專題6.4正弦定理、余弦定理的應(yīng)用新課程考試要求掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（多例）等.考向預(yù)測（1）測量距離問題；（2測量高度問題；（3）測量角度問題.（4）主要是利用定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的問題，關(guān)鍵是弄懂有關(guān)術(shù)語，認(rèn)真理解題意.三角形中的應(yīng)用問題，主要是結(jié)合直角三角形、正方形等，考查邊角及面積的計(jì)算，與平面向量、解析幾何、立體幾何等結(jié)合考查，也有與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查的情況.【知識清單】知識點(diǎn)1．正弦定理正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB知識點(diǎn)2．余弦定理余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知識點(diǎn)3．實(shí)際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．(2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2)．(3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖3)①北偏東α°即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．②北偏西α°即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似．(4)坡度：①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角)．②坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)．【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)1與平面向量、解析幾何、立體幾何結(jié)合【典例1】（2021·四川成都市·高三三模（文））已知A，是圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)AB中點(diǎn)為M，則，根據(jù)勾股定理，求得，可得M的軌跡方程，化簡可得，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為d-r，即可求得答案.【詳解】設(shè)AB中點(diǎn)為M，則，且，所以M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，所以，又M的軌跡方程為：，所以P到M軌跡的圓心的距離，所以的最小值為d-r=3-1=2，所以的最小值為.故選：C【典例2】（2021·山東省青島第一中學(xué)高一期中）如圖所示，為測量山高選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及從點(diǎn)測得，若山高米，則山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】在中，可求得AC，根據(jù)正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A【典例3】（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】或0【解析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.【變式探究】1.（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在處（點(diǎn)在水平地面的下方，為與水平地面的交點(diǎn)）進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)，兩地相距100米，，其中到的距離比到的距離遠(yuǎn)40米．地測得該儀器在處的俯角為，地測得最高點(diǎn)的仰角為，則該儀器的垂直彈射高度為（）A．210米 B．米 C．米 D．420米【答案】C【解析】在中利用余弦定理求出，進(jìn)而在中可求出，再在中求出，即可得解．【詳解】設(shè)，所以，在中，，，所以，，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案為：C．2.（2021·浙江高二期末）已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對邊，且，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，若，則的面積最大值為_______．【答案】【解析】利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，即，所以?，解得.，所以，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即的最大值為，所以，.故答案為：.3.（高考真題）如圖，在某海濱城市O附近的海面上正形成臺風(fēng).據(jù)氣象部門檢測，目前臺風(fēng)中心位于城市O的南偏東15°方向200km的海面P處，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移動.如果臺風(fēng)侵襲的范圍為圓心區(qū)域，目前圓形區(qū)域的半徑為100km，并以20【答案】4.1小時(shí)．【解析】根據(jù)題意可設(shè)t小時(shí)后臺風(fēng)中心到達(dá)A點(diǎn)，該城市開始受到臺風(fēng)侵襲，如圖ΔPAO中，PO=200PA=10t，AO=100+20由余弦定理得，100+20t2=100化簡得t2解得t=10答：大約4.1小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.考點(diǎn)2測量距離問題【典例4】（2021·永豐縣永豐中學(xué)高一期末）為了測量河對岸兩點(diǎn)C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)A，B處分別測得，，則間的距離為________.【答案】2【解析】在和中應(yīng)用正弦定理求得，然后在中應(yīng)用余弦定理可求得結(jié)果【詳解】解：在中，由正弦定理得，即，得，在中，由，所以為等邊三角形，,在中，，由余弦定理得，所以，故答案為：2【總結(jié)提升】測量距離問題，歸納起來常見的命題角度有：（1）兩點(diǎn)都不可到達(dá)；（2）兩點(diǎn)不相通的距離；（3）兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá).【變式探究】（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（文））“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學(xué)的一草一木都見證了同學(xué)們的成長．某同學(xué)為了測量瀾飛湖兩側(cè)C，D兩點(diǎn)間的距離，除了觀測點(diǎn)C，D外，他又選了兩個(gè)觀測點(diǎn)，且，已經(jīng)測得兩個(gè)角，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的有（）組

