基于壓縮感知的寬角度激勵下三維電磁散射問題求解：理論、方法與實(shí)踐一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代科技領(lǐng)域，寬角度激勵下的三維電磁散射問題占據(jù)著舉足輕重的地位，尤其是在雷達(dá)探測、通信、遙感等關(guān)鍵領(lǐng)域。以雷達(dá)探測為例，雷達(dá)通過發(fā)射電磁波并接收目標(biāo)物體散射回來的回波，從而獲取目標(biāo)的位置、形狀、尺寸和材質(zhì)等關(guān)鍵信息。在復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用場景中，目標(biāo)可能處于各種不同的方位和姿態(tài)，這就要求雷達(dá)系統(tǒng)能夠在寬角度范圍內(nèi)有效地探測和分析目標(biāo)的電磁散射特性。準(zhǔn)確掌握寬角度激勵下的三維電磁散射特性，對于提高雷達(dá)的目標(biāo)探測精度、識別能力以及抗干擾性能具有至關(guān)重要的意義。在軍事領(lǐng)域，精確的電磁散射分析有助于提升雷達(dá)對敵方目標(biāo)的探測和識別能力，為國防安全提供有力保障；在民用領(lǐng)域，如氣象雷達(dá)、航空交通管制雷達(dá)等，對電磁散射特性的深入理解可以提高對氣象目標(biāo)、飛行器等的監(jiān)測精度，保障人民生命財產(chǎn)安全和社會的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法，如矩量法（MoM）、有限元法（FEM）和時域有限差分法（FDTD）等，在處理電磁散射問題時存在一定的局限性。矩量法雖然理論上可以精確求解電磁散射問題，但當(dāng)目標(biāo)電尺寸增大時，其計算量和內(nèi)存需求會呈指數(shù)級增長，導(dǎo)致計算效率極低，難以滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。有限元法在處理復(fù)雜幾何形狀的目標(biāo)時具有一定優(yōu)勢，但同樣面臨著計算規(guī)模大、計算時間長的問題，并且在處理開放區(qū)域問題時需要特殊的邊界條件處理技巧。時域有限差分法在模擬電磁散射的時域特性方面表現(xiàn)出色，但由于其基于網(wǎng)格的離散方式，對于電大尺寸目標(biāo)需要非常精細(xì)的網(wǎng)格劃分，這不僅增加了計算量，還可能引入數(shù)值色散等問題，影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。壓縮感知技術(shù)作為近年來快速發(fā)展的一種新興技術(shù)，為解決寬角度激勵下的三維電磁散射問題帶來了新的契機(jī)。壓縮感知理論突破了傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理的限制，指出對于稀疏或可壓縮信號，可以通過遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的采樣數(shù)據(jù)精確重構(gòu)原始信號。在電磁散射問題中，目標(biāo)的電磁散射特性往往具有一定的稀疏性，例如，在高頻區(qū)，目標(biāo)的電磁散射主要由一些局部的散射中心貢獻(xiàn)，這些散射中心在空間上是稀疏分布的。利用壓縮感知技術(shù)，可以在較少的采樣數(shù)據(jù)下有效地重構(gòu)目標(biāo)的電磁散射信息，從而大大降低計算量和內(nèi)存需求，提高計算效率。將壓縮感知技術(shù)與傳統(tǒng)的電磁散射計算方法相結(jié)合，能夠充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，為解決寬角度激勵下的三維電磁散射問題提供了一種高效、準(zhǔn)確的新途徑，有望在實(shí)際工程應(yīng)用中取得顯著的經(jīng)濟(jì)效益和社會效益。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在寬角度激勵下的三維電磁散射問題研究方面，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了大量的工作，并取得了一系列重要成果。在國外，一些知名研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者運(yùn)用矩量法對復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射進(jìn)行了深入分析。如美國的[具體學(xué)者姓名1]團(tuán)隊在研究大型金屬結(jié)構(gòu)體的寬角度電磁散射特性時，通過矩量法精確求解電場積分方程，詳細(xì)分析了不同入射角下目標(biāo)的散射場分布情況，但該方法在處理電大尺寸目標(biāo)時計算量過大的問題依舊突出。有限元法也被廣泛應(yīng)用于電磁散射研究，[具體學(xué)者姓名2]等人利用有限元法結(jié)合自適應(yīng)網(wǎng)格剖分技術(shù)，對具有復(fù)雜幾何形狀和材料特性的目標(biāo)進(jìn)行了電磁散射分析，有效提高了計算精度，但由于其對內(nèi)存的高需求，在處理大規(guī)模問題時受到限制。時域有限差分法同樣是研究熱點(diǎn)，[具體學(xué)者姓名3]采用時域有限差分法模擬了超寬帶信號在復(fù)雜環(huán)境中的電磁散射傳播過程，清晰展示了散射信號的時域特性和頻域特性，但數(shù)值色散和計算效率問題仍是其面臨的挑戰(zhàn)。國內(nèi)的研究也在不斷深入和發(fā)展。國內(nèi)學(xué)者在電磁散射算法的優(yōu)化和改進(jìn)方面做出了許多努力。[具體學(xué)者姓名4]提出了一種基于快速多極子方法的加速算法，通過減少矩陣填充和迭代求解的計算量，顯著提高了矩量法在處理電大尺寸目標(biāo)電磁散射問題時的計算效率。[具體學(xué)者姓名5]等人將區(qū)域分解技術(shù)與有限元法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了對復(fù)雜目標(biāo)的并行計算，有效降低了內(nèi)存需求，提高了計算速度。此外，國內(nèi)研究團(tuán)隊還在電磁散射的應(yīng)用領(lǐng)域取得了進(jìn)展，如在雷達(dá)目標(biāo)識別、天線設(shè)計等方面，通過對目標(biāo)電磁散射特性的精確分析，為實(shí)際工程應(yīng)用提供了有力的理論支持。隨著壓縮感知技術(shù)的興起，其在電磁散射問題中的應(yīng)用逐漸成為研究熱點(diǎn)。國外方面，[具體學(xué)者姓名6]率先將壓縮感知技術(shù)引入電磁散射領(lǐng)域，通過對目標(biāo)感應(yīng)電流的稀疏表示，利用較少的測量數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)散射場的重構(gòu)，大大減少了計算量。[具體學(xué)者姓名7]等人進(jìn)一步研究了壓縮感知在三維電磁散射問題中的應(yīng)用，提出了基于稀疏基函數(shù)的優(yōu)化選擇方法，提高了重構(gòu)精度和計算效率。在國內(nèi)，[具體學(xué)者姓名8]提出了一種結(jié)合特征模理論的壓縮感知矩量法，通過將矩量法中的矩陣方程轉(zhuǎn)變?yōu)榈途S的壓縮感知計算模型，有效提高了計算效率和結(jié)果的穩(wěn)定性。[具體學(xué)者姓名9]等人研究了基于壓縮感知的時域有限差分法，通過稀疏采樣和信號重構(gòu)，減少了時域有限差分法的計算量和存儲需求。盡管國內(nèi)外在寬角度激勵下的三維電磁散射問題以及壓縮感知技術(shù)應(yīng)用方面取得了一定成果，但仍存在一些不足之處?，F(xiàn)有研究在處理復(fù)雜目標(biāo)和寬角度激勵時，計算效率和精度之間的平衡問題尚未得到很好的解決。部分算法雖然在計算效率上有所提升，但在精度方面有所犧牲；而一些追求高精度的算法，計算復(fù)雜度又過高，難以滿足實(shí)時性要求。在壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用中，稀疏基函數(shù)的選擇和測量矩陣的構(gòu)造仍然缺乏統(tǒng)一的理論指導(dǎo)，不同方法的適應(yīng)性和通用性有待進(jìn)一步提高。目前對于多目標(biāo)、多散射體相互作用的復(fù)雜電磁環(huán)境下的寬角度電磁散射問題研究還相對較少，難以滿足實(shí)際工程中日益復(fù)雜的應(yīng)用需求。1.3研究內(nèi)容與方法1.3.1研究內(nèi)容本文將深入研究壓縮感知技術(shù)在求解寬角度激勵下三維電磁散射問題中的應(yīng)用，具體研究內(nèi)容包括以下幾個方面：壓縮感知理論在電磁散射問題中的適應(yīng)性分析：深入剖析電磁散射問題的內(nèi)在特性，結(jié)合壓縮感知理論，探究其在電磁散射領(lǐng)域的適用性和潛在優(yōu)勢。通過理論推導(dǎo)和數(shù)值分析，明確壓縮感知技術(shù)能夠有效處理電磁散射問題的條件和范圍，為后續(xù)研究奠定堅實(shí)的理論基礎(chǔ)。稀疏基函數(shù)的優(yōu)化選擇與構(gòu)造：針對三維電磁散射問題，系統(tǒng)研究適合的稀疏基函數(shù)。通過對比分析不同的稀疏基函數(shù)，如離散傅里葉變換基、離散余弦變換基、特征基函數(shù)等在電磁散射問題中的表現(xiàn)，結(jié)合目標(biāo)的幾何形狀、材料特性以及散射特性，選擇或構(gòu)造出最優(yōu)的稀疏基函數(shù)，以提高信號的稀疏表示能力，進(jìn)而提升壓縮感知算法的重構(gòu)精度和計算效率。測量矩陣的設(shè)計與優(yōu)化：測量矩陣是壓縮感知技術(shù)的關(guān)鍵組成部分，其性能直接影響信號的重構(gòu)效果。根據(jù)電磁散射問題的特點(diǎn)，研究設(shè)計滿足限制等容性準(zhǔn)則（RIP）條件的測量矩陣。同時，考慮測量矩陣與稀疏基函數(shù)的相關(guān)性，通過優(yōu)化測量矩陣的構(gòu)造方法，如采用隨機(jī)高斯矩陣、伯努利矩陣等，并結(jié)合具體的電磁散射場景進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，降低測量矩陣與稀疏基函數(shù)之間的相干性，提高測量矩陣的性能，減少測量數(shù)據(jù)量，降低計算復(fù)雜度?；趬嚎s感知的三維電磁散射算法的實(shí)現(xiàn)與優(yōu)化：將壓縮感知技術(shù)與傳統(tǒng)的電磁散射計算方法，如矩量法、有限元法或時域有限差分法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)高效的三維電磁散射算法。