10.2事件的相互獨(dú)立性課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)章節(jié)：10.2事件的相互獨(dú)立性教材分析本節(jié)課通過兩個(gè)具體隨機(jī)試驗(yàn)引入事件的相互獨(dú)立性，從直觀判斷到概率計(jì)算，發(fā)現(xiàn)事件A與B發(fā)生的概率關(guān)系滿足P(學(xué)情分析針對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已學(xué)習(xí)了古典概型、事件的關(guān)系與運(yùn)算、概率的基本性質(zhì)，掌握了利用樣本空間計(jì)算簡單事件概率的方法，并初步理解互斥事件、對(duì)立事件的概念及其概率運(yùn)算，具備一定的邏輯推理能力，高中階段學(xué)生的抽象思維能力逐步發(fā)展，能夠通過具體實(shí)例歸納一般規(guī)律，但對(duì)概率中抽象概念的理解仍需借助直觀情境支撐，本節(jié)課要求學(xué)生通過具體試驗(yàn)探究事件間是否相互影響，從概率乘積與積事件概率的關(guān)系中理解相互獨(dú)立性的定義，幫助學(xué)生建立“獨(dú)立性”的數(shù)學(xué)表征，提升由特殊到一般的歸納能力，并能運(yùn)用獨(dú)立性定義判斷事件關(guān)系及其對(duì)立事件的獨(dú)立性，深化對(duì)概率模型的理解。教學(xué)目標(biāo)理解事件獨(dú)立性的定義P(能夠通過具體試驗(yàn)案例（如拋硬幣、摸球試驗(yàn)）驗(yàn)證事件獨(dú)立性，達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求。掌握獨(dú)立事件的性質(zhì)，能夠證明對(duì)立事件的獨(dú)立性，達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)水平三的要求。能夠區(qū)分獨(dú)立事件與互斥事件的概念差異，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平二的要求。運(yùn)用獨(dú)立性概念解決實(shí)際問題，如計(jì)算復(fù)雜事件的概率，達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平二的要求。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：事件相互獨(dú)立的定義，即P(AB課堂導(dǎo)入同學(xué)們，我們先來看這樣一個(gè)情境。有甲、乙兩個(gè)射手，甲射手射中目標(biāo)的概率是0.8，乙射手射中目標(biāo)的概率是0.7?，F(xiàn)在兩人同時(shí)射擊同一個(gè)目標(biāo)，那甲射中與否，會(huì)影響乙射中目標(biāo)的概率嗎？我們來思考一下，如果把甲射中目標(biāo)記為事件A，乙射中目標(biāo)記為事件B。根據(jù)古典概型相關(guān)知識(shí)，嘗試計(jì)算下P(A)、P(B)事件的相互獨(dú)立性探究新知（一）知識(shí)精講

在概率論中，兩個(gè)事件之間的關(guān)系不僅包括包含、互斥等，還有一種重要的關(guān)系——相互獨(dú)立。通過前面的探究可以發(fā)現(xiàn)，在某些隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)事件的發(fā)生并不會(huì)影響另一個(gè)事件發(fā)生的可能性。例如，分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí)，“第一枚硬幣正面朝上”這一事件是否發(fā)生，并不影響“第二枚硬幣反面朝上”發(fā)生的概率；同樣地，在有放回地從袋中摸球的試驗(yàn)中，第一次摸球的結(jié)果也不會(huì)影響第二次摸球的結(jié)果。進(jìn)一步計(jì)算可得，在這兩個(gè)試驗(yàn)中，事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)恰好等于各自發(fā)生概率的乘積，即

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P值得注意的是，由該定義出發(fā)，可以驗(yàn)證必然事件Ω與不可能事件?都與任意事件相互獨(dú)立。這是因?yàn)闊o論其他事件如何發(fā)生，必然事件總是發(fā)生，不可能事件總不發(fā)生，它們的發(fā)生不受外界影響，也不影響其他事件。接下來考慮對(duì)立事件與獨(dú)立性的關(guān)系。已知事件A與B相互獨(dú)立，那么它們的對(duì)立事件之間是否也保持獨(dú)立？以有放回摸球試驗(yàn)為例進(jìn)行分析：對(duì)于事件A與B，由于A=AB∪AB，且AB與AB互斥，因此

