專題3.6圖形的平移與旋轉(zhuǎn)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平移中的新定義問題】 1【題型2與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究】 3【題型3確定旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度】 4【題型4補(bǔ)全圖形使之成為中心對(duì)稱圖形】 5【題型5利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積】 6【題型6確定圖案的形成過程】 7【題型7中心對(duì)稱圖形的規(guī)律探究】 8【題型8簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)】 10【題型1平移中的新定義問題】【例1】（2024八年級(jí)下·福建廈門·期中）對(duì)于給定的兩點(diǎn)M，N，若存在點(diǎn)P，使得三角形PMN的面積等于1，則稱點(diǎn)P為線段MN的“單位面積點(diǎn)”，已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)P1，0，A0，2，B1，3．若將線段OP沿y軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使得線段AB上存在線段OP的“單位面積點(diǎn)”，則t的值可以是（

）A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5【變式1-1】（2024八年級(jí)下·廣東中山·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：△ABC三條邊上所有的點(diǎn)到x軸的距離最大值叫作△ABC的遙值，記作：ω（△ABC）．例如：如圖，△ABC三條邊上所有的點(diǎn)到x軸的最大距離是4，則ω（△ABC）＝4．（1）把△ABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A′B′C′，請(qǐng)畫出△A′B′C′，并求出ω（△A'B′C′）；（2）已知點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為D（1，﹣1），E（1，3），S△DEP＝2，ω（△DEP）＝4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將△ABC向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，當(dāng)2≤ω（△A1B1C1）≤3時(shí)，直接寫出m的取值范圍．【變式1-2】（2024八年級(jí)下·河南周口·期中）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形G和圖形G上的任意點(diǎn)Px,y，給出如下定義：將點(diǎn)Px,y平移到P'x+t,y?t稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“t型平移”，點(diǎn)P＇稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“t型平移”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；將圖形G上的所有點(diǎn)進(jìn)行“t型平移”稱為將圖形G例如，將點(diǎn)Px,y平移到P'x+1,y?1稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“1型平移”，將點(diǎn)Px,y平移到P'x?1,y+1稱為將點(diǎn)已知點(diǎn)A1,1和點(diǎn)B(1)將點(diǎn)A1,1進(jìn)行“1型平移”后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(2)①將線段AB進(jìn)行“?1型平移”后得到線型A′B′，P12,3，P21.5,2②若線段AB進(jìn)行“t型平移”后與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．③已知點(diǎn)C6,0，D8,?2，M是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)B進(jìn)行“t型平移”后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，且B【變式1-3】（2024八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x,y)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為ax+y,x+ay，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a階華益點(diǎn)”（其中a為常數(shù)，且a≠0）．例如：點(diǎn)P(1,4)的“2階華益點(diǎn)”為點(diǎn)Q(2×1+4,1+2×4)，即點(diǎn)2的坐標(biāo)為(6,9)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?1,5)，求它的“3階華益點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)Pc+1,2c?1先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到了點(diǎn)P1，點(diǎn)P1的“?3階華益點(diǎn)”P(3)已知A(2,0)、B(0,2)，在第一象限內(nèi)是否存在橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)P(x,y)，它的“m階華益點(diǎn)（m為正整數(shù)）”Q使得四邊形AOBQ的面積為6？如果存在，請(qǐng)求出m的值和P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【題型2與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究】【例2】（2024八年級(jí)下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）風(fēng)力發(fā)電是一種常見的綠色環(huán)保發(fā)電形式，它能夠使大自然的資源得到更好地利用．如圖1，風(fēng)力發(fā)電機(jī)有三個(gè)底端重合、兩兩成120°角的葉片，以三個(gè)葉片的重合點(diǎn)為原點(diǎn)水平方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2所示），已知開始時(shí)其中一個(gè)葉片的外端點(diǎn)的坐標(biāo)為A5,5，在一段時(shí)間內(nèi)，葉片每秒繞原點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，則第2024秒時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為（A．5,5 B．5,?5 C．?5,?5 D．?5,5【變式2-1】（2024八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖是一個(gè)裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來的圖形是（）A． B． C． D．【變式2-2】（2024八年級(jí)·浙江臺(tái)州·期中）圖1是正方體的平面展開圖，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6，將點(diǎn)數(shù)朝外折疊成一枚正方體骰子，并放置于水平桌面上，如圖2所示，若骰子初始位置為圖2所示的狀態(tài)，將骰子向右翻滾90°，則完成1次翻轉(zhuǎn)，此時(shí)骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是2，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成2次翻折后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是3；則連續(xù)完成2020次翻折后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2-3】（2024·遼寧阜新·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=3x+3與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，將等邊△ABC沿射線AB方向作連續(xù)無滑動(dòng)地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使點(diǎn)C落在直線l上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使點(diǎn)A落在直線l上……當(dāng)?shù)冗吶切畏瓭L2023次后點(diǎn)A

A．2023,20233 B．2022,20243 C．2021,20223【題型3確定旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度】【例3】（2024八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）五星紅旗上的一個(gè)五角星圖案如圖所示，將圖案繞五角星的中心至少旋轉(zhuǎn)α度能與自身重合，則α為（

