2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第三單元：八種問題之排水法求不規(guī)則物體的體積“綜合版”1．如下圖，玻璃杯中有5厘米高的水，將雞蛋放入水中，再次測(cè)得水面的高度是6厘米。如果玻璃的厚度忽略不計(jì)，這個(gè)雞蛋的體積大約是多少立方厘米？（得數(shù)保留整數(shù)）2．一個(gè)裝水的圓柱形容器的底面內(nèi)直徑是10厘米，一個(gè)鐵塊完全浸沒在這個(gè)容器的水中，將鐵塊取出后，水面下降2厘米。這個(gè)鐵塊的體積是多少？3．一個(gè)裝有水的圓柱形容器，底面直徑是10厘米，高是12厘米，一塊石頭完全浸沒在水里，量得水深9.5厘米，將石頭取出后，水深是7.5厘米，這塊石頭的體積是多少？4．在一個(gè)直徑是30厘米的圓柱形容器里，放入一個(gè)底面半徑為6厘米的圓錐形鐵塊，全部浸沒在水中，這時(shí)水面上升0.4厘米（無(wú)水溢出）。圓錐形鐵塊的高是多少厘米？5．一個(gè)底面半徑為12厘米的圓柱形容器中，水面高度是1.5分米。將一個(gè)鋼球放入容器內(nèi)完全浸入水中，水面上升到1.8分米，這個(gè)鋼球的體積是多少？6．一個(gè)圓柱形玻璃容器，從里面量，底面半徑是5厘米，高是19厘米，容器內(nèi)水深為13厘米，把一塊鵝卵石完全浸沒在水中，水面上升到16厘米（水未溢出），這塊鵝卵石的體積是多少？7．一個(gè)圓柱形玻璃缸，底面直徑是6分米，高40厘米，水深25厘米，把一個(gè)底面半徑是2分米的圓錐完全浸沒在水中，水面上升到27厘米，這個(gè)圓錐的高是多少厘米？8．一個(gè)圓柱形玻璃杯，底面周長(zhǎng)是62.8厘米，里面的水高12厘米，放入一個(gè)圓錐形的鉛塊完全浸沒，杯中的水上升到15厘米，這個(gè)圓錐形鉛塊的體積是多少立方厘米？9．一個(gè)底面半徑是5厘米，高10厘米的圓柱形玻璃容器里裝著一些水，水中完全浸沒著一個(gè)圓錐體鐵塊，當(dāng)把鐵塊從水中取出后，水面下降了2厘米，這個(gè)鐵塊的體積是多少立方厘米？10．一個(gè)圓柱形容器，底面直徑20厘米，高30厘米，裝水24厘米。將一個(gè)石塊放入水中（完全浸沒），水面上升3厘米。這個(gè)石塊的體積是多少立方厘米？11．一個(gè)底面直徑是20厘米的圓柱形玻璃杯內(nèi)裝有水，水里完全浸沒了一個(gè)底面直徑為6厘米的圓錐形鉛錘。當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水下降了0.54厘米，這個(gè)圓錐形鉛錘的高是多少厘米？12．一個(gè)內(nèi)底面周長(zhǎng)是25.12厘米，高18厘米的圓柱形玻璃缸里，有一塊底面積是37.68厘米的圓錐形鐵塊，完全浸沒在水中。拿出鐵塊后水面下降了3厘米。（1）這塊鐵塊的體積是多少立方厘米？（2）這塊鐵塊高多少厘米？13．一個(gè)底面積是1.5平方分米的玻璃魚缸里有一塊石頭（完全浸沒在水中），水深18厘米，拿出石塊后水面下降到15厘米，這塊石頭體積是多少？14．一個(gè)底面積為48平方分米的容器中裝有水，如果把等底等高的一個(gè)圓柱形和一個(gè)圓錐形鐵塊全部沉沒于水中，水面上升10分米，那么這塊圓柱形鐵塊的體積是多少立方分米？15．春風(fēng)小學(xué)組織學(xué)生去科技館參觀，李老師做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：把一段圓柱形鋼材垂直放入一個(gè)圓柱形的水桶中，鋼材露出水面10厘米時(shí)，水面上升6厘米；再把鋼材全部浸入水中，水面又上升2厘米。已知鋼材的底面半徑是5厘米，你能求出這段鋼材的體積嗎？16．