P(A)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(類似地，也可以證明A與B、A與B也都相互獨(dú)立。這說明：當(dāng)兩個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí)，它們各自的對(duì)立事件之間也同樣保持相互獨(dú)立的關(guān)系。（二）師生互動(dòng)

教師提問1：剛才我們通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí)，積事件的概率等于各自概率的乘積。那么反過來，如果我們只知道P(AB)=P(A)P(B)教師提問2：在前面的例子中，為什么有放回摸球能保證兩次摸球結(jié)果相互獨(dú)立，而如果是無放回呢？

學(xué)生思考并回答：因?yàn)橛蟹呕貢r(shí)，第一次摸完后球被放回，總體情況不變，所以第二次摸球的概率不受第一次影響；但如果是無放回，第一次摸走一個(gè)球后，剩下的球數(shù)量和組成發(fā)生了變化，會(huì)影響第二次的概率，所以就不獨(dú)立了。教師追問：很好！那如果事件A與B獨(dú)立，我們已經(jīng)證明了A與B也獨(dú)立。你能類比這個(gè)思路，嘗試寫出A與B的獨(dú)立性證明過程嗎？

學(xué)生嘗試推導(dǎo)：因?yàn)锽=AB∪AB，且AB與AB互斥，所以

P(B)=P(AB)（三）設(shè)計(jì)意圖

通過具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生觀察事件間是否相互影響，并結(jié)合概率計(jì)算發(fā)現(xiàn)P(AB)=P新知應(yīng)用例1題目：一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異。采用不放回方式從中任意摸球兩次，設(shè)事件A="第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3"，事件B="第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3"，那么事件A與事件B是否相互獨(dú)立？解答：我們根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義來判斷：若兩個(gè)事件A與B滿足P(首先分析樣本空間和相關(guān)事件：總共有4個(gè)球，編號(hào)為1、2、3、4。不放回地摸兩次球，所有可能的結(jié)果是有序?qū)?m,n)，其中所以樣本空間Ω={(接下來寫出事件A、B和積事件AB事件A：第一次摸到的球標(biāo)號(hào)小于3，即第一次是1或2。對(duì)應(yīng)結(jié)果：(共6個(gè)結(jié)果?P事件B：第二次摸到的球標(biāo)號(hào)小于3，即第二次是1或2。對(duì)應(yīng)結(jié)果：(即：當(dāng)?shù)诙€(gè)數(shù)是1或2時(shí)?(共6個(gè)結(jié)果?P積事件AB：第一次和第二次都摸到標(biāo)號(hào)小于3的球（即第一次是1或2，且第二次也是1或2可能情況：第一次是1，第二次是2→(第一次是2，第二次是1→(所以AB={(1,2現(xiàn)在驗(yàn)證是否滿足獨(dú)立條件：P(A)P(B)=因此，事件A與事件B不相互獨(dú)立?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①事件相互獨(dú)立性的定義：P(AB)=P(A)P(B)

②利用古典概型計(jì)算概率2.題目求解要點(diǎn)①明確樣本空間并列出所有基本事件（注意順序和不重復(fù)）

②正確寫出事件A、B及積事件AB所包含的樣本點(diǎn)

③分別計(jì)算P(A)、P(B)、P(AB)

④比較P(例2題目：甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8、乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：

(1)兩人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)兩人都脫靶；

(4)至少有一人中靶。解答：設(shè)事件A=“甲中靶”，B=“乙中靶”

則對(duì)立事件：A=“甲脫靶”，B由題意知：兩人射擊互不影響?事件A與B相互獨(dú)立

?A與B、A與B、A與B也都相互獨(dú)立（教材已證）已知：PPPP(1)兩人都中靶對(duì)應(yīng)事件為ABP(2)恰好有一人中靶即：甲中乙不中或甲不中乙中?對(duì)應(yīng)事件為A這兩個(gè)事件互斥，可用加法公式：P由獨(dú)立性：P(A所以：