）

A．108 B．90 C．72 D．60【變式3-1】（2024·河北張家口·一模）將一個(gè)正n邊形旋轉(zhuǎn)90°或旋轉(zhuǎn)120°后，均能與自身重合，則n可以為（

）A．90 B．120 C．2022 D．2023【變式3-2】（2024八年級(jí)下·上海嘉定·期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，那么正方形ABCD繞點(diǎn)M至少旋轉(zhuǎn)度與它本身重合．【變式3-3】（2024八年級(jí)下·廣東廣州·期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，有點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在y軸上，那么旋轉(zhuǎn)角是°．【題型4補(bǔ)全圖形使之成為中心對(duì)稱圖形】【例4】（2024八年級(jí)下·吉林遼源·期中）如圖①，是由2個(gè)白色和2個(gè)陰影全等正方形組成的“L”型圖案，請(qǐng)你分別在圖②，圖③上按下列要求畫圖．

(1)在圖②中，添1個(gè)白色或陰影正方形，使它成中心對(duì)稱圖案；(2)在圖③中，先改變1個(gè)正方形的位置，再添1個(gè)白色或陰影正方形，使它既成中心對(duì)稱圖案，又成軸對(duì)稱圖案．【變式4-1】（2024八年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖，在網(wǎng)格中已知格點(diǎn)△ABC和點(diǎn)P，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作△A′B′C(2)在圖2中作四邊形ABDP，且四邊形ABDP是中心對(duì)稱圖形．【變式4-2】（2024八年級(jí)下·吉林白城·期中）圖①、圖②都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诮o定的網(wǎng)格中分別按要求畫圖．(1)在圖①中，找一個(gè)格點(diǎn)C，使以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．(2)在圖②中，找兩個(gè)格點(diǎn)D，E，使以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是中心對(duì)稱圖形．【變式4-3】（2024·吉林八年級(jí)·期末）圖①、圖②、圖③都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已有兩個(gè)小等邊三角形涂上了黑色．(1)在圖①中，再涂黑兩個(gè)小等邊三角形，使得整個(gè)涂色部分圖形為軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形．(2)在圖②中，再涂黑兩個(gè)小等邊三角形，使得整個(gè)涂色部分圖形為中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形．(3)在圖③中，再涂黑兩個(gè)小等邊三角形，使得整個(gè)涂色部分圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．【題型5利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積】【例5】（2024八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，有任意四邊形ABCD，A′、B′、C′、D′分別是A、B、C、D關(guān)于B、C、D、A的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)S表示四邊形【變式5-1】（2024·廣東·一模）如圖，點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)稱中心，AD＞AB，點(diǎn)E、F在邊AB上，且AB＝2EF，點(diǎn)G、H在邊BC邊上，且BC＝3GH，則△EOF和△GOH的面積比為．【變式5-2】（2024八年級(jí)下·四川德陽·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的圖案，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為3，5，6，1，現(xiàn)平移直線l：【變式5-3】（2024·上海黃浦·二模）已知等邊△ABC的重心為G，△DEF與△ABC關(guān)于點(diǎn)G成中心對(duì)稱，將它們重疊部分的面積記作S1，△ABC的面積記作S2，那么S1S【題型6確定圖案的形成過程】【例6】（2024八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后，不能得到如圖所示的圖形的是()A． B． C． D．【變式6-1】（2024八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）如圖，為保持原圖的模樣，應(yīng)選哪一塊拼在圖案的空白處(

)A．A B．B C．C D．D【變式6-2】（2024八年級(jí)下·全國·課時(shí)練習(xí)）下列圖形均可由“基本圖案”通過變換得到：(只填序號(hào))(1)可以平移但不能旋轉(zhuǎn)的是；(2)可以旋轉(zhuǎn)但不能平移的是；(3)既可以平移，也可以旋轉(zhuǎn)的是．【變式6-3】（2024八年級(jí)下·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖，共有7個(gè)全等的三角形，你能分析說明第1個(gè)三角形經(jīng)過什么變化可以依次得到其余6個(gè)三角形嗎？【題型7中心對(duì)稱圖形的規(guī)律探究】【例7】（2024八年級(jí)下·山東德州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為2,0，0,2，?2,0．一個(gè)電動(dòng)玩具從原點(diǎn)O出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)P1，使得點(diǎn)P1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱；第二次跳躍到點(diǎn)P2，使得點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱；第三次跳躍到點(diǎn)P3，使得點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱；第四次跳躍到點(diǎn)P4，使得點(diǎn)PA．?4,0 B．4,0 C．4,4 D．0,?4【變式7-1】（2024八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，1），（-1，0）．一個(gè)電動(dòng)玩具從坐標(biāo)原點(diǎn)0出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)P1．使得點(diǎn)P1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱；第二次跳躍到點(diǎn)P2，使得點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱；第三次跳躍到點(diǎn)P3，使得點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱；第四次跳躍到點(diǎn)P4，使得點(diǎn)P4與點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱；第五次跳躍到點(diǎn)P5，使得點(diǎn)P5與點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱；…照此規(guī)律重復(fù)下去，則點(diǎn)P2016的坐標(biāo)為.【變式7-2】（2024八年級(jí)下·四川廣元·期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)【變式7-3】（2024八年級(jí)下·北京西城·期中）在平面內(nèi)，將圖形G關(guān)于點(diǎn)M作中心對(duì)稱變換得到圖形G1的過程簡(jiǎn)記為：G→MG1．若圖形G1再關(guān)于點(diǎn)N作中心對(duì)稱變換得到圖形G2，即：G→MG1→N容易知道：若G→MG1，則G1已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1