針對不同的計算方法，研究如何將壓縮感知技術(shù)融入其中，對算法進(jìn)行優(yōu)化。例如，在矩量法中，利用壓縮感知技術(shù)對矩陣方程進(jìn)行降維處理，減少矩陣填充和迭代求解的計算量；在時域有限差分法中，通過稀疏采樣和信號重構(gòu)，降低計算量和存儲需求。通過優(yōu)化算法流程、選擇合適的求解器和并行計算技術(shù)等手段，進(jìn)一步提高算法的計算效率和穩(wěn)定性，使其能夠快速準(zhǔn)確地求解寬角度激勵下的三維電磁散射問題。算法的驗證與性能分析：通過數(shù)值仿真和實(shí)驗測量，對提出的基于壓縮感知的三維電磁散射算法進(jìn)行全面驗證和性能分析。在數(shù)值仿真方面，構(gòu)建多種典型的三維目標(biāo)模型，如金屬導(dǎo)體、介質(zhì)體、復(fù)雜結(jié)構(gòu)目標(biāo)等，設(shè)置不同的寬角度激勵條件，對比分析所提算法與傳統(tǒng)算法在計算精度、計算效率、內(nèi)存需求等方面的性能差異。在實(shí)驗測量方面，搭建電磁散射實(shí)驗平臺，對實(shí)際目標(biāo)進(jìn)行測量，將實(shí)驗結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對比，驗證算法的有效性和可靠性。通過分析不同參數(shù)對算法性能的影響，如稀疏基函數(shù)的選擇、測量矩陣的構(gòu)造、采樣率等，為算法的實(shí)際應(yīng)用提供指導(dǎo)和優(yōu)化建議。1.3.2研究方法為了實(shí)現(xiàn)上述研究內(nèi)容，本文擬采用以下研究方法：文獻(xiàn)研究法：廣泛查閱國內(nèi)外關(guān)于寬角度激勵下三維電磁散射問題以及壓縮感知技術(shù)應(yīng)用的相關(guān)文獻(xiàn)資料，全面了解該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢和存在的問題。通過對文獻(xiàn)的深入分析，汲取前人的研究成果和經(jīng)驗，為本研究提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)參考，明確研究的切入點(diǎn)和創(chuàng)新點(diǎn)。理論分析法：運(yùn)用電磁散射理論、壓縮感知理論等相關(guān)知識，對電磁散射問題的特性、壓縮感知技術(shù)的原理以及兩者結(jié)合的可行性進(jìn)行深入的理論分析和推導(dǎo)。通過理論研究，建立基于壓縮感知的三維電磁散射問題的數(shù)學(xué)模型，明確算法的基本框架和理論依據(jù)，為后續(xù)的算法設(shè)計和實(shí)現(xiàn)提供理論支持。數(shù)值計算法：利用數(shù)值計算軟件，如MATLAB、COMSOLMultiphysics等，對所提出的算法進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)和數(shù)值仿真。通過數(shù)值計算，模擬不同目標(biāo)在寬角度激勵下的電磁散射過程，分析算法的性能表現(xiàn)，如計算精度、計算效率、內(nèi)存需求等。通過數(shù)值仿真，可以快速驗證算法的有效性，對算法進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)，為實(shí)驗研究提供理論指導(dǎo)。實(shí)驗研究法：搭建電磁散射實(shí)驗平臺，開展實(shí)驗研究。通過實(shí)驗測量實(shí)際目標(biāo)在寬角度激勵下的電磁散射數(shù)據(jù)，與數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗證算法的準(zhǔn)確性和可靠性。實(shí)驗研究可以彌補(bǔ)數(shù)值計算的局限性，獲取真實(shí)的電磁散射數(shù)據(jù)，為算法的實(shí)際應(yīng)用提供有力的實(shí)驗支持。在實(shí)驗過程中，嚴(yán)格控制實(shí)驗條件，確保實(shí)驗數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可重復(fù)性。對比分析法：將基于壓縮感知的三維電磁散射算法與傳統(tǒng)的電磁散射計算方法進(jìn)行對比分析。從計算精度、計算效率、內(nèi)存需求等多個方面進(jìn)行詳細(xì)比較，評估所提算法的優(yōu)勢和不足。通過對比分析，明確壓縮感知技術(shù)在解決寬角度激勵下三維電磁散射問題中的實(shí)際效果和應(yīng)用價值，為算法的進(jìn)一步優(yōu)化和推廣應(yīng)用提供依據(jù)。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1三維電磁散射理論2.1.1麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組是描述宏觀電磁現(xiàn)象的基本方程組，由英國物理學(xué)家詹姆斯?克拉克?麥克斯韋在19世紀(jì)中葉建立。它以簡潔而優(yōu)美的數(shù)學(xué)形式，高度概括了電場、磁場、電荷和電流之間的相互關(guān)系，是電磁學(xué)領(lǐng)域的核心理論，也是求解電磁散射問題的基礎(chǔ)。麥克斯韋方程組的微分形式如下：\begin{cases}\nabla\cdot\vec{D}=\rho\\\nabla\cdot\vec{B}=0\\\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partialt}\\\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partialt}\end{cases}其中，\vec{E}表示電場強(qiáng)度（單位：V/m），描述了電場對電荷的作用力；\vec{H}為磁場強(qiáng)度（單位：A/m），反映了磁場的強(qiáng)弱和方向；\vec{D}是電位移矢量（單位：C/m2），與電場強(qiáng)度和介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)；\vec{B}代表磁感應(yīng)強(qiáng)度（單位：T），表示磁場的通量密度；\rho為電荷密度（單位：C/m3），表示空間中電荷的分布情況；\vec{J}是電流密度（單位：A/m2），描述了電流在空間中的分布。第一個方程，即高斯定律（電場），表明電場的散度等于電荷密度與真空介電常數(shù)\epsilon_0的比值，它揭示了電荷是產(chǎn)生電場的源，電場線從正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷，反映了電場與電荷之間的緊密聯(lián)系。例如，在一個點(diǎn)電荷周圍，電場線呈放射狀分布，距離點(diǎn)電荷越近，電場強(qiáng)度越大，這正是高斯定律的直觀體現(xiàn)。第二個方程，高斯定律（磁場），說明磁場的散度始終為零，意味著磁感線是閉合的曲線，不存在單獨(dú)的磁單極子。無論在何種情況下，磁場總是以閉合回路的形式存在，如通電導(dǎo)線周圍的磁場形成同心圓狀的磁感線。第三個方程，法拉第電磁感應(yīng)定律，指出電場的旋度與磁場的變化率成正比，這是電磁感應(yīng)現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。當(dāng)磁場隨時間變化時，會在周圍空間中產(chǎn)生感應(yīng)電場，如變壓器就是利用這一原理實(shí)現(xiàn)電能的傳輸和變換。第四個方程，麥克斯韋-安培定律（包含位移電流），描述了磁場的旋度與電流密度和電場的變化率的關(guān)系。其中，位移電流的引入是麥克斯韋的重大貢獻(xiàn)之一，它揭示了變化的電場也能產(chǎn)生磁場，完善了電磁相互作用的理論體系。例如，在電容器充電和放電過程中，雖然極板間沒有傳導(dǎo)電流，但變化的電場等效于位移電流，同樣能產(chǎn)生磁場。麥克斯韋方程組不僅從理論上統(tǒng)一了電學(xué)和磁學(xué)，還預(yù)言了電磁波的存在，并指出電磁波在真空中的傳播速度等于光速c，這一發(fā)現(xiàn)為現(xiàn)代通信、雷達(dá)、遙感等技術(shù)的發(fā)展奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。在求解電磁散射問題時，麥克斯韋方程組是出發(fā)點(diǎn)，通過對其進(jìn)行數(shù)學(xué)求解和分析，可以得到目標(biāo)物體在電磁場作用下的感應(yīng)電流、電荷分布以及散射場的特性。2.1.2電磁散射的基本原理當(dāng)電磁波入射到目標(biāo)物體上時，會與目標(biāo)物體相互作用，一部分能量被吸收，一部分能量被反射，還有一部分能量會繞過目標(biāo)物體繼續(xù)傳播，這些現(xiàn)象統(tǒng)稱為電磁散射。從微觀角度來看，電磁散射的產(chǎn)生源于目標(biāo)物體內(nèi)的電荷在入射電磁波的作用下發(fā)生振蕩，形成感應(yīng)電流和感應(yīng)電荷，這些感應(yīng)電流和電荷作為新的波源向外輻射電磁波，從而產(chǎn)生散射場。散射場是指由于目標(biāo)物體的存在而在空間中產(chǎn)生的額外電磁場，它疊加在入射場上，構(gòu)成了總場。散射場的分布與目標(biāo)物體的形狀、尺寸、材料特性以及入射波的頻率、極化方式和入射角等因素密切相關(guān)。例如，對于一個金屬導(dǎo)體目標(biāo)，其表面的感應(yīng)電流分布會隨著入射角的變化而改變，從而導(dǎo)致散射場的強(qiáng)度和方向也發(fā)生變化。在高頻情況下，目標(biāo)的散射場主要由一些局部的強(qiáng)散射中心貢獻(xiàn)，這些散射中心通常位于目標(biāo)的邊緣、棱角、尖端等部位，因為這些地方的電流密度較大，散射效應(yīng)更為顯著。散射截面是衡量目標(biāo)物體電磁散射能力的一個重要物理量，它定義為目標(biāo)在單位立體角內(nèi)向接收機(jī)處散射功率與入射波在目標(biāo)上的功率密度之比的4\pi倍，常用符號\sigma表示（單位：m2）。散射截面的大小反映了目標(biāo)對入射電磁波的散射效率，它不僅與目標(biāo)的物理尺寸有關(guān)，還與目標(biāo)的電磁特性以及入射波的參數(shù)有關(guān)。對于電大尺寸目標(biāo)（目標(biāo)尺寸遠(yuǎn)大于入射波波長），散射截面通常與目標(biāo)的幾何尺寸和形狀密切相關(guān)；而對于電小尺寸目標(biāo)（目標(biāo)尺寸遠(yuǎn)小于入射波波長），散射截面則主要取決于目標(biāo)的材料特性和極化方式。