2025年數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專升本高等代數(shù)真題匯編試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.字跡工整，卷面整潔。3.請按規(guī)定位置填寫姓名、準(zhǔn)考證號等信息。一、填空題（本大題共5小題，每小題4分，滿分20分）請將答案填在題中橫線上。1.設(shè)向量α=(1,k,1)?，β=(?2,1,0)?，若α與β正交，則實(shí)數(shù)k的值為________。2.在實(shí)數(shù)域上，多項(xiàng)式f(x)=x3?3x2+px+q能被x2?x?2整除，則實(shí)數(shù)p,q的值分別為________，________。3.矩陣A=[a??]?×?，其中a??=i+j，則矩陣A的秩r(A)=________。4.設(shè)A是三階矩陣，且|A|=2，則|?3A|=________。5.齊次線性方程組x?+x?+x?=0的基礎(chǔ)解系為________。二、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，滿分20分）1.下列四個向量組中，線性無關(guān)的是（）。(A)(1,0,1)?,(0,1,1)?,(1,1,0)?(B)(1,1,1)?,(2,2,2)?,(3,3,3)?(C)(1,2,3)?,(1,0,3)?,(0,1,2)?(D)(1,0,0)?,(0,1,0)?,(0,0,1)?2.設(shè)A,B是n階方陣，下列運(yùn)算中一定成立的是（）。(A)(AB)?=A?B?(B)|AB|=|A||B|(C)(AB)?1=A?1B?1(D)A2?B2=(A?B)(A+B)3.設(shè)A=[a??]?×?，B=[b??]?×?，則下列運(yùn)算中定義的是（）。(A)AB(B)BA(C)A+B(D)A?B4.n元線性方程組Ax=b的增廣矩陣為(A|b)，若r(A)=r(A|b)=r<n，則該方程組（）。(A)有唯一解(B)無解(C)有無窮多解(D)解的情況不確定5.設(shè)λ?,λ?是矩陣A的兩個不同的特征值，α?,α?是分別屬于λ?,λ?的特征向量，則（）。(A)α?+α?是A的特征向量(B)α?+α?是零向量(C)c?α?+c?α?(c?,c?不同時為0)不是A的特征向量(D)c?α?+c?α?(c?,c?為任意常數(shù))是A的特征向量三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題7分，滿分28分）1.計(jì)算4階行列式D=|1210||0101||1112||2011|的值。2.設(shè)矩陣A=[(12),(34)],B=[(20),(12)],求矩陣X使得2AX+B=3A。3.解線性方程組：{x?+2x?+x?=1{2x?+3x?+x?=2{x?+x?+2x?=14.設(shè)向量α=(1,1,2)?，β=(1,0,1)?，γ=(1,1,0)?，求向量α,β,γ的秩，并判斷它們是否線性相關(guān)。四、證明題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）1.證明：若向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，且α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無關(guān)，則向量組α?,α?,α?的分量均不為零。2.設(shè)A是n階方陣，且滿足A2=A。證明：若λ是A的特征值，則λ=0或λ=1。---試卷答案一、填空題1.12.p=5,q=63.24.545.(?1,1,0)?,(?1,0,1)?(或任何其它兩個線性無關(guān)的解向量，如(1,0,?1)?,(0,1,?1)?)二、選擇題1.D2.B3.A4.C5.C三、計(jì)算題1.解：D=|1210||0101||1112||2011|按第一列展開：D=1*|101||112|?0*|212|+1*|211|?2*|201|=1*(1*|12|?0*|11|+1*|11|)+1*(2*|12|?1*|11|?2*|01|)=1*(2+1)+1*(4-1-0)=3+3=62.解：2AX+B=3A2AX=3A-BX=(3A-B)/23A=3[(12)(34)]=[(36)(912)]B=[(20)(12)]3A-B=[(3-26-0)(9-112-2)]=[(16)(810)]X=(1/2)*[(16)(810)]=[(1/23)(45)]所以X=[(1/23)(45)]3.解：對應(yīng)增廣矩陣(A|b)=[(121|1)(231|2)(112|1)]進(jìn)行行變換化為行簡化階梯形矩陣：R2←R2-2R1→[(121|1)(0-1-1|0)(112|1)]R3←R3-R1→[(121|1)(0-1-1|0)(0-11|0)]R3←R3+R2→[(121|1)(0-1-1|0)(000|0)]R2←-R2→[(121|1)(011|0)(000|0)]R1←R1-2R2→[(10-1|1)(011|0)(000|0)]R1←R1+R3→[(100|1)(011|0)(000|0)]對應(yīng)方程組為：x?=1,x?+x?=0令x?=t(t為任意常數(shù))，則x?=-t解為：x?=1,x?=-t,x?=t即(1,-t,t)?,t∈R4.解：求向量組α,β,γ的秩：矩陣形式為A=[(111)(101)(210)]進(jìn)行行變換化為行簡化階梯形矩陣：R2←R2-R1→[(111)(0-10)(210)]R3←R3-2R1→[(111)(0-10)(0-1-2)]R3←R3-R2→[(111)(0-10)(00-3)]R2←-R2,R3←-R3/3→[(111)(010)(001)]矩陣A化為行階梯形矩陣后，非零行數(shù)為3，故向量組α,β,γ的秩r(A)=3。由于向量組包含3個向量，且秩為3，所以這3個向量線性無關(guān)。四、證明題1.證明：假設(shè)α?,α?,α?的分量有全為零的情況，不妨設(shè)α?=(0,0,...,0)?。則α?+α?=(a?,a?,...,a?)?+(b?,b?,...,b?)?=(a?+b?,a?+b?,...,a?+b?)?α?+α?=(b?,b?,...,b?)?+(0,0,...,0)?=(b?,b?,...,b?)?α?+α?=(0,0,...,0)?+(a?,a?,...,a?)?=(a?,a?,...,a?)?若α?,α?,α?線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k?,k?,k?使得k?α?+k?α?+k?α?=0?。即k?(a?,a?,...,a?)?+k?(b?,b?,...,b?)?+k?(0,0,...,0)?=(0,0,...,0)?。得到方程組：k?a?+k?b?=0(i=1,2,...,n)因?yàn)閗?=0（否則k?α?=0?與α?≠0?矛盾），所以上式化為k?α?+k?b?=0(i=1,2,...,n)。即k?α?=-k?b?(i=1,2,...,n)。若k?≠0，則α?=-(k?/k?)b?(i=1,2,...,n)，說明α?,α?,α?線性相關(guān)（因?yàn)棣?=0?）。若k?=0，則k?α?=0(i=1,2,...,n)。因?yàn)閗?,k?,k?不全為零，必有k?≠0，則α?=0(i=1,2,...,n)，即α?=α?=α?=0?，這與α?,α?,α?線性無關(guān)矛盾。因此，α?,α?,α?的分量不能全為零。若α?,α?,α?中有任意一個分量全為零，比如α?=(0,0,...,0)?，則α?+α?=α?,α?+α?=α?+α?,α?+α?=α?。此時α?+α?,α?+α?,α?+α?不再是三個向量（除非α?,α?中有零向量），或者即使仍是三個向量，也容易找到不全為零的k?,k?,k?使得k?(0,0,...,0)?+k?α?+k?α?=0?，與線性無關(guān)矛盾。因此，α?,α?,α?的分量均不為零。2.證明：設(shè)λ是A的特征值，α是屬于