作于點(diǎn)M,作CN_LAC與點(diǎn)N,7/

則△BMB'S/BNC.B/

ZB'AC=NBAC,tanZB'AC=tanABAC=

AMANB'

設(shè)8A7=3x,CN=3y,則AM=4x,AN=4y,JJ'lJAB'=>]AM2+B'M2=5x.

VAB=AB'=5x,BM=x.

?:△BMB'sABNC,：.—=^-=—=3.

BNBMx

BN==昔=y,則5x+y=4y,即x=1y

VBN2+CN2=BC2,即y2+（3y）2=[6,解得：y=：廂.

貝：.AB=5x=-/l0

265

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和銳角三角比的綜合應(yīng)用.

14/22

【習(xí)題4】（2015學(xué)年?黃浦區(qū)二模?第18題）如圖，RfAABC中，N84c=90。，將AABC

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形是A/V9C,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落在中線AO

上，且點(diǎn)4是AABC的重心，A'3'與BC相交于點(diǎn)E.那么3E:CE=

CB,EC6

BE:CE=8k:6k=4:3.

【總結(jié)】考察三角形的重心和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題5】（2015學(xué)年?徐匯區(qū)二模?第18題）如圖，在A43C中，ZC45=90°,

A8=6,AC=4,CD是AABC的中線，將AA5C沿直線CO翻折，點(diǎn)3,是點(diǎn)8

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CO上的點(diǎn),如果NC4￡=N84B',那么CE的長(zhǎng)是

【答案】

5

【解析】由題意可得：/BCD=/DCB,NCBD=NCB'D,

AD=DB=DB,:?ZDBB=ZDBB

'：2ADCB+2/CBD+2ZDBB=180。,

:.ZDCB+ZCBD+ZDBS=90°.

?；NCDA=ZDCB+NCBD,ZACD+ZCDA=90°,

???/DB'B=NACE.

?:AD=DB=DB=3,：.ZAB1B=90°.

VZACE=ZABB\ZCAE=ZBAB'9：.AACE^AABB\：.ZAEC=ZAB'B=90°.

CD=y)AC2^AD2=5,J由工ACADULCDAE,可得：AE=—,

225

/.CE=^AC2-AE2=y.

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題6】（2014學(xué)年?崇明縣二模?第18題）如圖，在A4BC中，CA=C8,NC=90。,

點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，將AABC沿著直線EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)￡＞重合，折痕交

AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,那么sin/BED的值為

【答案】

5

【解析】由翻折的性質(zhì)可得：ZA=ZEDF.

?在MBC中，CA=CB,NC=90。，/.ZA=45°.

VZCDF+45°=ZBEE>+45°,ZBED=ZCDF.

設(shè)C￡>=1,CF=x,則C4=CB=2,ADF^FA^2-x.

,：CF2+CD2=DF2,BPX2+1=（2-X）2,則X=1,

:.sin/BED=sin/CDF=-=-

DF5

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)及銳角三角比的運(yùn)用.

【習(xí)題7】（2014學(xué)年?普陀區(qū)二模?第18題）如圖，在矩形紙片A8c。中，點(diǎn)

M、N分別在邊AD,8c上，沿直線將四邊形DMNC翻折，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)A重

合.如果此時(shí)在原圖中MJDM與AWC的面積比是1:3,那么網(wǎng)的值等于.

DM

【答案】2石.

【解析】由折疊的性質(zhì)可得：ZEMN=ZDMN,

即ZEMN=ZEMA+ZAMN,ZDMN=ZDMC+ZCMN

,/ZEMA=NDMC,ZAMN=4cMN.

:四邊形AB。是矩形，4）〃3C,

ZAMN=/CNM,：.ZCNM=ZCMN,:.CM=CN.

；ACDM與AMVC的面積比是1:3,.

CN3

過(guò)點(diǎn)M作MHLBC于點(diǎn)H,則四邊形CDMH為矩形.

,NC=3MD=3HC,：.NH=2HC.

設(shè)。用=x,則HC=x,NH=2x,:.CM=CN=3x,

：.DC=《CM?-DM?=2>[2x,MN=^MH1+NH2=2瓜,

16/22

:觸史=2E

DMx

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用，注意要把面積比轉(zhuǎn)化為線段比.

【習(xí)題8］（2013學(xué)年.楊浦區(qū)二模.第18題）如圖，扇形OAB的圓心角為2a,點(diǎn)P

為AB上一點(diǎn)，將此扇形翻折,當(dāng)點(diǎn)O和點(diǎn)尸重合時(shí)折痕恰巧過(guò)點(diǎn)8,且絲=9,

PB5

則a正切值為_(kāi)_____.

【答案】

4

【解析】3E為折痕，作0CLA3于C,交弧48于。.

因?yàn)槿??'則可設(shè)筋=6，，PB=5t.

;點(diǎn)。和點(diǎn)P重合時(shí)折痕恰巧過(guò)點(diǎn)B,/.BP=BO=5t.