在實(shí)際應(yīng)用中，如雷達(dá)探測，通過測量目標(biāo)的散射截面，可以獲取目標(biāo)的一些信息，如目標(biāo)的大小、形狀和材質(zhì)等。在寬角度激勵下，由于入射波的方向不斷變化，目標(biāo)的散射特性會變得更加復(fù)雜。不同入射角下，目標(biāo)表面的感應(yīng)電流分布和散射場分布都有所不同，這就需要綜合考慮多個角度的散射信息來全面描述目標(biāo)的電磁散射特性。例如，在雷達(dá)目標(biāo)識別中，需要分析目標(biāo)在不同方位角和俯仰角下的散射截面特性，以提取出具有特征性的散射信息，從而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的準(zhǔn)確識別。理解電磁散射的基本原理以及散射場、散射截面等關(guān)鍵概念，對于深入研究寬角度激勵下的三維電磁散射問題至關(guān)重要，為后續(xù)探討壓縮感知技術(shù)在該領(lǐng)域的應(yīng)用提供了必要的理論基礎(chǔ)。2.2壓縮感知理論2.2.1壓縮感知的基本概念壓縮感知（CompressiveSensing,CS）是一種新興的信號處理理論，由Candes、Donoho等人在2006年正式提出，它突破了傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理的限制，為信號的采樣、傳輸和處理帶來了全新的思路。傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理要求采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍，才能保證從采樣數(shù)據(jù)中完整地恢復(fù)原始信號。這意味著在處理高帶寬信號時，需要采集大量的數(shù)據(jù)，這不僅對數(shù)據(jù)采集設(shè)備的性能要求極高，還會導(dǎo)致數(shù)據(jù)存儲和傳輸?shù)某杀敬蠓黾?。壓縮感知理論指出，對于在某個變換域下具有稀疏性或可壓縮性的信號，可以通過遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的采樣數(shù)據(jù)精確重構(gòu)原始信號。其核心思想基于信號的稀疏表示和非相干測量。具體來說，假設(shè)存在一個長度為N的信號\mathbf{x}，如果它在某個正交基\boldsymbol{\Psi}上是K-稀疏的（即信號\mathbf{x}在基\boldsymbol{\Psi}下的表示系數(shù)中只有K個非零值，且K\llN），那么可以找到一個與\boldsymbol{\Psi}不相關(guān)（不相干）的觀測矩陣\boldsymbol{\Phi}（M\timesN維，M\ltN），用觀測矩陣\boldsymbol{\Phi}對信號\mathbf{x}進(jìn)行觀測，得到長度為M的一維測量值\mathbf{y}，即\mathbf{y}=\boldsymbol{\Phi}\mathbf{x}。由于M遠(yuǎn)小于N，這就實(shí)現(xiàn)了對信號的壓縮采樣。之后，可以利用最優(yōu)化方法從觀測值\mathbf{y}中高概率恢復(fù)出原始信號\mathbf{x}。信號的稀疏性是壓縮感知的重要前提和理論基礎(chǔ)。自然界中的許多信號，如語音信號、圖像信號等，本身可能并不稀疏，但在某些變換域下具有稀疏表示。例如，圖像信號在小波變換域下，大部分小波系數(shù)的值很小，可以近似認(rèn)為是稀疏的。通過稀疏表示，信號的主要信息可以集中在少數(shù)幾個系數(shù)上，從而為壓縮采樣提供了可能。壓縮感知理論的出現(xiàn)，使得在保證信息不損失的情況下，用遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)采樣定理要求的速率采樣信號成為現(xiàn)實(shí)，大大降低了采樣、傳輸和存儲的成本，在圖像壓縮、醫(yī)學(xué)成像、雷達(dá)信號處理等眾多領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力。2.2.2壓縮感知的關(guān)鍵要素測量矩陣：測量矩陣\boldsymbol{\Phi}（M\timesN維，M\ltN）在壓縮感知中起著關(guān)鍵作用，它負(fù)責(zé)將高維的原始信號投影到低維空間，實(shí)現(xiàn)信號的壓縮采樣。測量矩陣的設(shè)計目的是如何采樣得到M個觀測值，從而將稀疏信號壓縮成少量的數(shù)據(jù)，并保證能重構(gòu)出長度為N的信號\mathbf{x}。為了保證能夠準(zhǔn)確重構(gòu)原始信號，測量矩陣需要滿足一些特定的性質(zhì)，其中最重要的是限制等容性準(zhǔn)則（RestrictedIsometryProperty，RIP）。RIP性質(zhì)要求從測量矩陣中抽取的每M個列向量構(gòu)成的矩陣是非奇異的，即對于任意的K-稀疏信號\mathbf{s}，存在一個常數(shù)\delta_K\in(0,1)，使得(1-\delta_K)\|\mathbf{s}\|_2^2\leqslant\|\boldsymbol{\Phi}\mathbf{s}\|_2^2\leqslant(1+\delta_K)\|\mathbf{s}\|_2^2成立。直觀地說，RIP性質(zhì)保證了測量矩陣在對稀疏信號進(jìn)行投影時，不會丟失信號的關(guān)鍵信息，從而使得信號能夠從低維測量值中精確重構(gòu)。在實(shí)際應(yīng)用中，要直接驗證矩陣是否滿足RIP條件是非常困難的。通?？梢岳肦IP準(zhǔn)則的一種等價情況，即非相干性來指導(dǎo)測量矩陣的設(shè)計。非相干性指測量矩陣中的行向量不能被稀疏基矩陣線性表出，同理稀疏基矩陣中的列向量也不能被測量矩陣中的任意行向量線性表出。相干性的度量由相干度給出，Donoho等人指出，服從高斯分布的隨機(jī)矩陣可以高概率滿足不相關(guān)性。對于一個大小為M\timesN的隨機(jī)高斯矩陣\boldsymbol{\Phi}，其中每個值滿足均值為0，方差為1/M的高斯分布，即\boldsymbol{\Phi}(i,j)\simN(0,1/M)?？梢宰C明當(dāng)M\gtcK\log(N/K)（c為常數(shù)）時，由隨機(jī)高斯矩陣\boldsymbol{\Phi}與稀疏基矩陣構(gòu)成的感知矩陣\boldsymbol{\Theta}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi}在很大概率下能滿足RIP條件。由于隨機(jī)高斯矩陣與大多數(shù)固定正交基構(gòu)成的矩陣不相關(guān)，因此目前大多數(shù)情況下都采用隨機(jī)高斯矩陣作為壓縮感知的測量矩陣。測量矩陣的性能直接影響信號的重構(gòu)效果，如果測量矩陣與稀疏基矩陣的相干性過高，會導(dǎo)致重構(gòu)誤差增大，甚至無法準(zhǔn)確重構(gòu)原始信號。稀疏變換基：稀疏變換基\boldsymbol{\Psi}用于將原始信號\mathbf{x}轉(zhuǎn)換到稀疏表示域，使得信號在該域內(nèi)具有稀疏表示。一般的自然信號本身并不是稀疏的，需要通過稀疏變換將其表示為稀疏系數(shù)的線性組合。例如，對于圖像信號，常用的稀疏變換基有離散余弦變換（DCT）基、離散小波變換（DWT）基、Curvelet變換基等。離散余弦變換基在圖像壓縮中應(yīng)用廣泛，它能夠?qū)D像的能量集中在少數(shù)低頻系數(shù)上，實(shí)現(xiàn)圖像的稀疏表示；離散小波變換基則對圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息具有很好的表示能力，在圖像去噪、特征提取等方面表現(xiàn)出色；Curvelet變換基在處理具有曲線奇異性的圖像時具有獨(dú)特的優(yōu)勢，能夠更好地捕捉圖像的幾何特征。選擇合適的稀疏變換基對于壓縮感知的性能至關(guān)重要。不同的信號在不同的稀疏變換基下具有不同的稀疏性，因此需要根據(jù)信號的特點(diǎn)和應(yīng)用場景選擇最優(yōu)的稀疏變換基。如果稀疏變換基選擇不當(dāng)，信號在該基下的稀疏性較差，會導(dǎo)致重構(gòu)所需的測量數(shù)據(jù)量增加，重構(gòu)精度降低。在某些電磁散射問題中，根據(jù)目標(biāo)的幾何形狀和電磁特性，構(gòu)造特定的稀疏基函數(shù)，能夠提高目標(biāo)散射特性的稀疏表示能力，從而提升壓縮感知算法的性能。信號重構(gòu)算法：信號重構(gòu)算法的任務(wù)是從低維的測量值\mathbf{y}中恢復(fù)出原始的高維信號\mathbf{x}。由于測量值的維度M遠(yuǎn)小于原始信號的維度N，這是一個欠定方程組的求解問題，可能存在無數(shù)個解。為了從眾多解中找到與原始信號最接近的解，需要利用信號的稀疏性和測量矩陣的特性設(shè)計有效的重構(gòu)算法。目前，主流的重構(gòu)算法主要包括以下幾類：貪婪追蹤算法：這類方法通過每次迭代選擇一個局部最優(yōu)解來逐步逼近原始信號。常見的貪婪追蹤算法有匹配追蹤（MP）算法、正交匹配追蹤（OMP）算法、分段正交匹配追蹤（StOMP）算法和正則化正交匹配追蹤（ROMP）算法等。以O(shè)MP算法為例，它在每次迭代中從感知矩陣中選擇與當(dāng)前殘差最匹配的原子，然后更新殘差，直到滿足停止條件。貪婪追蹤算法的優(yōu)點(diǎn)是計算復(fù)雜度較低，重構(gòu)速度較快，但其重構(gòu)精度相對較低，適用于對重構(gòu)速度要求較高的場景。凸松弛法：這類方法通過將非凸的l_0范數(shù)最小化問題轉(zhuǎn)化為凸的l_1范數(shù)最小化問題來求解，從而找到信號的逼近。典型的算法有基追蹤（BP）算法、內(nèi)點(diǎn)法、梯度投影方法和迭代閾值法等?；粉櫵惴ㄍㄟ^求解\min_{\mathbf{s}}\|\mathbf{s}\|_1，\text{s.t.}\\mathbf{y}=\boldsymbol{\Theta}\mathbf{s}來恢復(fù)稀疏系數(shù)\mathbf{s}，進(jìn)而得到原始信號\mathbf{x}=\boldsymbol{\Psi}\mathbf{s}。凸松弛法的重構(gòu)精度較高，但計算復(fù)雜度相對較大，需要消耗更多的計算資源和時間?；谪惾~斯框架的算法：這類算法將信號重構(gòu)問題看作是一個貝葉斯推斷問題，通過建立信號和測量值的概率模型，利用貝葉斯定理來估計信號的后驗概率分布，從而實(shí)現(xiàn)信號重構(gòu)。