在一個(gè)底面直徑是10厘米，高是8厘米的圓柱形杯內(nèi)倒入水，水面高6厘米，把一個(gè)小鐵塊全部浸入水中，水滿后還溢出了15毫升，這個(gè)小鐵塊的體積是多少立方厘米？17．一個(gè)直徑是8厘米，高是10厘米的圓柱體，往里面加入6厘米深的水。將一個(gè)圓錐體放進(jìn)去，水溢出9.42立方厘米。這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米？18．一個(gè)圓柱體容器，從里面量得底面直徑是16厘米，比容器中盛有水的深度多，現(xiàn)在把一塊銅塊放入，待完全浸沒到水中后，水面上升了（水未溢出），這塊銅塊的體積是多少立方厘米？19．如圖，一個(gè)高為10厘米，容積為50毫升的圓柱形容器里裝滿了水，現(xiàn)把一個(gè)高為16厘米的圓柱形小棒垂直放入容器。使小棒的底面與容器的底面接觸。這時(shí)一部分水從容器中溢出。當(dāng)把小棒從容器中拿出后，容器中水的高度為7厘米，小棒的體積是多少立方厘米？20．王叔叔做了一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，底面直徑為40厘米，高50厘米。（1）做這個(gè)水桶至少需要多少平方厘米鐵皮？（2）王叔叔要測(cè)量一塊石頭的體積，他把石頭放入桶中，完全被水浸沒，結(jié)果水面上升了2厘米，請(qǐng)你幫助王叔叔算出石頭的體積。（3）王叔叔取出石頭往桶中注滿水，王叔叔又把一根長(zhǎng)100厘米，橫截面是4平方厘米的長(zhǎng)方體鐵棒豎直插入桶底，會(huì)溢出多少立方厘米的水？2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第三單元：八種問題之排水法求不規(guī)則物體的體積“綜合版”1．如下圖，玻璃杯中有5厘米高的水，將雞蛋放入水中，再次測(cè)得水面的高度是6厘米。如果玻璃的厚度忽略不計(jì)，這個(gè)雞蛋的體積大約是多少立方厘米？（得數(shù)保留整數(shù)）【答案】79立方厘米【分析】根據(jù)題意可知，物體的體積＝上升部分水的體積，上升部分水的體積＝底面積×上升的高度，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，用3.14×（10÷2）2×（6－5）即可求出雞蛋的體積?！驹斀狻?.14×（10÷2）2×（6－5）＝3.14×52×1＝3.14×25×1＝78.5（立方厘米）78.5立方厘米≈79立方厘米答：這個(gè)雞蛋的體積大約是79立方厘米。2．一個(gè)裝水的圓柱形容器的底面內(nèi)直徑是10厘米，一個(gè)鐵塊完全浸沒在這個(gè)容器的水中，將鐵塊取出后，水面下降2厘米。這個(gè)鐵塊的體積是多少？【答案】157立方厘米【分析】只要求出下降水的體積就是這個(gè)鐵塊的體積，由題可知道圓柱的底面直徑是10厘米，下降的水深是2厘米，運(yùn)用圓柱的體積公式：V＝πr2h解答出來(lái)即可?！驹斀狻?.14×（10÷2）2×2＝3.14×25×2＝78.5×2＝157（立方厘米）答：這個(gè)鐵塊的體積是157立方厘米。3．一個(gè)裝有水的圓柱形容器，底面直徑是10厘米，高是12厘米，一塊石頭完全浸沒在水里，量得水深9.5厘米，將石頭取出后，水深是7.5厘米，這塊石頭的體積是多少？【答案】157立方厘米【分析】根據(jù)題意，把一塊石頭完全浸沒在裝有水的圓柱形容器里，水深9.5厘米，將石頭取出后，水深是7.5厘米，那么這塊石頭的體積等于水下降部分的體積；水下降部分是一個(gè)底面直徑10厘米，高（9.5－7.5）厘米的圓柱，根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出這塊石頭的體積?！