(1)如圖1，已知點(diǎn)S0，?12，T?12，?1，(2)點(diǎn)P在直線y=x+1上，線段AB→O，PCD，當(dāng)線段CD(3)點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，OQ=1．若線段AB上存在點(diǎn)H，使點(diǎn)H作O，Q對(duì)稱后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)K在x軸上，直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)【題型8簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)】【例8】（2024八年級(jí)下·廣東河源·階段練習(xí)）亦姝家最近買了一種如圖（1）所示的瓷磚．請(qǐng)你用4塊如圖（1）所示的瓷磚拼鋪成一個(gè)正方形地板，使拼鋪的圖案成中心對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)趫D（2）、圖（3）中各畫出一種拼法．（要求：①兩種拼法各不相同，②為節(jié)約答題時(shí)間，方便掃描試卷，所畫圖案陰影部分用黑色斜線表示即可，③弧線大致畫出即可）【變式8-1】（2024八年級(jí)下·河北石家莊·期中）認(rèn)真觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題．(1)請(qǐng)你寫出這四個(gè)圖案都具有的三個(gè)共同特征；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出一個(gè)圖案，使它也具備你所寫出的上述特征．【變式8-2】（2024八年級(jí)下·北京·期中）七巧板又稱智慧板，是中國民間流傳的智力玩具，它是由七塊板組成（如圖1），用這七塊板可拼出許多圖形（1600種以上），例如：三角形、平行四邊形、以及不規(guī)則的多邊形，它還可以拼出各種人物、動(dòng)物、建筑等．請(qǐng)你用七巧板中標(biāo)號(hào)為①②③的三塊板（如圖2經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)拼出下列圖形（相鄰兩塊板之間無空隙，無重疊；示意圖的頂點(diǎn)畫在小方塊頂點(diǎn)上）：（1）拼成長(zhǎng)方形，在圖3中畫出示意圖；（2）拼成等腰直角三角形，在圖4中面出示意圖．【變式8-3】（2024八年級(jí)下·湖北武漢·期中）思考下列哪些圖形可以經(jīng)過復(fù)制自己拼成圖一（可以翻折或旋轉(zhuǎn)）例如選擇C就可以經(jīng)過復(fù)制自己拼成圖一，如圖二所示，請(qǐng)模仿圖二，另選兩個(gè)完成下面兩圖．專題3.6圖形的平移與旋轉(zhuǎn)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平移中的新定義問題】 1【題型2與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究】 8【題型3確定旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度】 11【題型4補(bǔ)全圖形使之成為中心對(duì)稱圖形】 14【題型5利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積】 18【題型6確定圖案的形成過程】 22【題型7中心對(duì)稱圖形的規(guī)律探究】 25【題型8簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)】 30【題型1平移中的新定義問題】【例1】（2024八年級(jí)下·福建廈門·期中）對(duì)于給定的兩點(diǎn)M，N，若存在點(diǎn)P，使得三角形PMN的面積等于1，則稱點(diǎn)P為線段MN的“單位面積點(diǎn)”，已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)P1，0，A0，2，B1，3．若將線段OP沿yA．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5【答案】A【分析】設(shè)線段AB上存在線段OP的“單位面積點(diǎn)”是Q，分兩種情況進(jìn)行討論：線段OP在線段AB的下方；線段OP在線段AB的上方，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)線段AB上存在線段OP的“單位面積點(diǎn)”是Q，如圖，