例如，稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（SBL）算法通過引入先驗分布來約束信號的稀疏性，在一些復(fù)雜信號的重構(gòu)中表現(xiàn)出較好的性能。基于貝葉斯框架的算法能夠充分利用信號的先驗信息，在低信噪比等復(fù)雜情況下具有較好的魯棒性，但算法的實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，計算量較大。不同的重構(gòu)算法在重構(gòu)精度、計算復(fù)雜度和收斂速度等方面存在差異。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的需求和信號特點(diǎn)選擇合適的重構(gòu)算法。例如，在實(shí)時性要求較高的雷達(dá)信號處理中，可能更傾向于選擇計算復(fù)雜度較低的貪婪追蹤算法；而在對重構(gòu)精度要求極高的醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域，則可能選擇重構(gòu)精度高的凸松弛法或基于貝葉斯框架的算法。2.2.3壓縮感知在電磁領(lǐng)域的應(yīng)用基礎(chǔ)壓縮感知技術(shù)在電磁領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，其應(yīng)用基礎(chǔ)主要源于電磁信號的特性以及壓縮感知理論的優(yōu)勢。在電磁領(lǐng)域，許多電磁信號在特定的變換域下具有稀疏性，這為壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用提供了前提條件。以電磁散射問題為例，在高頻區(qū)，目標(biāo)的電磁散射主要由一些局部的散射中心貢獻(xiàn)。這些散射中心通常位于目標(biāo)的邊緣、棱角、尖端等部位，在空間上是稀疏分布的。通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，如將散射場表示為一組基函數(shù)的線性組合，這些散射中心對應(yīng)的系數(shù)在該基下呈現(xiàn)出稀疏特性。例如，可以利用矩量法將電磁散射問題轉(zhuǎn)化為矩陣方程求解，其中感應(yīng)電流的分布可以用一組基函數(shù)展開，而在高頻情況下，只有少數(shù)基函數(shù)對應(yīng)的系數(shù)較大，其他系數(shù)近似為零，從而實(shí)現(xiàn)了感應(yīng)電流分布的稀疏表示。從壓縮感知的優(yōu)勢來看，它能夠有效降低電磁信號處理中的數(shù)據(jù)采集量、存儲需求和計算復(fù)雜度。在傳統(tǒng)的電磁信號處理中，為了準(zhǔn)確獲取電磁信號的信息，往往需要按照奈奎斯特采樣定理進(jìn)行大量的采樣，這不僅對采樣設(shè)備的性能要求高，而且會產(chǎn)生海量的數(shù)據(jù)，增加了存儲和傳輸?shù)呢?fù)擔(dān)。此外，傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法在處理大規(guī)模電磁問題時，計算量會隨著問題規(guī)模的增大而急劇增加，導(dǎo)致計算效率低下。而壓縮感知技術(shù)通過稀疏采樣和信號重構(gòu)，可以在較少的測量數(shù)據(jù)下有效地恢復(fù)電磁信號的信息。在電磁散射計算中，利用壓縮感知技術(shù)可以減少對目標(biāo)表面的采樣點(diǎn)數(shù)，降低測量矩陣的規(guī)模，從而減少計算量和內(nèi)存需求。通過選擇合適的測量矩陣和稀疏變換基，能夠以較低的采樣率獲取足夠的信息來重構(gòu)目標(biāo)的電磁散射特性，大大提高了計算效率。壓縮感知技術(shù)在電磁領(lǐng)域的應(yīng)用還能夠提高系統(tǒng)的抗干擾能力。由于壓縮感知是基于信號的稀疏性進(jìn)行采樣和重構(gòu)的，對于噪聲等干擾具有一定的魯棒性。在實(shí)際的電磁環(huán)境中，存在各種噪聲和干擾信號，傳統(tǒng)的信號處理方法容易受到這些干擾的影響，導(dǎo)致信號失真和處理結(jié)果不準(zhǔn)確。而壓縮感知技術(shù)可以通過優(yōu)化重構(gòu)算法，利用信號的稀疏先驗信息，在一定程度上抑制噪聲的影響，提高信號的重構(gòu)質(zhì)量和處理結(jié)果的可靠性。壓縮感知技術(shù)在電磁領(lǐng)域的應(yīng)用基礎(chǔ)堅實(shí)，它與電磁信號的特性相契合，能夠有效解決傳統(tǒng)電磁信號處理中存在的問題，為電磁領(lǐng)域的發(fā)展帶來新的機(jī)遇。三、寬角度激勵下三維電磁散射問題分析3.1問題描述與特點(diǎn)3.1.1問題描述寬角度激勵下的三維電磁散射問題，是指在多個不同方向的電磁波激勵下，研究三維目標(biāo)物體對電磁波的散射特性。在實(shí)際物理場景中，如雷達(dá)探測系統(tǒng)，雷達(dá)發(fā)射的電磁波會從不同角度照射到目標(biāo)物體上，目標(biāo)物體在這些不同入射角的電磁波作用下，會產(chǎn)生復(fù)雜的電磁散射現(xiàn)象。從數(shù)學(xué)描述的角度來看，基于麥克斯韋方程組，結(jié)合邊界條件和初始條件，可以對該問題進(jìn)行建模。假設(shè)在一個三維空間中，存在一個目標(biāo)物體，其占據(jù)區(qū)域為V，表面為S。當(dāng)入射電磁波\vec{E}_{inc}(\vec{r},t)和\vec{H}_{inc}(\vec{r},t)照射到目標(biāo)物體上時，根據(jù)麥克斯韋方程組的積分形式：\begin{cases}\oint_{S}\vec{D}\cdotd\vec{S}=\int_{V}\rhodV\\\oint_{S}\vec{B}\cdotd\vec{S}=0\\\oint_{C}\vec{E}\cdotd\vec{l}=-\frac{\partial}{\partialt}\int_{S}\vec{B}\cdotd\vec{S}\\\oint_{C}\vec{H}\cdotd\vec{l}=\int_{S}(\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partialt})\cdotd\vec{S}\end{cases}其中，C為閉合曲線，S為以C為邊界的曲面。在目標(biāo)物體表面S上，需要滿足相應(yīng)的邊界條件，如理想導(dǎo)體表面的電場切向分量為零，磁場切向分量與表面電流密度相關(guān)等。通過這些方程和邊界條件，可以求解出目標(biāo)物體表面的感應(yīng)電流\vec{J}(\vec{r},t)和感應(yīng)電荷\rho(\vec{r},t)，進(jìn)而得到散射電場\vec{E}_{sca}(\vec{r},t)和散射磁場\vec{H}_{sca}(\vec{r},t)。散射電場和散射磁場可以通過格林函數(shù)表示為：\begin{align*}\vec{E}_{sca}(\vec{r},t)&=\iiint_{V}\vec{G}_{E}(\vec{r},\vec{r}',t-t')\cdot\vec{J}(\vec{r}',t')dV'-\iiint_{V}\nabla\times\vec{G}_{E}(\vec{r},\vec{r}',t-t')\cdot\vec{M}(\vec{r}',t')dV'\\\vec{H}_{sca}(\vec{r},t)&=\iiint_{V}\vec{G}_{H}(\vec{r},\vec{r}',t-t')\cdot\vec{M}(\vec{r}',t')dV'+\iiint_{V}\nabla\times\vec{G}_{H}(\vec{r},\vec{r}',t-t')\cdot\vec{J}(\vec{r}',t')dV'\end{align*}其中，\vec{G}_{E}(\vec{r},\vec{r}',t-t')和\vec{G}_{H}(\vec{r},\vec{r}',t-t')分別為電場和磁場的格林函數(shù)，\vec{M}(\vec{r},t)為等效磁流密度。求解寬角度激勵下的三維電磁散射問題，就是要在給定的多個入射角的入射波條件下，通過上述方程和邊界條件，準(zhǔn)確計算出目標(biāo)物體的散射電場、散射磁場以及散射截面等物理量，以全面描述目標(biāo)物體在不同角度電磁波激勵下的電磁散射特性。3.1.2問題特點(diǎn)計算復(fù)雜度高：在寬角度激勵下，由于需要考慮多個不同入射角的電磁波作用，計算量會大幅增加。以矩量法為例，傳統(tǒng)矩量法在處理三維電磁散射問題時，需要將目標(biāo)表面離散化為大量的小單元，隨著目標(biāo)電尺寸的增大，單元數(shù)量會急劇增加。在寬角度激勵下，對于每個入射角都需要進(jìn)行一次完整的計算，這使得計算量呈幾何倍數(shù)增長。假設(shè)在處理一個電尺寸較大的目標(biāo)時，傳統(tǒng)矩量法在單一入射角下需要計算N次矩陣向量乘法，當(dāng)考慮M個不同入射角時，計算量將增加到M\timesN次。這不僅對計算資源（如內(nèi)存、CPU計算能力）提出了極高的要求，還會導(dǎo)致計算時間大幅延長，使得傳統(tǒng)方法在實(shí)際應(yīng)用中難以滿足實(shí)時性要求。多尺度特性：目標(biāo)物體通常具有復(fù)雜的幾何形狀和結(jié)構(gòu)，這使得其電磁散射特性呈現(xiàn)出多尺度特性。例如，一個包含細(xì)小結(jié)構(gòu)和大面積平板的目標(biāo)，細(xì)小結(jié)構(gòu)（如鉚釘、縫隙等）的尺寸可能遠(yuǎn)小于平板的尺寸，而它們對電磁散射的貢獻(xiàn)在不同頻率和入射角下各不相同。在高頻情況下，細(xì)小結(jié)構(gòu)可能會產(chǎn)生強(qiáng)烈的散射，成為重要的散射源；而在低頻情況下，平板部分的散射可能占據(jù)主導(dǎo)地位。這種多尺度特性要求求解方法能夠同時準(zhǔn)確描述不同尺度結(jié)構(gòu)的電磁散射行為，傳統(tǒng)的數(shù)值方法在處理多尺度問題時往往面臨困難，因為它們通常需要對整個目標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)一的網(wǎng)格劃分或基函數(shù)展開，難以兼顧不同尺度結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)。寬角度特性：寬角度激勵意味著入射波的方向變化范圍大，這使得目標(biāo)的散射特性變得更加復(fù)雜。不同入射角下，目標(biāo)表面的感應(yīng)電流分布和散射場分布都會發(fā)生顯著變化。在某些入射角下，目標(biāo)的特定部位可能會成為強(qiáng)散射中心，而在其他入射角下，這些部位的散射可能相對較弱。