①和；②和；③和A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由已知條件結(jié)合正余弦定理，可判斷所選的條件是否可以求出.【詳解】由，，∴可求出、，①和：△中，即可求；②和：可求、，則在△中求；③和：可求，則在△中，即可求；∴①②③都可以求.故選：D考點(diǎn)3測量高度問題【典例5】（2021·北京高三其他模擬）魏晉南北朝(公元)時(shí)期，中國數(shù)學(xué)在測量學(xué)取得了長足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，通過多次觀測，測量山高水深等數(shù)值，進(jìn)而使中國的測量學(xué)達(dá)到登峰造極的地步，超越西方約一千年，關(guān)于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第一題為測量海島的高度和距離(圖1)，故題為《海島算經(jīng)》受此題啟發(fā)，小清同學(xué)依照此法測量奧林匹克公園奧林匹克塔的高度和距離(示意圖如圖2所示)，錄得以下是數(shù)據(jù)(單位：米)：前表卻行，表高，后表卻行，表間.則塔高_(dá)_________米，前表去塔遠(yuǎn)近__________米.【答案】246122【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得，，所以，又，，所以，解得，所以故答案為：；；【總結(jié)提升】求解高度問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．【變式探究】（全國高考真題）如圖，為測量出高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得．已知山高，則山高_(dá)_________．【答案】150【解析】在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為150．考點(diǎn)4測量角度問題【典例6】（2021·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（理））一張臺球桌形狀是邊長為的正六邊形，已知一個(gè)小球從邊的中點(diǎn)擊出后，擊中邊上某點(diǎn)，之后依次碰擊，，，各邊，最后擊中邊上的點(diǎn)，且，設(shè)，則___________.【答案】【解析】根據(jù)入射角等于反射角的原理可作出圖形，過作直線的垂線，垂足為，由圖形計(jì)算得到，知，由此得到結(jié)果.【詳解】如圖所示，由入射角等于反射角原理知：分別順次以正六邊形的，，，，邊為對稱軸作次對稱變換后可知，小球的運(yùn)行軌跡即為線段，過作直線的垂線，垂足為，正六邊形邊長為，，，.故答案為：.【總結(jié)提升】1.解決角度問題的注意事項(xiàng)(1)測量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．2．測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．提醒：方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．【變式探究】某沿海四個(gè)城市、、、的位置如圖所示，其中，，，，，位于的北偏東方向.現(xiàn)在有一艘輪船從出發(fā)以的速度向直線航行，后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市直線航行，收到指令時(shí)城市對于輪船的方位角是南偏西度，則__________．【答案】【解析】設(shè)船行駛至，則，連接，過作于，則，,,，所以，所以，又，，可得，所以，故.考點(diǎn)5應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題【典例7】（2021·浙江高三期末）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑．一種從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為，山路長為，經(jīng)測量，，，為鈍角．（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）索道的長為；（2）乙出發(fā)后，乙在纜車上與甲的距離最短；（3）.【解析】（1）利用正弦定理可求得索道的長；（2）求出的值，設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙之間的距離為，根據(jù)題意可得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果；（3）設(shè)乙步行的速度為，根據(jù)已知條件可得，可解得的取值范圍，即為所求.【詳解】（1）在中，，，，由正弦定理可得，故索道的長為；（2）因?yàn)闉殁g角，則為銳角，所以，，，所以，，設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙之間的距離為，由題意可得，則，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，因此，當(dāng)乙出發(fā)后，乙在纜車上與甲的距離最近；（3）為銳角，，由正弦定理可得，乙從出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了，還需走才能到達(dá)，設(shè)乙步行的速度為，則，解得，所以，為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi).【規(guī)律方法】利用解三角形知識解決實(shí)際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解．【變式探究】（2021·浙江高一期末）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到基站的身影．如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山頂上的一座基站，已知基站高，該同學(xué)眼高（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰角為，測得基站頂端A的仰角為．（1）求出山高；（2）如圖，當(dāng)