，當(dāng)線段OP在線段AB的下方時(shí)，此時(shí)S△OPA∵點(diǎn)P1，0，A∴OP=1，OA=2，BP=3，∵S∴點(diǎn)Q到OP的距離為2×1÷1=2，∴可將線段OP沿y軸正方向平移t≤3?2=1個(gè)單位長(zhǎng)度，∵沿y軸正方向平移，∴t>0，∴0<t≤1，當(dāng)線段OP在線段AB的上方時(shí)，此時(shí)S△OPB同理可得：點(diǎn)Q到OP的距離為2×1÷1=2，∴可將線段OP沿y軸正方向平移2+2≤t≤2+3，即4≤t≤5，綜上所述，t的取值范圍為：0<t≤1或4≤t≤5，∴t的值可以是0.5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化—平移，三角形的面積，采用分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想解題是解此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024八年級(jí)下·廣東中山·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：△ABC三條邊上所有的點(diǎn)到x軸的距離最大值叫作△ABC的遙值，記作：ω（△ABC）．例如：如圖，△ABC三條邊上所有的點(diǎn)到x軸的最大距離是4，則ω（△ABC）＝4．（1）把△ABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A′B′C′，請(qǐng)畫出△A′B′C′，并求出ω（△A'B′C′）；（2）已知點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為D（1，﹣1），E（1，3），S△DEP＝2，ω（△DEP）＝4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將△ABC向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，當(dāng)2≤ω（△A1B1C1）≤3時(shí)，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）圖見解析，3；（2）點(diǎn)P（2，4），或（0，4）或（0，﹣4）或（﹣2，﹣4）（3）1≤m≤2或3≤m≤4．【分析】（1）根據(jù)平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．根據(jù)△ABC的遙值，求出ω（△A'B′C′）．（2）滿足條件S△DEP＝2的點(diǎn)P在直線a或直線b上，再根據(jù)ω（△DEP）＝4，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）先分別求出①當(dāng)ω（△A1B1C1）=2，即當(dāng)點(diǎn)A距離x軸距離是2時(shí)，則△ABC向下平移2個(gè)單位或當(dāng)點(diǎn)C到x軸距離是2時(shí)，△ABC向下平移3個(gè)單位；②當(dāng)ω（△A1B1C1）=3，當(dāng)點(diǎn)A距離x軸距離是3時(shí)，則△ABC向下平移1個(gè)單位，或當(dāng)點(diǎn)C到x軸距離是3時(shí)，時(shí)△ABC向下平移4個(gè)單位；根據(jù)2≤ω（△A1B1C1）≤3，確定m的范圍即可．【詳解】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求，并求出ω（△A'B′C′）＝4．（2）滿足條件的點(diǎn)P（2，4），或（0，4）或（0，﹣4）或（﹣2，﹣4）．（3）將△ABC向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，①當(dāng)ω（△A1B1C1）=2，當(dāng)點(diǎn)A距離x軸距離是2時(shí)，則△ABC向下平移2個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)C到x軸距離是2時(shí)，△ABC向下平移3個(gè)單位；②當(dāng)ω（△A1B1C1）=3，當(dāng)點(diǎn)A距離x軸距離是3時(shí)，則△ABC向下平移1個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)C到x軸距離是3時(shí)，時(shí)△ABC向下平移4個(gè)單位；綜合可得：當(dāng)2≤ω（△A1B1C1）≤3時(shí)，1≤m≤2或3≤m≤4．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣平移變換，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是連接△ABC的遙值的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式1-2】（2024八年級(jí)下·河南周口·期中）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形G和圖形G上的任意點(diǎn)Px,y，給出如下定義：將點(diǎn)Px,y平移到P'x+t,y?t稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“t型平移”，點(diǎn)P＇稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“t型平移”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；將圖形G上的所有點(diǎn)進(jìn)行“t型平移”稱為將圖形G例如，將點(diǎn)Px,y平移到P'x+1,y?1稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“1型平移”，將點(diǎn)Px,y平移到P'x?1,y+1稱為將點(diǎn)已知點(diǎn)A1,1和點(diǎn)B(1)將點(diǎn)A1,1進(jìn)行“1型平移”后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(2)①將線段AB進(jìn)行“?1型平移”后得到線型A′B′，P12,3，P21.5,2②若線段AB進(jìn)行“t型平移”后與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．③已知點(diǎn)C6,0，D8,?2，M是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)B進(jìn)行“t型平移”后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，且B【答案】(1)2,0(2)①P2；②?3≤t≤?1或t=1；③【分析】（1）根據(jù)題中定義求解即可；（2）①可畫出圖形進(jìn)行判斷；②根據(jù)圖形，可分與y軸有公共點(diǎn)和與x軸有公共點(diǎn)兩種情況得到臨界值，則可求得的取值范圍；③根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，得到點(diǎn)B'在線段B【詳解】（1）解：將點(diǎn)A1,1進(jìn)行“1型平移”后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為1+1,1?1，即故答案為：2,0；（2）解：如圖，將線段AB進(jìn)行“?1型平移”后得到線型A′B′，P12,3，P21.5,2故答案為：P2②由圖知，若線段AB進(jìn)行“t型平移”后與y軸有公共點(diǎn)，則?3≤t≤?1；若線段AB進(jìn)行“t型平移”后與x軸有公共點(diǎn)，則t=1，綜上，滿足條件的t的取值范圍為?3≤t≤?1或t=1；③如圖，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，B′B″∥CD，當(dāng)點(diǎn)B′在線段B′【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-平移，解答的關(guān)鍵是理解題中定義，靈活運(yùn)用平移性質(zhì)，利用圖象法解決問題．【變式1-3】（2024八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x,y)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為ax+y,x+ay，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a階華益點(diǎn)”（其中a為常數(shù)，且a≠0）．例如：點(diǎn)P(1,4)的“2階華益點(diǎn)”為點(diǎn)Q(2×1+4,1+2×4)，即點(diǎn)2的坐標(biāo)為(6,9)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?1,5)，求它的“3階華益點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)Pc+1,2c?1先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到了點(diǎn)P1，點(diǎn)P1的“?3階華益點(diǎn)”P(3)已知A(2,0)、B(0,2)，在第一象限內(nèi)是否存在橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)P(x,y)，它的“m階華益點(diǎn)（m為正整數(shù)）”Q使得四邊形AOBQ的面積為6？如果存在，請(qǐng)求出m的值和P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)2,14(2)P2的坐標(biāo)為0,?16或(3)存在，m=1時(shí)，P的坐標(biāo)為1,2或2,1，m=2時(shí)，P的坐標(biāo)為1,1【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a階華益點(diǎn)”求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)P1的“?3階華益點(diǎn)”P（3）P的“m階華益點(diǎn)（m為正整數(shù)）”Q的坐標(biāo)為mx+y,x+my，根據(jù)四邊形AOBQ的面積為6，構(gòu)建方程求解．【詳解】（1）解：由題可得：3×?1+5=2，∴點(diǎn)P的“3階華益點(diǎn)”的坐標(biāo)為2,14．（2）解：∵點(diǎn)Pc+1,2c?1先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到P∴P1∴?3c?1+2c=?c+3，∴P1的“?3階華益點(diǎn)”P2的坐標(biāo)為?c+3,?5c?1，又∵P2∴?c+3=0或?5c?1=0，∴c=3或c=?1∴P2的坐標(biāo)為0,?16或16（3）：設(shè)P的“m階華益點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為mx+y,x+my，過點(diǎn)Q作MN∥AB，分別交x軸、y軸于N，