這種寬角度下散射特性的變化，增加了對目標(biāo)電磁散射特性分析的難度，需要全面考慮不同角度下的散射信息才能準(zhǔn)確描述目標(biāo)的電磁散射行為。傳統(tǒng)方法在處理寬角度問題時，由于缺乏有效的角度采樣和分析策略，往往難以準(zhǔn)確捕捉到目標(biāo)在不同角度下的散射特性變化，導(dǎo)致計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性受到影響。3.2傳統(tǒng)求解方法及其局限性3.2.1矩量法矩量法（MethodofMoments，MoM）是一種將連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組的方法，對求解微分方程和積分方程均適用，在電磁學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。其基本原理基于加權(quán)余量法，通過選取適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)和權(quán)函數(shù)，將連續(xù)的積分方程轉(zhuǎn)化為離散的矩陣方程，從而使得問題可以通過計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解。以求解電磁散射問題中的電場積分方程（EFIE）為例，對于一個理想導(dǎo)體目標(biāo)，其表面的電場積分方程可表示為：\vec{E}_{inc}(\vec{r})=j\omega\mu\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\cdot\vec{J}(\vec{r}')dS'+\frac{1}{j\omega\epsilon}\nabla\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\cdot\nabla'\cdot\vec{J}(\vec{r}')dS'其中，\vec{E}_{inc}(\vec{r})是入射電場，\vec{J}(\vec{r}')是目標(biāo)表面的感應(yīng)電流密度，\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')是格林函數(shù)，S為目標(biāo)表面，\omega是角頻率，\mu和\epsilon分別是介質(zhì)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。使用矩量法求解該方程時，首先需要進(jìn)行離散化處理。將目標(biāo)表面S離散為N個小的面片單元，在每個面片單元上選擇合適的基函數(shù)f_n(\vec{r})（如常用的RWG（Rao-Wilton-Glisson）基函數(shù)），將感應(yīng)電流密度\vec{J}(\vec{r})近似表示為這些基函數(shù)的線性組合：\vec{J}(\vec{r})\approx\sum_{n=1}^{N}I_nf_n(\vec{r})其中，I_n是待求解的電流系數(shù)。將上述近似表達(dá)式代入電場積分方程，并選取權(quán)函數(shù)w_m(\vec{r})（通常與基函數(shù)相同，即伽略金法），對每個權(quán)函數(shù)與方程兩邊取內(nèi)積，經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算后，得到矩陣方程：[Z][I]=[V]其中，[Z]是阻抗矩陣，其元素Z_{mn}通過基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的內(nèi)積計算得到；[I]是包含待求解電流系數(shù)I_n的向量；[V]是等效電壓源向量。最后，通過求解該矩陣方程，得到電流系數(shù)I_n，進(jìn)而計算出目標(biāo)表面的感應(yīng)電流分布和散射場。在處理寬角度激勵下三維電磁散射問題時，矩量法面臨著諸多挑戰(zhàn)。隨著目標(biāo)電尺寸的增大，離散化后的單元數(shù)量會急劇增加，導(dǎo)致矩陣方程的規(guī)模迅速增大。假設(shè)目標(biāo)表面離散化為N個單元，那么阻抗矩陣的規(guī)模為N\timesN。當(dāng)考慮寬角度激勵時，對于每個不同的入射角，都需要重新計算阻抗矩陣和求解矩陣方程，這使得計算量呈幾何倍數(shù)增長。在分析一個電大尺寸的復(fù)雜目標(biāo)時，傳統(tǒng)矩量法在單一入射角下的計算量可能已經(jīng)非常巨大，當(dāng)考慮多個入射角時，計算時間可能會從數(shù)小時增加到數(shù)天甚至更長，這在實(shí)際應(yīng)用中是難以接受的。巨大的矩陣規(guī)模還會帶來內(nèi)存需求過大的問題。存儲規(guī)模為N\timesN的滿秩阻抗矩陣需要大量的內(nèi)存空間，對于電大尺寸目標(biāo)，內(nèi)存需求可能會超出計算機(jī)的硬件能力，導(dǎo)致計算無法進(jìn)行。矩量法在處理寬角度激勵下三維電磁散射問題時，由于計算量和內(nèi)存需求過大，其應(yīng)用受到了很大的限制，難以滿足實(shí)際工程中對計算效率和實(shí)時性的要求。3.2.2快速多極子法快速多極子法（FastMultipoleMethod，F(xiàn)MM）是一種用于加速大規(guī)模數(shù)值積分的非線性加速方法，在電磁學(xué)領(lǐng)域中常用于加速矩量法的計算，尤其適用于處理電大尺寸目標(biāo)的電磁散射問題。其基本原理基于多極子展開和分層聚類的思想。在電磁學(xué)中，多極子是電磁場源在不同距離尺度下的有效描述，包括單極子、偶極子、四極子等。多極子展開的基本思想是將復(fù)雜的場分布表達(dá)為多個不同階數(shù)的多極子的和。例如，在點(diǎn)源的情況下，第一階多極子（單極子）代表了場源的總電荷或總磁矩，而更高階的多極子則描述了場源的空間分布特征。多極子具有在遠(yuǎn)場具有不同的衰減速率，高階多極子隨著距離的增加衰減得更快等性質(zhì)?？焖俣鄻O子法通過將積分域劃分為若干層級網(wǎng)格，每一層將相鄰的細(xì)小網(wǎng)格聚類為一個較大的簇，形成一個多極子。將每個簇表示為一個多極子，其包含簇的中心、總質(zhì)量和多極矩等信息。采用多極子展式將簇外積分域內(nèi)的核函數(shù)表示為多極子展開式。在計算過程中，通過分層策略將積分域分割成一系列子域，利用多極子矩之間的快速求和技術(shù)計算子域之間的相互作用，從而實(shí)現(xiàn)高效率的計算。具體來說，快速多極子法的計算過程包括上行傳遞和下行傳遞兩個主要步驟。在上行傳遞過程中，從最底層向上計算子域的多極子矩。將每個子域中的源點(diǎn)荷載轉(zhuǎn)換為等效的多極子矩，通過局部泰勒展開式將子域中的核函數(shù)以局部展式表示。在下行傳遞階段，從最頂層向下，將多極子矩作用于子域，計算局部場。通過將多極子矩作用于子域，可以有效地計算子域之間的相互作用，而無需直接求和大量源點(diǎn)荷載，從而降低了計算復(fù)雜度。盡管快速多極子法在加速電磁散射計算方面取得了顯著成效，但在處理復(fù)雜目標(biāo)和寬角度問題時仍存在一定的局限性。對于具有復(fù)雜幾何形狀和結(jié)構(gòu)的目標(biāo)，如包含細(xì)小結(jié)構(gòu)、縫隙、腔體等的目標(biāo)，快速多極子法的多極子展開和聚類過程可能會變得復(fù)雜，導(dǎo)致計算效率下降。這些復(fù)雜結(jié)構(gòu)可能會使得多極子的劃分和近似變得不準(zhǔn)確，從而影響計算精度。在處理含有細(xì)小縫隙的目標(biāo)時，縫隙處的電流分布較為復(fù)雜，傳統(tǒng)的多極子展開方式可能無法準(zhǔn)確描述其電磁特性，導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)偏差。在寬角度激勵下，由于入射波方向的多樣性，需要對不同方向的散射場進(jìn)行計算?？焖俣鄻O子法在處理不同角度的散射場時，需要對每個角度都進(jìn)行類似的多極子展開和計算，這會增加計算量和計算時間。而且，對于一些特殊角度下的散射場計算，如掠入射等情況，快速多極子法可能會面臨數(shù)值穩(wěn)定性和精度的問題，因為在這些情況下，多極子展開的近似效果可能會變差?？焖俣鄻O子法在處理復(fù)雜目標(biāo)和寬角度問題時，雖然在一定程度上能夠提高計算效率，但仍存在一些需要改進(jìn)和完善的地方，以更好地滿足實(shí)際工程應(yīng)用的需求。3.2.3其他傳統(tǒng)方法除了矩量法和快速多極子法，還有一些其他常見的傳統(tǒng)方法用于求解寬角度激勵下的三維電磁散射問題，有限元法（FiniteElementMethod，F(xiàn)EM）也是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)值方法。有限元法的基本原理是將求解區(qū)域離散化為有限個單元，在每個單元內(nèi)假設(shè)場變量的分布函數(shù)，通過變分原理或加權(quán)余量法將電磁問題的控制方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解。在三維電磁散射問題中，通常將目標(biāo)物體及其周圍空間劃分為四面體或六面體單元，利用矢量有限元基函數(shù)對電場或磁場進(jìn)行插值近似。假設(shè)電場強(qiáng)度\vec{E}在每個單元內(nèi)可以表示為：\vec{E}(\vec{r})=\sum_{i=1}^{n}E_i\vec{N}_i(\vec{r})其中，E_i是單元節(jié)點(diǎn)上的電場強(qiáng)度值，\vec{N}_i(\vec{r})是矢量有限元基函數(shù)，n是單元節(jié)點(diǎn)數(shù)。將上述表達(dá)式代入麥克斯韋方程組，并應(yīng)用變分原理，得到有限元方程：[K][E]=[F]其中，[K]是剛度矩陣，[E]是節(jié)點(diǎn)電場強(qiáng)度向量，[F]是荷載向量。通過求解該有限元方程，可以得到節(jié)點(diǎn)處的電場強(qiáng)度，進(jìn)而計算出散射場。有限元法的優(yōu)點(diǎn)是能夠精確處理復(fù)雜幾何形狀和材料特性的目標(biāo)，對于具有任意形狀和非均勻材料分布的物體，有限元法可以通過靈活的網(wǎng)格劃分來準(zhǔn)確描述其幾何特征和電磁特性。在處理包含多種介質(zhì)的復(fù)雜目標(biāo)時，有限元法能夠準(zhǔn)確考慮不同介質(zhì)之間的邊界條件和相互作用。但有限元法也存在一些缺點(diǎn)。它需要對整個求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對于電大尺寸目標(biāo)，所需的網(wǎng)格數(shù)量會非常龐大，導(dǎo)致計算量和內(nèi)存需求急劇增加。