,JOCLAB,：.AC=BC=-AB=3t,AD=BD,：.ZBOD=-ZAOB=--2a=a.

222

VOC=^OB2-BC2=4r,AtanZBOC=—.即tana=3.

OC4t44

【總結(jié)】本題主要考察翻折的性質(zhì)及圓心角定理的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題9】（2014學(xué)年?長(zhǎng)寧區(qū)、金山區(qū)二模?第18題）如圖，AABC絲ADEF（點(diǎn)A、

B分別與點(diǎn)。、E對(duì)應(yīng)）,AB=4C=5,BC=6,A/U5c固定不動(dòng)，ADEF運(yùn)動(dòng),

并滿足點(diǎn)E在BC邊從B向C移動(dòng)（點(diǎn)E不與B、C重合），OE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,

E尸與AC邊交于點(diǎn)M,當(dāng)是等腰三角形時(shí)，BE=▲.

【答案】1或u.

6

【解析】VZAEF-ZB=ZC,且ZAME>NC,

/.ZAME>ZAEF,AAE^AM.

當(dāng)時(shí)，則△ABE絲△￡：（2/,

:.CE=AB=5,：.BE=BC—EC=6—5=1；

當(dāng)4W=EW時(shí)，則NM4E=ZME4,

/.ZMAE+ZBAE=ZMEA+Z.CEM,即ZCAB=ZCEA.

"：ZC=ZC,/\CAE^/\CBA,

.CE_AC

：.CE^—Z.BE=6-史J

"~AC~^CB666

3￡'=1或8.

6

【總結(jié)】考察相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

課后作業(yè)

【作業(yè)1】（2014學(xué)年?長(zhǎng)寧區(qū)、金山區(qū)二模?第5題）在下列圖形中：①等邊三角形,

②正方形，③正五邊形，④正六邊形.其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱的圖形

有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】②和④既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱的圖形.

【總結(jié)】正多邊形中偶數(shù)條邊的圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱的圖形.

【作業(yè)2】一個(gè)水平放置的半圓直徑為10cm,向上平移6cm,如圖.則A”山平

移過(guò)程中所掃過(guò)的面積為_(kāi)____,一~、

【答案】60平方厘米.f'

【解析】：平移過(guò)程中所掃過(guò)的面積等于線段AB掃過(guò)............

的面積，而A8掃過(guò)的面積為邊長(zhǎng)10cm和6c”?的矩形，

.?.矩形的面積為60平方厘米，41____________

4〃山平移過(guò)程中所掃過(guò)的面積為60平方厘米.

【總結(jié)】考察平移的性質(zhì).

【作業(yè)3】（2015學(xué)年?金山區(qū)二模?第18題）如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=8,

將AABC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得A/T8C',點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4落在邊BC上，那么點(diǎn)C和

點(diǎn)。之間的距離等于.

【答案】-Vio.

【解析】作于。，連接AA

AB^AC,:.BD=CD=—BC=4

2

!

18/22C

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=AB=5,ZABC=NCBC,

VAD=\152-42=3,DA=5-4=\,A4=AD2+DA2=V10.

ABCB

?/ZABC=ZCBC,

贏~CB

J/\ABA^/\CBC，

.ABBC58

..=,即i—=---，

A4'ccVioCC

則cc=|M.

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)4】（2015學(xué)年?寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模?第18題）如圖，點(diǎn)D在邊長(zhǎng)為6的等邊

AABC的邊AC上，且AO=2,將AA5C繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,若此時(shí)

點(diǎn)A和點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作點(diǎn)E和點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)BF交邊AC于點(diǎn)G,那么

tanZAEG=______.

月

【答案】盧a八:M4E

［解析］作GMLAE于M./

???△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，//

:.AB=BC=AC=6,ZB4C=ZABC=60°._________V

BC

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：EF=AD=2,

：.AE=CE=AB=6,ZE4C=ZACE=60°,CF=CE-EF=4.

：.AB//CF,：.AABG^ACFG,

.AGAB63

**CG-eF-4-2J

3

，AG=-AC=3.6.

5

?/ZAGM=90°-60°=30°,

???AM=-AG=1.S.

2

QQ1

：.GM=6AM=g6,ME^AE-AM=—,

/

魁

2百

，tanZAEG=—==-73.

ME217

5

【總結(jié)】考察等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)5】（2015學(xué)年?閔行區(qū)二模.第18題）如圖，已知在A4BC中，AB=AC,

tanZfi=-,將AABC翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕。E交邊BC于點(diǎn)。，交

3

邊AC于點(diǎn)E,那么—的值為.

DC

【答案】—.

5

【解析】作ARLBC于G,連接AD,設(shè)瓶=4.

：tan3=g,AB=ylAF2+BF2=V10a.

'：DEYAC,AFLBC,/.△CED^ACM,

Ma

CECD解得：X=|?,

,即2=x

~CF~~CA