∵S四邊形∴S△ABQ又∵S△ABM∴根據(jù)三角形的等積變形原理得：S△ABQ∴△ABO斜邊AB上的高h(yuǎn)1為2，△MNO斜邊MN上的高h(yuǎn)2為設(shè)等腰直角三角形△MNO的直角邊ON為n，∴S∴1解之得：n=6，∴M0,6，N∴S△OQM∴12∴mx+y+x+my=6，∴m+1x+y又∵m，x，y均為正整數(shù)，∴①當(dāng)m+1=2，即m=1時(shí)，x+y=3，則x=1y=2或x=2∴P1,2，②當(dāng)m+1=3，即m=2時(shí)，x+y=2，則x=1y=1∴P1,1綜上所述，m=1時(shí)，P的坐標(biāo)為1,2或2,1，m=2時(shí)，P的坐標(biāo)為1,1．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-平移，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【題型2與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究】【例2】（2024八年級(jí)下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）風(fēng)力發(fā)電是一種常見的綠色環(huán)保發(fā)電形式，它能夠使大自然的資源得到更好地利用．如圖1，風(fēng)力發(fā)電機(jī)有三個(gè)底端重合、兩兩成120°角的葉片，以三個(gè)葉片的重合點(diǎn)為原點(diǎn)水平方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2所示），已知開始時(shí)其中一個(gè)葉片的外端點(diǎn)的坐標(biāo)為A5,5，在一段時(shí)間內(nèi)，葉片每秒繞原點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，則第2024秒時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為（A．5,5 B．5,?5 C．?5,?5 D．?5,5【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別求出第1、2、3、4s時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、A2、A3、A4【詳解】解：如圖．∵A(5,5)，∴A在第一象限的角平分線上，∵葉片每秒繞原點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，∴A1(5,?5)，A2(?5,?5)∴A點(diǎn)的坐標(biāo)以每4秒為一個(gè)周期依次循環(huán)，∵2024÷4=506，∴第2024s時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2024的坐標(biāo)與A4故選：A．【變式2-1】（2024八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖是一個(gè)裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖形的變化易得每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，根據(jù)陰影所處的位置可得相應(yīng)選項(xiàng)．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90°，即每4次旋轉(zhuǎn)一周，∵2021÷4＝505...1，即第2021次與第1次的圖案相同．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的變換規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律周期．【變式2-2】（2024八年級(jí)·浙江臺(tái)州·期中）圖1是正方體的平面展開圖，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6，將點(diǎn)數(shù)朝外折疊成一枚正方體骰子，并放置于水平桌面上，如圖2所示，若骰子初始位置為圖2所示的狀態(tài)，將骰子向右翻滾90°，則完成1次翻轉(zhuǎn)，此時(shí)骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是2，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成2次翻折后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是3；則連續(xù)完成2020次翻折后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先根據(jù)平面圖形確定各對(duì)面的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)翻轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每四次為一個(gè)循環(huán)，用2020除以4得到翻轉(zhuǎn)完成2020次后的圖形，即可得到答案．【詳解】由平面圖形可知：1與6是對(duì)面，2與5是對(duì)面，3與4是對(duì)面，這是一個(gè)正方體，完成1次翻轉(zhuǎn)時(shí)骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是2，完成5次翻轉(zhuǎn)后朝下一面的點(diǎn)數(shù)還是2，故每四次為一個(gè)循環(huán)，∵2020÷4=505，∴連續(xù)完成2020次翻折后，與圖2的位置相同，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是4，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形類規(guī)律探究，正方體展開圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確理解旋轉(zhuǎn)的規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2024·遼寧阜新·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=3x+3與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，將等邊△ABC沿射線AB方向作連續(xù)無滑動(dòng)地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使點(diǎn)C落在直線l上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使點(diǎn)A落在直線l上……當(dāng)?shù)冗吶切畏瓭L2023次后點(diǎn)A

A．2023,20233 B．2022,20243 C．2021,20223【答案】D【分析】先令x=0，y=0求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出OA、OB、AB的長(zhǎng)度，然后結(jié)合圖形的翻轉(zhuǎn)知道點(diǎn)A經(jīng)過2次旋轉(zhuǎn)后重新落在直線l：y=3x+3上，第3次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)A的位置不變，再結(jié)合3次一循環(huán)得到翻滾2023次后點(diǎn)【詳解】解：∵直線l：y=3x+3與兩坐標(biāo)軸交于A∴A?1,0，B∴AB=2，OA=1，OB=3∴tan∠BAO=∴∠BAO=60°，如圖，等邊△ABC經(jīng)過第1次翻轉(zhuǎn)后，A1過點(diǎn)A2作A2M⊥x軸于點(diǎn)M