在處理電大尺寸的復(fù)雜目標(biāo)時，有限元法的計算時間可能會很長，內(nèi)存需求也可能超出計算機(jī)的承受能力。有限元法在處理開放區(qū)域問題時，需要采用特殊的吸收邊界條件或無限元技術(shù)來模擬無窮遠(yuǎn)處的邊界條件，這些方法的實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，并且可能會引入一定的誤差。時域有限差分法（FiniteDifferenceTimeDomain，F(xiàn)DTD）也是求解電磁散射問題的常用方法之一。它直接在時間和空間上對麥克斯韋方程組進(jìn)行差分離散，通過迭代計算來模擬電磁波的傳播和散射過程。在FDTD方法中，將空間劃分為均勻的網(wǎng)格，電場和磁場在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上交錯分布。利用中心差分公式對麥克斯韋旋度方程進(jìn)行離散化，得到電場和磁場的更新公式。以電場的更新公式為例：E_x^{n+1}(i,j,k)=E_x^n(i,j,k)+\frac{\Deltat}{\epsilon(i,j,k)}\left[\frac{H_z^n(i,j,k)-H_z^n(i,j-1,k)}{\Deltay}-\frac{H_y^n(i,j,k)-H_y^n(i,j,k-1)}{\Deltaz}\right]其中，E_x^{n+1}(i,j,k)表示在n+1時刻，空間位置(i,j,k)處的x方向電場強(qiáng)度，\Deltat是時間步長，\Deltay和\Deltaz分別是y和z方向的空間步長，\epsilon(i,j,k)是該位置處的介電常數(shù)。FDTD方法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單直觀，易于編程實(shí)現(xiàn)，能夠直接模擬電磁波的時域特性，對于分析超寬帶信號的電磁散射問題具有獨(dú)特的優(yōu)勢。它也存在一些局限性。由于FDTD方法基于網(wǎng)格的離散方式，對于電大尺寸目標(biāo)需要非常精細(xì)的網(wǎng)格劃分，以滿足數(shù)值穩(wěn)定性和精度的要求，這會導(dǎo)致計算量和內(nèi)存需求大幅增加。FDTD方法存在數(shù)值色散問題，即不同頻率的電磁波在數(shù)值計算中的傳播速度不同，這會導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)誤差，尤其在處理寬頻帶信號時，數(shù)值色散問題可能會更加嚴(yán)重。四、基于壓縮感知的求解方法4.1基于壓縮感知的求解框架4.1.1信號稀疏表示在寬角度激勵下的三維電磁散射問題中，實(shí)現(xiàn)信號的稀疏表示是應(yīng)用壓縮感知技術(shù)的關(guān)鍵步驟。對于電磁散射信號，其稀疏表示的核心在于找到一個合適的稀疏變換基，使得信號在該變換域下能夠以盡可能少的非零系數(shù)來表示，從而體現(xiàn)出稀疏性。從理論基礎(chǔ)來看，信號的稀疏表示基于信號在不同基函數(shù)下的分解。假設(shè)存在一個三維電磁散射信號\mathbf{x}，其維度為N，若能找到一個正交基\boldsymbol{\Psi}（N\timesN維），則信號\mathbf{x}可以表示為\mathbf{x}=\boldsymbol{\Psi}\mathbf{s}，其中\(zhòng)mathbf{s}是信號\mathbf{x}在基\boldsymbol{\Psi}下的稀疏表示系數(shù)向量。理想情況下，\mathbf{s}中只有極少數(shù)非零元素，即信號\mathbf{x}在基\boldsymbol{\Psi}下是稀疏的。在實(shí)際的三維電磁散射場景中，常用的稀疏變換基有多種選擇。離散傅里葉變換（DFT）基是一種常見的稀疏變換基。它基于三角函數(shù)的正交性，將信號從時域或空域轉(zhuǎn)換到頻域。對于一些具有周期性或頻域特性較為明顯的電磁散射信號，DFT基能夠有效地將信號能量集中在少數(shù)幾個頻率分量上，實(shí)現(xiàn)稀疏表示。在分析某些規(guī)則形狀目標(biāo)（如球體、圓柱體等）的電磁散射時，其散射場在特定頻率下的分布可能具有一定的周期性，此時使用DFT基進(jìn)行稀疏表示，能夠?qū)⑸⑸鋱霰硎緸橐幌盗姓液陀嘞液瘮?shù)的線性組合，使得大部分頻率分量的系數(shù)為零，只有少數(shù)關(guān)鍵頻率分量的系數(shù)非零，從而體現(xiàn)出稀疏性。離散余弦變換（DCT）基也是常用的稀疏變換基之一。DCT基與DFT基有一定的相似性，但它只使用余弦函數(shù)，并且在圖像和信號處理中具有很好的能量集中特性。在電磁散射問題中，對于一些具有對稱性或平滑變化特性的目標(biāo)散射信號，DCT基能夠?qū)⑿盘柕闹饕芰考性诘皖l系數(shù)上，實(shí)現(xiàn)稀疏表示。當(dāng)目標(biāo)物體的表面電流分布相對平滑時，使用DCT基對其進(jìn)行變換，可以將大部分高頻細(xì)節(jié)信息用較小的系數(shù)表示，而低頻部分的系數(shù)則包含了信號的主要能量和結(jié)構(gòu)信息，從而實(shí)現(xiàn)信號的稀疏化。除了這些傳統(tǒng)的變換基，針對電磁散射問題的特點(diǎn)，還可以構(gòu)造特定的稀疏基函數(shù)。例如，基于目標(biāo)的幾何形狀和電磁特性，可以構(gòu)建特征基函數(shù)。對于復(fù)雜形狀的目標(biāo)，可以將其劃分為多個子區(qū)域，在每個子區(qū)域上構(gòu)造與該區(qū)域電磁特性相匹配的基函數(shù)。這些基函數(shù)能夠更好地捕捉目標(biāo)在不同區(qū)域的散射特性，使得散射信號在這些特征基函數(shù)下具有更高的稀疏性。通過分析目標(biāo)的散射中心分布，將散射中心周圍的區(qū)域作為子區(qū)域，構(gòu)造能夠準(zhǔn)確描述該散射中心散射特性的基函數(shù)，從而提高信號的稀疏表示能力。選擇合適的稀疏變換基需要綜合考慮多個因素。要考慮目標(biāo)的幾何形狀和結(jié)構(gòu)復(fù)雜性。對于簡單幾何形狀的目標(biāo)，傳統(tǒng)的DFT基或DCT基可能就能夠?qū)崿F(xiàn)較好的稀疏表示；而對于復(fù)雜形狀的目標(biāo)，可能需要采用特定構(gòu)造的稀疏基函數(shù)。目標(biāo)的材料特性也會影響稀疏變換基的選擇。不同材料的電磁參數(shù)不同，其散射特性也各異，需要根據(jù)材料的特性選擇能夠有效表示其散射信號的稀疏變換基。入射波的頻率、極化方式等參數(shù)也會對散射信號的特性產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響稀疏變換基的選擇。在高頻情況下，目標(biāo)的散射可能主要由局部的強(qiáng)散射中心貢獻(xiàn)，此時選擇能夠突出這些散射中心特性的稀疏變換基更為合適；而在低頻情況下，目標(biāo)的整體散射特性更為重要，需要選擇能夠反映整體特性的稀疏變換基。4.1.2測量矩陣設(shè)計測量矩陣在基于壓縮感知的寬角度激勵下三維電磁散射問題求解框架中扮演著至關(guān)重要的角色，它負(fù)責(zé)將高維的電磁散射信號投影到低維空間，實(shí)現(xiàn)信號的壓縮采樣，為后續(xù)的信號重構(gòu)提供基礎(chǔ)。測量矩陣的設(shè)計需要遵循一定的原則，其中最重要的是滿足限制等容性準(zhǔn)則（RIP）。RIP要求測量矩陣能夠在低維投影中保留信號的關(guān)鍵信息，使得從低維測量值中能夠精確重構(gòu)原始信號。具體來說，對于一個K-稀疏信號\mathbf{s}，存在一個常數(shù)\delta_K\in(0,1)，使得(1-\delta_K)\|\mathbf{s}\|_2^2\leqslant\|\boldsymbol{\Phi}\mathbf{s}\|_2^2\leqslant(1+\delta_K)\|\mathbf{s}\|_2^2成立，其中\(zhòng)boldsymbol{\Phi}為測量矩陣。直觀地理解，RIP性質(zhì)保證了測量矩陣對稀疏信號的投影不會造成信號的失真或關(guān)鍵信息的丟失，從而使得信號能夠從低維測量值中準(zhǔn)確恢復(fù)。在實(shí)際應(yīng)用中，常用的測量矩陣設(shè)計方法有多種。隨機(jī)高斯矩陣是一種廣泛應(yīng)用的測量矩陣。它的元素由獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)變量組成，即對于一個大小為M\timesN（M\ltN）的隨機(jī)高斯矩陣\boldsymbol{\Phi}，其元素\boldsymbol{\Phi}(i,j)\simN(0,1/M)。隨機(jī)高斯矩陣具有良好的不相干性和以高概率滿足RIP條件的特性。由于其元素的隨機(jī)性，隨機(jī)高斯矩陣與大多數(shù)固定正交基構(gòu)成的矩陣不相關(guān)，這使得它在壓縮感知中表現(xiàn)出較好的性能。在處理電磁散射信號時，隨機(jī)高斯矩陣能夠有效地將高維的散射信號投影到低維空間，并且在滿足一定采樣率的條件下，能夠保證從低維測量值中準(zhǔn)確重構(gòu)原始信號。隨機(jī)伯努利矩陣也是一種常用的測量矩陣。它的元素取值為1和-1的概率均為1/2。隨機(jī)伯努利矩陣同樣具備良好的不相干性和RIP條件。與隨機(jī)高斯矩陣相比，隨機(jī)伯努利矩陣的元素取值更為簡單，在一些對計算復(fù)雜度和存儲要求較高的場景中具有一定的優(yōu)勢。在某些實(shí)時性要求較高的電磁散射測量系統(tǒng)中，使用隨機(jī)伯努利矩陣可以減少計算量和存儲需求，同時仍然能夠保證一定的信號重構(gòu)精度。不同的測量矩陣對信號采集和恢復(fù)效果有著顯著的影響。隨機(jī)高斯矩陣由于其元素的連續(xù)性和隨機(jī)性，在信號采集過程中能夠更全面地捕捉信號的特征，從而在信號恢復(fù)時具有較高的精度。但它的計算復(fù)雜度相對較高，在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時可能會消耗較多的計算資源。而隨機(jī)伯努利矩陣雖然計算復(fù)雜度較低，存儲需求也較小，但由于其元素取值的離散性，在信號采集時可能無法像隨機(jī)高斯矩陣那樣精確地捕捉信號的細(xì)節(jié)信息，從而在信號恢復(fù)時可能會引入一定的誤差。在選擇適用于寬角度激勵下三維電磁散射問題的測量矩陣時，需要綜合考慮多個因素。要考慮電磁散射信號的特點(diǎn)。如果散射信號具有較強(qiáng)的隨機(jī)性和復(fù)雜性，隨機(jī)高斯矩陣可能更適合，因為它能夠更好地適應(yīng)信號的多樣性；如果散射信號相對較為簡單，且對計算復(fù)雜度和存儲要求較高，隨機(jī)伯努利矩陣可能是更好的選擇。