P(3)兩人都脫靶對(duì)應(yīng)事件為AP(4)至少有一人中靶方法一：分類討論至少一人中靶=兩人都中或恰好一人中?A三者兩兩互斥，所以：P方法二：利用對(duì)立事件“至少一人中靶”的對(duì)立事件是“兩人都脫靶”?A所以：

P兩種方法結(jié)果一致。總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①相互獨(dú)立事件的概率乘法公式：P(AB)=P(A)P(B)

②對(duì)立事件的概率關(guān)系：P(A)=2.題目求解要點(diǎn)①準(zhǔn)確設(shè)定事件符號(hào)（如A,B,A,B）

②明確“相互獨(dú)立”的前提（本題中因兩人互不影響）

③將復(fù)雜事件拆解為基本事件的并或交

④注意互斥性，合理使用加法公式

例3題目：甲、乙兩人組成"星隊(duì)"參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)中甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為34，乙每輪猜對(duì)的概率為23，在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否相互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，求"星隊(duì)"在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)解答：目標(biāo)：兩輪共猜對(duì)3個(gè)成語。每輪每人猜一次?每輪最多猜對(duì)2個(gè)成語，兩輪最多4個(gè)。要猜對(duì)3個(gè)?可能情況有兩種：甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)1個(gè)設(shè)：A1：甲在兩輪中猜對(duì)1A2：甲在兩輪中猜對(duì)2B1：乙在兩輪中猜對(duì)1B2：乙在兩輪中猜對(duì)2由于每輪獨(dú)立，且甲乙之間也獨(dú)立?各次試驗(yàn)相互獨(dú)立先計(jì)算甲的概率：P(A1有兩種情況：第一輪對(duì)第二輪錯(cuò)，或第一輪錯(cuò)第二輪對(duì)PP(P再計(jì)算乙的概率：P(B12P(B2(設(shè)事件A=“星隊(duì)兩輪猜對(duì)3個(gè)成語則：

A=(A1B2又因?yàn)榧滓要?dú)立?A1與B2獨(dú)立，A2所以：

P代入數(shù)值：

P因此，所求概率為512總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算

②多次獨(dú)立試驗(yàn)中某事件發(fā)生次數(shù)的概率（類似二項(xiàng)分布思想，雖未學(xué)仍可算）

③復(fù)合事件的分解與概率加法、乘法綜合運(yùn)用2.題目求解要點(diǎn)①明確“兩輪共猜對(duì)3個(gè)”的所有可能組合（枚舉法）

②分別計(jì)算每個(gè)人在兩輪中猜對(duì)指定次數(shù)的概率（考慮順序）

③利用獨(dú)立性將聯(lián)合概率轉(zhuǎn)化為乘積

④注意事件互斥性，使用加法公式合并概率

⑤計(jì)算過程保持分?jǐn)?shù)形式，避免小數(shù)誤差新知鞏固題目：第1題：先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A：兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是5，事件B：第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件C：第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是5，事件D：至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)。下列說法不正確的是（??）

A．A與C互斥

B．P(D)=34

C．B與D對(duì)立

D解答：我們逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng)。第一步：明確樣本空間先后擲一枚骰子兩次，樣本空間Ω包含6×6=36個(gè)等可能的基本事件，形如選項(xiàng)A：A與C互斥事件A：點(diǎn)數(shù)之和為5，即(1,4事件C：第一次點(diǎn)數(shù)是5，即(5,1檢查是否有公共樣本點(diǎn)：

在A中，第一次點(diǎn)數(shù)只能是1、2、3、4，不可能是5。

所以A∩?A正確。選項(xiàng)B：P事件D：至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)?？紤]其對(duì)立事件D：沒有奇數(shù)點(diǎn)，即兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)。偶數(shù)點(diǎn)有：2、4、6，共3個(gè)。D：兩次都為偶數(shù)，共有3×所以P則P?B正確。選項(xiàng)C：B與D對(duì)立事件B：第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)。事件D：至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)。對(duì)立事件要求：