∵∠A∴AM=AAA2等邊△ABC經(jīng)過第2次翻轉(zhuǎn)后，A2等邊△ABC經(jīng)過第3次翻轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A仍在點(diǎn)A2∴每經(jīng)過3次翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位，向上平移33∵2023÷3=674……1，第2次與第3次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)A處在同一個(gè)點(diǎn)，∴點(diǎn)A經(jīng)過2023次翻轉(zhuǎn)后，向右平移了3×674=2022個(gè)單位，向上平移了33∴等邊三角形翻滾2023次后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是2021,20243故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的翻轉(zhuǎn)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過實(shí)際操作理解等邊△ABC經(jīng)過第2次翻轉(zhuǎn)與第3次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)A處在同一個(gè)點(diǎn)．【題型3確定旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度】【例3】（2024八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）五星紅旗上的一個(gè)五角星圖案如圖所示，將圖案繞五角星的中心至少旋轉(zhuǎn)α度能與自身重合，則α為（

）

A．108 B．90 C．72 D．60【答案】C【分析】根據(jù)圓周角為360°，五角星把周角分為了相同的五部分，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的定義，利用以上內(nèi)容，問題即可解答．【詳解】解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72°的整數(shù)倍，就可以與自身重合，∵A、B、D都不是72°的整倍數(shù)，∴只有C符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，掌握旋轉(zhuǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2024·河北張家口·一模）將一個(gè)正n邊形旋轉(zhuǎn)90°或旋轉(zhuǎn)120°后，均能與自身重合，則n可以為（

）A．90 B．120 C．2022 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有90÷360n是整數(shù)，n4【詳解】若旋轉(zhuǎn)90°后與自身重合，則90÷360n是整數(shù)，即同理，若旋轉(zhuǎn)120°后與自身重合，則n3題中符合條件的只有120．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，判定出n4是整數(shù)，且n【變式3-2】（2024八年級(jí)下·上海嘉定·期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，那么正方形ABCD繞點(diǎn)M至少旋轉(zhuǎn)度與它本身重合．【答案】360【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義即可得．【詳解】∵點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，不是正方形ABCD的中心，∴正方形ABCD繞點(diǎn)M至少旋轉(zhuǎn)360度才能與它本身重合，故答案為：360．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，掌握理解定義是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2024八年級(jí)下·廣東廣州·期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，有點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在y軸上，那么旋轉(zhuǎn)角是°．【答案】315或135【分析】根據(jù)A、B的坐標(biāo)可知，△AOB是等腰直角三角形，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴∠AB∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為315°（旋轉(zhuǎn)角為360°-∠ABO）或135°（旋轉(zhuǎn)角為∠ABC′）時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在故答案為：315或135．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，圖形的旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【題型4補(bǔ)全圖形使之成為中心對(duì)稱圖形】【例4】（2024八年級(jí)下·吉林遼源·期中）如圖①，是由2個(gè)白色和2個(gè)陰影全等正方形組成的“L”型圖案，請(qǐng)你分別在圖②，圖③上按下列要求畫圖．

(1)在圖②中，添1個(gè)白色或陰影正方形，使它成中心對(duì)稱圖案；(2)在圖③中，先改變1個(gè)正方形的位置，再添1個(gè)白色或陰影正方形，使它既成中心對(duì)稱圖案，又成軸對(duì)稱圖案．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)及其作圖的方法，確定對(duì)稱軸及對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先確定對(duì)稱中心，再根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)畫圖即可；（2）根據(jù)中心對(duì)稱和軸對(duì)稱的性質(zhì)畫一個(gè)圖形即可．【詳解】（1）解：如圖②即為所求．