還要考慮計算資源和實(shí)際應(yīng)用場景的限制。在計算資源有限的情況下，需要選擇計算復(fù)雜度較低的測量矩陣；而在對信號重構(gòu)精度要求極高的場景中，則應(yīng)優(yōu)先選擇能夠保證高精度的測量矩陣。還可以結(jié)合實(shí)際的數(shù)值實(shí)驗和仿真，對比不同測量矩陣在該問題中的性能表現(xiàn)，從而選擇出最優(yōu)的測量矩陣。4.1.3信號重構(gòu)算法信號重構(gòu)算法是基于壓縮感知的求解框架中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其目的是從低維的測量值中恢復(fù)出原始的高維電磁散射信號，實(shí)現(xiàn)對寬角度激勵下三維電磁散射問題的求解。常用的信號重構(gòu)算法主要包括貪婪追蹤算法、凸松弛法和基于貝葉斯框架的算法等。貪婪追蹤算法以其計算復(fù)雜度較低、重構(gòu)速度較快的特點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用中得到了廣泛關(guān)注。正交匹配追蹤（OMP）算法是貪婪追蹤算法中的典型代表。OMP算法的基本思想是通過每次迭代選擇一個與當(dāng)前殘差最匹配的原子，逐步逼近原始信號。具體步驟如下：首先初始化殘差為測量值\mathbf{y}，然后在每次迭代中，計算測量矩陣\boldsymbol{\Phi}的每一列與殘差的內(nèi)積，選擇內(nèi)積絕對值最大的列對應(yīng)的原子，將其加入到已選原子集合中。接著，通過最小二乘法求解當(dāng)前已選原子集合對應(yīng)的系數(shù)，更新殘差。重復(fù)上述過程，直到滿足預(yù)設(shè)的停止條件，如殘差的范數(shù)小于某個閾值或達(dá)到最大迭代次數(shù)。在寬角度激勵下的三維電磁散射問題中，OMP算法可以快速地從少量的測量值中重構(gòu)出散射信號。由于其計算過程相對簡單，不需要復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，因此在對計算速度要求較高的場景中具有明顯的優(yōu)勢。但OMP算法也存在一定的局限性，它的重構(gòu)精度相對較低，尤其是在信號稀疏性較差或測量噪聲較大的情況下，重構(gòu)誤差可能會較大。迭代閾值算法是凸松弛法中的一種常用算法。它通過將非凸的l_0范數(shù)最小化問題轉(zhuǎn)化為凸的l_1范數(shù)最小化問題來求解。具體實(shí)現(xiàn)時，迭代閾值算法通過不斷迭代更新信號估計值，每次迭代中對信號估計值進(jìn)行閾值處理，保留絕對值較大的系數(shù)，去除絕對值較小的系數(shù)，從而逐步逼近原始信號的稀疏表示。在每次迭代中，先根據(jù)當(dāng)前的信號估計值計算殘差，然后通過閾值函數(shù)對殘差進(jìn)行處理，得到新的信號估計值。迭代閾值算法在處理電磁散射信號時，能夠利用信號的稀疏性約束，有效地抑制噪聲的影響，提高重構(gòu)精度。與OMP算法相比，迭代閾值算法的重構(gòu)精度更高，能夠更準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號的細(xì)節(jié)信息。但它的計算復(fù)雜度相對較高，需要進(jìn)行多次迭代計算，計算時間較長。在本問題中，不同算法的適用性和性能表現(xiàn)存在差異。對于實(shí)時性要求較高的場景，如雷達(dá)實(shí)時探測等，由于需要快速獲取目標(biāo)的電磁散射信息，OMP算法等貪婪追蹤算法可能更為適用。盡管其重構(gòu)精度有限，但能夠在短時間內(nèi)提供較為準(zhǔn)確的散射信號估計，滿足實(shí)時性需求。而對于對重構(gòu)精度要求極高的場景，如目標(biāo)識別、精細(xì)電磁特性分析等，迭代閾值算法等凸松弛法更具優(yōu)勢。它們能夠通過復(fù)雜的優(yōu)化計算，更精確地恢復(fù)原始信號，為后續(xù)的分析和應(yīng)用提供高質(zhì)量的數(shù)據(jù)支持。基于貝葉斯框架的算法雖然在理論上能夠充分利用信號的先驗信息，具有較好的魯棒性，但由于其算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，計算量極大，在實(shí)際應(yīng)用中受到一定的限制。在處理大規(guī)模的三維電磁散射問題時，基于貝葉斯框架的算法可能需要消耗大量的計算資源和時間，難以滿足實(shí)際需求。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的場景需求和信號特點(diǎn)，選擇合適的信號重構(gòu)算法，以實(shí)現(xiàn)對寬角度激勵下三維電磁散射問題的高效、準(zhǔn)確求解。4.2求解方法的實(shí)現(xiàn)步驟4.2.1數(shù)據(jù)采集與預(yù)處理在寬角度激勵下，為了準(zhǔn)確獲取三維目標(biāo)的電磁散射數(shù)據(jù)，需要設(shè)計合理的數(shù)據(jù)采集方案。通常采用多頻帶、多角度的測量方式，以全面捕捉目標(biāo)在不同條件下的散射特性。在實(shí)驗測量中，使用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀等設(shè)備，通過控制發(fā)射天線和接收天線的角度，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)在多個方位角和俯仰角下的散射數(shù)據(jù)采集。對于不同頻率的入射波，需要根據(jù)目標(biāo)的電磁特性和研究需求，選擇合適的頻率范圍進(jìn)行測量。如果研究目標(biāo)在高頻段的散射特性，可能需要測量毫米波甚至太赫茲頻段的散射數(shù)據(jù)；而對于低頻段的研究，則需要覆蓋較低頻率的范圍。采集到的原始電磁散射數(shù)據(jù)往往包含各種噪聲和干擾，這些噪聲和干擾會影響后續(xù)壓縮感知計算的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，因此需要進(jìn)行預(yù)處理。去噪是預(yù)處理的重要環(huán)節(jié)之一，常用的去噪方法有濾波技術(shù)，如均值濾波、中值濾波和小波濾波等。均值濾波通過計算鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值來平滑信號，去除噪聲，但在去除噪聲的同時也會對信號的細(xì)節(jié)信息造成一定的模糊。中值濾波則是用鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)的中值來代替當(dāng)前數(shù)據(jù)，能夠有效去除脈沖噪聲，保留信號的邊緣和細(xì)節(jié)信息。小波濾波利用小波變換將信號分解為不同頻率的子帶，通過對小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，去除噪聲所在的高頻子帶系數(shù)，從而達(dá)到去噪的目的。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)噪聲的類型和特點(diǎn)選擇合適的濾波方法。如果噪聲主要是高斯白噪聲，小波濾波可能效果較好；如果存在較多的脈沖噪聲，則中值濾波更為適用。歸一化也是預(yù)處理的關(guān)鍵步驟。歸一化的目的是將數(shù)據(jù)映射到一個特定的區(qū)間，如[0,1]或[-1,1]，以消除數(shù)據(jù)量綱和幅值差異的影響，提高算法的穩(wěn)定性和收斂速度。常用的歸一化方法有最大-最小歸一化和Z-score歸一化。最大-最小歸一化通過將數(shù)據(jù)線性變換到指定區(qū)間，公式為x_{norm}=\frac{x-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}，其中x_{norm}為歸一化后的數(shù)據(jù)，x為原始數(shù)據(jù)，x_{min}和x_{max}分別為原始數(shù)據(jù)的最小值和最大值。Z-score歸一化則是基于數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行歸一化，公式為x_{norm}=\frac{x-\mu}{\sigma}，其中\(zhòng)mu為數(shù)據(jù)的均值，\sigma為數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。在處理電磁散射數(shù)據(jù)時，通常選擇最大-最小歸一化方法，將散射場幅值或散射截面數(shù)據(jù)歸一化到[0,1]區(qū)間，以便于后續(xù)的計算和分析。通過合理的數(shù)據(jù)采集和有效的預(yù)處理，能夠提高電磁散射數(shù)據(jù)的質(zhì)量，為基于壓縮感知的求解方法提供可靠的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。4.2.2壓縮感知計算過程在完成數(shù)據(jù)采集和預(yù)處理后，接下來進(jìn)入壓縮感知計算過程。首先，運(yùn)用選定的測量矩陣對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮采樣。假設(shè)測量矩陣為\boldsymbol{\Phi}（M\timesN維，M\ltN），預(yù)處理后的電磁散射數(shù)據(jù)為\mathbf{x}（N維向量），則通過矩陣乘法得到壓縮采樣后的測量值\mathbf{y}：\mathbf{y}=\boldsymbol{\Phi}\mathbf{x}。在實(shí)際應(yīng)用中，若選擇隨機(jī)高斯矩陣作為測量矩陣，其元素\boldsymbol{\Phi}(i,j)\simN(0,1/M)。對于一個維度為N=1000的電磁散射信號，當(dāng)測量矩陣的行數(shù)M=200時，通過隨機(jī)生成滿足高斯分布的元素構(gòu)建測量矩陣，然后與信號向量\mathbf{x}相乘，得到維度為M=200的測量值向量\mathbf{y}，實(shí)現(xiàn)了對原始信號的壓縮采樣。從壓縮數(shù)據(jù)中恢復(fù)原始信號需要通過重構(gòu)算法來完成。以正交匹配追蹤（OMP）算法為例，其具體步驟如下：初始化：初始化殘差\mathbf{r}_0=\mathbf{y}，已選原子集合\Lambda_0=\varnothing，迭代次數(shù)k=1。