①B∩D=?（不能同時(shí)發(fā)生）

我們舉反例說明它們不是對(duì)立事件。取樣本點(diǎn)(2,第二次是偶數(shù)→屬于B兩個(gè)都是偶數(shù)→沒有奇數(shù)→不屬于D所以(2,2)∈B，但再看D：兩個(gè)都是偶數(shù)→第二次是偶數(shù)→屬于B所以D?B，但B比D大（比如(1,又因?yàn)镈的對(duì)立是“全偶”，而B是“第二次為偶”，顯然不相等。更關(guān)鍵的是：B和D可以同時(shí)發(fā)生，例如(1,第二次是偶數(shù)→B發(fā)生第一次是奇數(shù)→至少一個(gè)奇數(shù)→D發(fā)生所以B∩?C錯(cuò)誤（即“不正確”的選項(xiàng)）選項(xiàng)D：A與B相互獨(dú)立判斷是否獨(dú)立：驗(yàn)證PP(A)：點(diǎn)數(shù)和為5的情況有(1P(B)：第二次為偶數(shù)→第二次可取2、4、6，共3種選擇，第一次任意（6種）→共6計(jì)算P(AB從A的樣本點(diǎn)中篩選：(1,4)：第二次是(2,3)：第二次是(3,2)：第二次是(4,1)：第二次是所以AB={(1比較：P所以P?A與B相互獨(dú)立→D正確綜上，只有C不正確。答案：C總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容互斥事件、對(duì)立事件的概念辨析古典概型的概率計(jì)算事件獨(dú)立性的定義與判斷（P(對(duì)立事件的充要條件（互斥且并集為全集）2.題目求解要點(diǎn)明確每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)集合利用對(duì)立事件簡化概率計(jì)算（如選項(xiàng)B）對(duì)立事件必須滿足兩個(gè)條件：互斥且覆蓋整個(gè)樣本空間獨(dú)立性判斷必須通過公式P(3.同類型題目解題步驟寫出樣本空間，確定總樣本點(diǎn)數(shù)（通常為n=36或分別列出各事件包含的樣本點(diǎn)計(jì)算相關(guān)概率：P(驗(yàn)證互斥性：看A∩驗(yàn)證對(duì)立性：看A∩B驗(yàn)證獨(dú)立性：計(jì)算P(AB綜合判斷選項(xiàng)正誤題目：第2題：下列說法錯(cuò)誤的是（??）

A．一組數(shù)據(jù)5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位數(shù)為17

B．若事件M，N相互獨(dú)立，P(M)=12，P(N)=13，則P(M∪N)=56

C．某地市在一次測試中，高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布解答：逐項(xiàng)分析。選項(xiàng)A：第80百分位數(shù)為17數(shù)據(jù)：5、7、9、11、12、14、15、16、18、20（先排序）共10個(gè)數(shù)據(jù)，n第p百分位數(shù)位置：L即位于第8個(gè)和第9個(gè)數(shù)據(jù)之間。第8個(gè)數(shù)據(jù)是16，第9個(gè)是18插值法：16但高中常用方法是：

若L非整數(shù)，向上取整→第9位→18另一種定義：L=(n+1)p=8.8→第8.8位但選項(xiàng)說是“17”，明顯不對(duì)。但注意：有些教材使用公式L=這里n=10，p=0.8→L=8，若L為整數(shù)，則取第L和第L+1?若采用此方法，則第80百分位數(shù)為17→A正確（注：新課標(biāo)推薦此法，故認(rèn)為A正確）選項(xiàng)B：M,N獨(dú)立，P利用公式：

P由于獨(dú)立，P所以：

P但選項(xiàng)說等于56?B錯(cuò)誤選項(xiàng)C：正態(tài)分布問題ξ～N已知P由對(duì)稱性：P(80<ξ<110)=0.3（因?yàn)?0到80所以P即P若分層抽樣取100份試卷，按比例抽取，則110分以上應(yīng)抽取100×?C正確選項(xiàng)D：二項(xiàng)分布期望X～BE已知E(3X+?D正確綜上，只有B錯(cuò)誤。答案：B總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容百分位數(shù)的計(jì)算方法相互獨(dú)立事件的并事件概率公式正態(tài)分布的對(duì)稱性及概率計(jì)算二項(xiàng)分布的期望性質(zhì)與線性變換2.題目求解要點(diǎn)百分位數(shù)注意不同教材定義差異，掌握兩種主流方法獨(dú)立事件的并概率必須減去乘積項(xiàng)，不能直接相加正態(tài)分布中利用對(duì)稱性求尾部概率期望的線性性質(zhì)：E3.同類型題目解題步驟百分位數(shù)：確定數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n，計(jì)算位置L=np獨(dú)立事件并概率：用P正態(tài)分布：找對(duì)稱中心，利用P(μ二項(xiàng)分布期望：E(題目：第3題：羽毛球比賽中每球得分制，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各回合獨(dú)立。甲先發(fā)球，比賽進(jìn)行3個(gè)回合后，甲與乙比分為2:選項(xiàng)：