（2）解：如圖③即為所求．

【變式4-1】（2024八年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖，在網(wǎng)格中已知格點(diǎn)△ABC和點(diǎn)P，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作△A′B′C(2)在圖2中作四邊形ABDP，且四邊形ABDP是中心對(duì)稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先分別畫出點(diǎn)A、B、C關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′、B′、（2）構(gòu)造平行四邊ABDP即可．【詳解】（1）解：如圖所示，△A（2）解：如圖所示，四邊形ABDP即為所求．∵AB=PD=1∴四邊形ABDP為平行四邊形，∴四邊形ABDP即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握畫中心對(duì)稱圖形的方法和步驟，以及平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．【變式4-2】（2024八年級(jí)下·吉林白城·期中）圖①、圖②都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诮o定的網(wǎng)格中分別按要求畫圖．(1)在圖①中，找一個(gè)格點(diǎn)C，使以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．(2)在圖②中，找兩個(gè)格點(diǎn)D，E，使以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是中心對(duì)稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）把AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，則B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C點(diǎn)；（2）把AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，則B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D點(diǎn)；把DA繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E點(diǎn)，四邊形ABED滿足條件．【詳解】（1）解：如圖①，點(diǎn)C為所作．（2）解：如圖②，點(diǎn)D、E為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．【變式4-3】（2024·吉林八年級(jí)·期末）圖①、圖②、圖③都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已有兩個(gè)小等邊三角形涂上了黑色．(1)在圖①中，再涂黑兩個(gè)小等邊三角形，使得整個(gè)涂色部分圖形為軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形．(2)在圖②中，再涂黑兩個(gè)小等邊三角形，使得整個(gè)涂色部分圖形為中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形．(3)在圖③中，再涂黑兩個(gè)小等邊三角形，使得整個(gè)涂色部分圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)等邊三角形、軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）結(jié)合題意，根據(jù)等邊三角形、軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析，即可得到答案；（3）結(jié)合題意，根據(jù)等邊三角形、軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖①所示，陰影部分圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；（2）如圖②所示，陰影部分圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形；（3）如圖③所示，陰影部分圖形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，從而完成求解．【題型5利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積】【例5】（2024八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，有任意四邊形ABCD，A′、B′、C′、D′分別是A、B、C、D關(guān)于B、C、D、A的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)S表示四邊形【答案】5【分析】根據(jù)C是BB′的中點(diǎn)，則根據(jù)三角形面積公式得SΔ【詳解】解：如圖所示，連接A′∵C是B∴S同理：∴S∴S同理：SΔAA′∴SΔ∴S∴S【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)與三角形的面積計(jì)算，正確理解與運(yùn)用三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2024·廣東·一模）如圖，點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)稱中心，AD＞AB，點(diǎn)E、F在邊AB上，且AB＝2EF，點(diǎn)G、H在邊BC邊上，且BC＝3GH，則△EOF和△GOH的面積比為．【答案】3：2．【分析】連接AC、BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到S△AOB＝S△BOC，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】連接AC、BD，∵點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)稱中心，∴AC、BD交于點(diǎn)O，∴S△AOB＝S△BOC，∵AB＝2EF，∴S△EOF＝12S△AOB∵BC＝3GH，∴S△GOH＝13S△BOC∴S△EOF：S△GOH＝3：2，故答案為3：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形是中心對(duì)稱圖形以及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2024八年級(jí)下·四川德陽·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的圖案，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為3，5，6，1，現(xiàn)平移直線l：【答案】y=2x?5.5【分析】如圖，連接中間兩個(gè)小正方形構(gòu)成的矩形的對(duì)角線，則經(jīng)過對(duì)角線交點(diǎn)的直線把此矩形分成面積相等的兩部分，可知此直線也把整個(gè)圖形分成面積相等的兩部分，根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可得C的坐標(biāo)，再根據(jù)一次函數(shù)平移的特點(diǎn)結(jié)合待定系數(shù)法可求平移后直線的函數(shù)解析式．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為3，5，∴C的坐標(biāo)為4，∵平移后的直線將這個(gè)圖案分成面積相等的兩個(gè)部分，∴平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)C．設(shè)平移后的直線的函數(shù)解析式為y=2x+b，依題意有，∴2.5=2×4+b，解得b=?5.5，∴平移后的直線的函數(shù)解析式為y=2x?5.5．故答案為：y=2x?5.5．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)圖象的平移．熟知過中心對(duì)稱圖形對(duì)稱中心的直線把這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2024·上海黃浦·二模）已知等邊△ABC的重心為G，△DEF與△ABC關(guān)于點(diǎn)G成中心對(duì)稱，將它們重疊部分的面積記作S1，△ABC的面積記作S2，那么S1S【答案】2【分析】如圖，根據(jù)點(diǎn)G是等邊△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分線，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等邊三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它們重疊部分為邊長(zhǎng)＝QH的正六邊形，設(shè)AB＝3a，則QH＝a，根據(jù)等邊三角形的面積即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)G是等邊△ABC的重心，∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分線，∴AG＝2GN，設(shè)AB＝3a，則AN＝32×3a＝33∵△DEF與△ABC關(guān)于點(diǎn)G成中心對(duì)稱，∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，∴△AQH是等邊三角形，∴AQ＝HQ＝AH＝13AB＝a∴AP＝32a∴它們重疊部分為邊長(zhǎng)＝QH的正六邊形，∴S1＝6?12?32a∴S1S2＝3故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，等邊三角形的性質(zhì)，中心對(duì)稱，等邊三角形的面積的計(jì)算，正多邊形面積的計(jì)算．能根據(jù)題意正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．【題型6確定圖案的形成過程】【例6】（2024八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后，不能得到如圖所示的圖形的是()A． B． C． D．【答案】C【詳解】A.經(jīng)過平移可得到圖形；B.經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)可得到圖形；C.經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后，都不能得到圖形；D.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可得到圖形.故選C.【變式6-1】（2024八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）如圖，為保持原圖的模樣，應(yīng)選哪一塊拼在圖案的空白處(