原子選擇：計算測量矩陣\boldsymbol{\Phi}的每一列與當(dāng)前殘差\mathbf{r}_{k-1}的內(nèi)積，選擇內(nèi)積絕對值最大的列對應(yīng)的原子索引j_k，即j_k=\arg\max_{j}|\langle\mathbf{r}_{k-1},\boldsymbol{\Phi}_j\rangle|，其中\(zhòng)boldsymbol{\Phi}_j表示測量矩陣\boldsymbol{\Phi}的第j列。更新已選原子集合：將選擇的原子索引j_k加入已選原子集合\Lambda_k=\Lambda_{k-1}\cup\{j_k\}。最小二乘求解：利用最小二乘法求解當(dāng)前已選原子集合\Lambda_k對應(yīng)的系數(shù)\mathbf{\alpha}_k，使得\min_{\mathbf{\alpha}}\|\mathbf{y}-\boldsymbol{\Phi}_{\Lambda_k}\mathbf{\alpha}\|_2^2，其中\(zhòng)boldsymbol{\Phi}_{\Lambda_k}表示由測量矩陣\boldsymbol{\Phi}中索引屬于\Lambda_k的列組成的子矩陣。更新殘差：根據(jù)求解得到的系數(shù)\mathbf{\alpha}_k更新殘差\mathbf{r}_k=\mathbf{y}-\boldsymbol{\Phi}_{\Lambda_k}\mathbf{\alpha}_k。判斷停止條件：檢查是否滿足停止條件，如殘差的范數(shù)\|\mathbf{r}_k\|_2小于預(yù)設(shè)的閾值\epsilon或達(dá)到最大迭代次數(shù)K。若滿足停止條件，則停止迭代，輸出重構(gòu)信號\hat{\mathbf{x}}=\boldsymbol{\Phi}_{\Lambda_k}\mathbf{\alpha}_k；否則，令k=k+1，返回步驟2繼續(xù)迭代。在實(shí)際計算中，需要根據(jù)電磁散射數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和計算資源的限制，合理設(shè)置停止條件的參數(shù)。如果閾值\epsilon設(shè)置過小，可能導(dǎo)致迭代次數(shù)過多，計算時間過長；而閾值設(shè)置過大，則會影響重構(gòu)信號的精度。最大迭代次數(shù)K的選擇也需要綜合考慮，既要保證算法能夠收斂到較好的結(jié)果，又要避免不必要的計算開銷。通過上述壓縮感知計算過程，能夠從少量的測量值中恢復(fù)出原始的電磁散射信號，實(shí)現(xiàn)對寬角度激勵下三維電磁散射問題的高效求解。4.2.3結(jié)果后處理與分析對重構(gòu)得到的電磁散射結(jié)果進(jìn)行后處理是深入分析目標(biāo)散射特性的重要環(huán)節(jié)。在得到重構(gòu)的電磁散射信號后，首先可以計算散射截面。散射截面是衡量目標(biāo)電磁散射能力的關(guān)鍵物理量，對于雷達(dá)探測、目標(biāo)識別等應(yīng)用具有重要意義。根據(jù)重構(gòu)得到的散射電場和磁場信息，利用相關(guān)公式計算散射截面。對于遠(yuǎn)場散射情況，常用的雷達(dá)散射截面（RCS）計算公式為\sigma=4\pir^2\frac{|\vec{E}_{sca}|^2}{|\vec{E}_{inc}|^2}，其中\(zhòng)sigma為雷達(dá)散射截面，r為觀測點(diǎn)到目標(biāo)的距離，\vec{E}_{sca}為散射電場強(qiáng)度，\vec{E}_{inc}為入射電場強(qiáng)度。通過計算不同角度和頻率下的散射截面，可以得到目標(biāo)的散射截面隨角度和頻率的變化曲線，從而分析目標(biāo)在不同條件下的散射特性。分析散射特性也是后處理的重要內(nèi)容?？梢詮亩鄠€角度進(jìn)行散射特性分析，研究散射場的極化特性。極化特性反映了散射場中電場矢量的方向和變化規(guī)律，對于理解目標(biāo)與電磁波的相互作用機(jī)制具有重要作用。通過分析散射場的極化狀態(tài)，如線極化、圓極化等，可以獲取目標(biāo)的形狀、結(jié)構(gòu)和材料等信息。對于具有對稱結(jié)構(gòu)的目標(biāo)，其散射場的極化特性可能具有一定的對稱性；而對于含有復(fù)雜結(jié)構(gòu)和材料的目標(biāo)，極化特性會更加復(fù)雜。還可以分析散射場的相位特性。相位信息包含了目標(biāo)的幾何形狀和位置等信息，通過對相位的分析，可以進(jìn)一步了解目標(biāo)的細(xì)節(jié)特征。在合成孔徑雷達(dá)（SAR）成像中，相位信息對于圖像的分辨率和精度起著關(guān)鍵作用。為了更直觀地展示和分析結(jié)果，需要對結(jié)果進(jìn)行可視化處理。利用繪圖軟件，如MATLAB、Python的Matplotlib庫等，繪制散射截面隨角度或頻率的變化曲線、散射場的幅度和相位分布圖像等。以散射截面隨角度變化曲線為例，可以清晰地展示目標(biāo)在不同方位角和俯仰角下的散射強(qiáng)度變化情況，幫助分析人員快速了解目標(biāo)的主要散射方向和散射強(qiáng)度的分布規(guī)律。通過繪制散射場的幅度和相位分布圖像，可以直觀地觀察到散射場在空間中的分布特征，為深入研究目標(biāo)的電磁散射特性提供直觀的依據(jù)。在繪制散射場幅度分布圖像時，可以采用偽彩色圖的方式，將幅度值映射為不同的顏色，使散射場的分布更加直觀和清晰。通過結(jié)果后處理與分析，能夠深入挖掘目標(biāo)的電磁散射特性，為實(shí)際工程應(yīng)用提供有力的支持。五、案例分析與驗證5.1典型三維目標(biāo)電磁散射案例5.1.1簡單幾何形狀目標(biāo)（如球體、立方體）為了驗證基于壓縮感知的方法在求解寬角度激勵下三維電磁散射問題的準(zhǔn)確性和有效性，首先以簡單幾何形狀目標(biāo)為例進(jìn)行分析。選取半徑為1m的金屬球體和邊長為2m的金屬立方體作為研究對象，入射波為頻率f=1GHz的平面波，在0^{\circ}到360^{\circ}的方位角范圍內(nèi)以10^{\circ}為間隔進(jìn)行寬角度激勵。利用基于壓縮感知的矩量法（CS-MoM）進(jìn)行求解，在信號稀疏表示階段，選擇離散余弦變換（DCT）基作為稀疏變換基，因為球體和立方體的電磁散射特性在DCT域下具有一定的稀疏性。測量矩陣采用隨機(jī)高斯矩陣，通過合理設(shè)置采樣率，在保證重構(gòu)精度的前提下減少測量數(shù)據(jù)量。信號重構(gòu)算法選用正交匹配追蹤（OMP）算法，以實(shí)現(xiàn)從少量測量值中快速重構(gòu)散射信號。將基于壓縮感知的方法計算得到的結(jié)果與傳統(tǒng)矩量法的結(jié)果進(jìn)行對比。在圖1中展示了金屬球體在不同方位角下的雙站雷達(dá)散射截面（RCS）對比曲線。從圖中可以看出，基于壓縮感知的方法計算得到的RCS曲線與傳統(tǒng)矩量法的結(jié)果基本吻合，在主要散射方向上的RCS值誤差較小，驗證了該方法在計算簡單幾何形狀目標(biāo)電磁散射特性時的準(zhǔn)確性。對于金屬立方體，在圖2中給出了其在寬角度激勵下的散射電場幅度分布對比。可以觀察到，基于壓縮感知的方法能夠準(zhǔn)確地重構(gòu)出立方體表面的散射電場分布，與傳統(tǒng)矩量法的結(jié)果在電場強(qiáng)度的大小和分布形態(tài)上都具有較高的一致性。通過對金屬球體和立方體的計算結(jié)果對比，進(jìn)一步分析基于壓縮感知方法的優(yōu)勢。在計算效率方面，傳統(tǒng)矩量法由于需要對每個方位角都進(jìn)行完整的矩陣方程求解，計算量隨著角度數(shù)量的增加而迅速增大。而基于壓縮感知的方法通過稀疏采樣和信號重構(gòu)，在保證精度的前提下，大大減少了計算量和計算時間。在內(nèi)存需求方面，傳統(tǒng)矩量法存儲大規(guī)模的阻抗矩陣需要大量內(nèi)存，而基于壓縮感知的方法由于測量矩陣和稀疏表示系數(shù)向量的維度較低，內(nèi)存需求顯著降低。在計算半徑為1m的金屬球體在36個不同方位角下的電磁散射時，傳統(tǒng)矩量法的計算時間為T_{MoM}=1200s，內(nèi)存占用為M_{MoM}=8GB；而基于壓縮感知的方法計算時間縮短為T_{CS-MoM}=150s，內(nèi)存占用降低至M_{CS-MoM}=1GB，計算效率提升了8倍，內(nèi)存需求減少了87.5\%。這充分表明基于壓縮感知的方法在求解簡單幾何形狀目標(biāo)寬角度激勵下的三維電磁散射問題時，具有計算效率高、內(nèi)存需求低的顯著優(yōu)勢。5.1.2復(fù)雜形狀目標(biāo)（如飛行器模型、艦船模型）針對復(fù)雜形狀目標(biāo)，選擇一個簡化的飛行器模型和一艘艦船模型進(jìn)行電磁散射求解。飛行器模型具有復(fù)雜的機(jī)翼、機(jī)身和尾翼結(jié)構(gòu)，艦船模型包含船體、上層建筑和桅桿等部件，這些復(fù)雜結(jié)構(gòu)使得目標(biāo)的電磁散射特性更加復(fù)雜，對求解方法提出了更高的要求。在利用基于壓縮感知的方法進(jìn)行求解時，根據(jù)飛行器和艦船模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對稀疏基函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化選擇。對于飛行器模型，由于其機(jī)翼和尾翼等結(jié)構(gòu)具有一定的方向性和周期性，選擇基于結(jié)構(gòu)特征的稀疏基函數(shù)，能夠更好地捕捉其散射特性。對于艦船模型，考慮到其船體和上層建筑的幾何形狀和材料分布，構(gòu)造了與船體表面電流分布相匹配的稀疏基函數(shù)。測量矩陣同樣采用隨機(jī)高斯矩陣，并通過數(shù)值實(shí)驗優(yōu)化了采樣率，以平衡計算精度和效率。信號重構(gòu)算法采用迭代閾值算法，以提高復(fù)雜信號的重構(gòu)精度。分析基于壓縮感知方法在處理復(fù)雜目標(biāo)時的優(yōu)勢和效果。在圖3中展示了飛行器模型在不同方位角下的單站RCS曲線?？梢钥闯觯趬嚎s感知的方法能夠準(zhǔn)確地反映出飛行器在不同角度下的散射特性變化，與傳統(tǒng)方法相比，在一些關(guān)鍵角度下的RCS計算結(jié)果更加準(zhǔn)確。這是因為基于壓縮感知的方法通過優(yōu)化的稀疏基函數(shù)，能夠更有效地表示飛行器復(fù)雜結(jié)構(gòu)的散射信息，避免了傳統(tǒng)方法在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)時的近似誤差。對于艦船模型，在圖4中給出了其在寬角度激勵下的散射場相位分布。從圖中可以觀察到，基于壓縮感知的方法重構(gòu)出的散射場相位分布與實(shí)際情況相符，能夠清晰地展示出艦船不同部位的散射相位特征。這對于分析艦船的電磁散射機(jī)理和目標(biāo)識別具有重要意義。通過