A．0.144?B．0.336?C．0.304?D．0.216解答：目標(biāo)：3回合后甲得2分，乙得1分→即甲贏2局，乙贏1局但勝負(fù)影響發(fā)球權(quán)變化！初始：甲發(fā)球每回合勝者得分，并在下一回合發(fā)球。我們要枚舉所有使得甲贏2次、乙贏1次的路徑，并計(jì)算每條路徑的概率，最后相加。記：甲贏記為“甲勝”，乙贏記為“乙勝”所有可能的勝負(fù)序列（共3回合，甲勝2次，乙勝1次）：共有(3乙勝在第1回合：乙,甲,甲乙勝在第2回合：甲,乙,甲乙勝在第3回合：甲,甲,乙分別計(jì)算每種路徑的概率，注意每回合的發(fā)球方?jīng)Q定獲勝概率：發(fā)球方獲勝概率為0.6，接球方獲勝概率為0.4路徑1：乙,甲,甲第1回合：甲發(fā)球→乙勝（接球方勝）→概率：0.4第2回合：乙發(fā)球→甲勝（接球方勝）→概率：0.4第3回合：甲發(fā)球→甲勝（發(fā)球方勝）→概率：0.6總概率：0.4路徑2：甲,乙,甲第1回合：甲發(fā)球→甲勝（發(fā)球方勝）→概率：0.6第2回合：甲發(fā)球→乙勝（接球方勝）→概率：0.4第3回合：乙發(fā)球→甲勝（接球方勝）→概率：0.4總概率：0.6路徑3：甲,甲,乙第1回合：甲發(fā)球→甲勝→概率：0.6第2回合：甲發(fā)球→甲勝→概率：0.6第3回合：甲發(fā)球→乙勝→概率：0.4總概率：0.6總概率=三路徑之和：

0.096答案：B總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算條件依賴下的多階段概率模型（發(fā)球權(quán)轉(zhuǎn)移）枚舉法處理有限狀態(tài)路徑問題乘法原理與分類加法原理結(jié)合2.題目求解要點(diǎn)明確初始發(fā)球方每回合勝負(fù)決定得分和下回合發(fā)球權(quán)枚舉所有滿足比分的結(jié)果序列根據(jù)每回合發(fā)球方確定勝負(fù)概率每條路徑概率用乘法，總概率用加法3.同類型題目解題步驟確定初始條件（誰先發(fā)球、目標(biāo)比分）枚舉所有滿足勝負(fù)次數(shù)的比賽進(jìn)程序列對(duì)每條序列：按順序確定每回合發(fā)球方寫出每回合勝負(fù)對(duì)應(yīng)的概率（發(fā)球方勝0.6，負(fù)0.4）相乘得到該路徑概率將所有符合條件的路徑概率相加得到最終結(jié)果板書設(shè)計(jì)事件的相互獨(dú)立性

├─定義：事件A與B獨(dú)立?P(AB)=P(A)P(B)

├─判斷依據(jù)

│├─P(AB)=P(A)P(B)成立→獨(dú)立

│└─實(shí)際意義：A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率

├─典型例子

│├─試驗(yàn)1：拋兩枚均勻硬幣

││├─A:第一枚正面朝上，B:第二枚反面朝上

││├─P(A)=12,

P(B)=12,

P(AB)=14

││└─P(AB)=P(A)P(B)→獨(dú)立

│└─試驗(yàn)2：有放回摸球

教學(xué)反思本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)從兩個(gè)探究引入，通過分析拋擲硬幣和有放回摸球試驗(yàn)中事件A、B的關(guān)系，得出事件相互