)A．A B．B C．C D．D【答案】B【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)原圖是后單位圖形平移得到，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由圖可知，此圖案由如圖的圖形平移而成，，∴空白處應(yīng)該為：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖案設(shè)計(jì)，平移的性質(zhì)，觀察得出單位圖形是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2024八年級(jí)下·全國·課時(shí)練習(xí)）下列圖形均可由“基本圖案”通過變換得到：(只填序號(hào))(1)可以平移但不能旋轉(zhuǎn)的是；(2)可以旋轉(zhuǎn)但不能平移的是；(3)既可以平移，也可以旋轉(zhuǎn)的是．【答案】①④②⑤③【詳解】試題分析：①可以看作由左邊圖案向右平移得到的；②可以看作一個(gè)菱形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的；③既可以看作一個(gè)圓向右平移得到的，也可以看作兩個(gè)圓組成的圖案旋轉(zhuǎn)得到的；④可以看作上面基本圖案向下平移得到的；⑤可以看作上面圖案繞中心旋轉(zhuǎn)得到的．故可以平移但不能旋轉(zhuǎn)的是①④；可以旋轉(zhuǎn)但不能平移的是②⑤；既可以平移，也可以旋轉(zhuǎn)的是③．故答案為（1）①④，（2）②⑤，（3）③【變式6-3】（2024八年級(jí)下·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖，共有7個(gè)全等的三角形，你能分析說明第1個(gè)三角形經(jīng)過什么變化可以依次得到其余6個(gè)三角形嗎？【答案】見解析．【分析】根據(jù)所給的圖形及其位置，運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)即可作出說明．【詳解】解：如圖，標(biāo)注三角形的一個(gè)頂點(diǎn)如下，1→2先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；2→3：先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后繞C旋轉(zhuǎn)180°；3→4：向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度；4→5：先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再繞E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；5→6：先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再繞F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；6→7：先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后繞G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查利用旋轉(zhuǎn)、平移的知識(shí)，注意仔細(xì)觀察圖形及語言的規(guī)范性是解題的關(guān)鍵．【題型7中心對(duì)稱圖形的規(guī)律探究】【例7】（2024八年級(jí)下·山東德州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為2,0，0,2，?2,0．一個(gè)電動(dòng)玩具從原點(diǎn)O出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)P1，使得點(diǎn)P1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱；第二次跳躍到點(diǎn)P2，使得點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱；第三次跳躍到點(diǎn)P3，使得點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱；第四次跳躍到點(diǎn)P4，使得點(diǎn)PA．?4,0 B．4,0 C．4,4 D．0,?4【答案】B【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱及點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律．根據(jù)題意，先求出前幾次跳躍后P1、P2、P3、P4、P5、P【詳解】解：由題意得：點(diǎn)P14,0、P2?4,4、P30,?4、P4∴點(diǎn)P的坐標(biāo)的變化規(guī)律是6次一個(gè)循環(huán)，∵2023÷6=337...1∴點(diǎn)P2023的坐標(biāo)是4,0故選：B．【變式7-1】（2024八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，1），（-1，0）．一個(gè)電動(dòng)玩具從坐標(biāo)原點(diǎn)0出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)P1．使得點(diǎn)P1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱；第二次跳躍到點(diǎn)P2，使得點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱；第三次跳躍到點(diǎn)P3，使得點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱；第四次跳躍到點(diǎn)P4，使得點(diǎn)P4與點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱；第五次跳躍到點(diǎn)P5，使得點(diǎn)P5與點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱；…照此規(guī)律重復(fù)下去，則點(diǎn)P2016的坐標(biāo)為.【答案】（0，0）【分析】根據(jù)題意，確定出前幾次跳躍后點(diǎn)P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐標(biāo)，得出規(guī)律，根據(jù)所得的規(guī)律即可求出點(diǎn)P2016的坐標(biāo)．【詳解】根據(jù)題意可知：點(diǎn)P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），由此可得可得出6次一個(gè)循環(huán)，∵2016÷6=336，∴點(diǎn)P2016的坐標(biāo)為（0，0）．故答案為（0，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱及點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律變換，解答本題的關(guān)鍵是求出前幾次跳躍后點(diǎn)的坐標(biāo)，總結(jié)出一般規(guī)律．【變式7-2】（2024八年級(jí)下·四川廣元·期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)【答案】4047,?【分析】此題主要考查了中心對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；根據(jù)△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得A1(1,3)，同理可求得A2(3,?3)，A3(5,3)，從而總結(jié)出點(diǎn)【詳解】解：∵△OA∴A1(1,3∵△B2A2B∴2×2?1=3,2×0?3=?3∵△B2A3B∴2×4?3=5,2×0?(?3)=3以此類推，點(diǎn)An的橫坐標(biāo)是2n?1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)An的縱坐標(biāo)是3，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)An∴2×2024?1=4047∴△B2024A2024B故答案為：4047,?3【變式7-3】（2024八年級(jí)下·北京西城·期中）在平面內(nèi)，將圖形G關(guān)于點(diǎn)M作中心對(duì)稱變換得到圖形G1的過程簡(jiǎn)記為：G→MG1．若圖形G1再關(guān)于點(diǎn)N作中心對(duì)稱變換得到圖形G2，即：G→MG1→N容易知道：若G→MG1，則G1已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1

(1)如圖1，已知點(diǎn)S0，?12，T?12，?1，(2)點(diǎn)P在直線y=x+1上，線段AB→O，PCD，當(dāng)線段CD(3)點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，OQ=1．若線段AB上存在點(diǎn)H，使點(diǎn)H作O，Q對(duì)稱后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)K在x軸上，直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)【答案】(1)①②(2)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍為?3(3)3+1≤x【分析】（1）根據(jù)題意，分別求出點(diǎn)A作變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)，