驹斀狻?0÷2＝5（厘米）3.14×52×（9.5－7.5）＝3.14×25×2＝157（立方厘米）答：這塊石頭的體積是157立方厘米。4．在一個(gè)直徑是30厘米的圓柱形容器里，放入一個(gè)底面半徑為6厘米的圓錐形鐵塊，全部浸沒在水中，這時(shí)水面上升0.4厘米（無(wú)水溢出）。圓錐形鐵塊的高是多少厘米？【答案】7.5厘米【分析】圓錐形鐵塊全部浸沒在水中時(shí)，水面上升部分的體積，就是圓錐形鐵塊的體積。水面上升部分的體積用圓柱的體積公式計(jì)算：體積＝底面積×高。再根據(jù)圓錐的體積＝×底面積×高，即可求出圓錐形鐵塊的高?！驹斀狻浚?0÷2）2×3.14×0.4＝152×3.14×0.4＝225×3.14×0.4＝706.5×0.4＝282.6（立方厘米）282.6÷（3.14×62×）＝282.6÷（3.14×36×）＝282.6÷（113.04×）＝282.6÷37.68＝7.5（厘米）答：圓錐形鐵塊的高是7.5厘米。5．一個(gè)底面半徑為12厘米的圓柱形容器中，水面高度是1.5分米。將一個(gè)鋼球放入容器內(nèi)完全浸入水中，水面上升到1.8分米，這個(gè)鋼球的體積是多少？【答案】135.648立方分米【分析】由題意可知，鋼球的體積等于上升部分水的體積，利用“V＝πr2h”求出上升部分水的體積，據(jù)此解答?！驹斀狻?.8－1.5＝0.3（分米）3.14×122×0.3＝3.14×144×0.3＝452.16×0.3＝135.648（立方分米）答：這個(gè)鋼球的體積是135.648立方分米。6．一個(gè)圓柱形玻璃容器，從里面量，底面半徑是5厘米，高是19厘米，容器內(nèi)水深為13厘米，把一塊鵝卵石完全浸沒在水中，水面上升到16厘米（水未溢出），這塊鵝卵石的體積是多少？【答案】235.5立方厘米【分析】水面上升的體積就是鵝卵石的體積，圓柱底面積×水面上升的高度＝鵝卵石體積，據(jù)此列式解答?！驹斀狻?6－13＝3（厘米）3.14×52×3＝3.14×25×3＝235.5（立方厘米）答：這塊鵝卵石的體積是235.5立方厘米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，將不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圓柱進(jìn)行計(jì)算。7．一個(gè)圓柱形玻璃缸，底面直徑是6分米，高40厘米，水深25厘米，把一個(gè)底面半徑是2分米的圓錐完全浸沒在水中，水面上升到27厘米，這個(gè)圓錐的高是多少厘米？【答案】13.5厘米【分析】圓錐完全浸沒在水里后，圓錐的體積＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作底面直徑是6分米，高為（27－25）厘米的圓柱的體積，根據(jù)圓柱的體積公式，把數(shù)據(jù)代入即可求出水面上升的體積，即這個(gè)圓錐的體積，再根據(jù)圓錐的體積公式，即可這個(gè)求出圓錐的高?！驹斀狻?分米＝60厘米3.14×（60÷2）2×（27－25）＝3.14×302×2＝3.14×900×2＝5652（立方厘米）2分米＝20厘米5652÷÷（3.14×202）＝5652×3÷（3.14×400）＝16956÷1256＝13.5（厘米）答：這個(gè)圓錐的高是13.5厘米?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用圓柱和圓錐的體積公式，解決問題。8．一個(gè)圓柱形玻璃杯，底面周長(zhǎng)是62.8厘米，里面的水高12厘米，放入一個(gè)圓錐形的鉛塊完全浸沒，杯中的水上升到15厘米，這個(gè)圓錐形鉛塊的體積是多少立方厘米？【答案】942立方厘米【分析】由題意可知：上升的水的體積就等于這塊鉛塊的體積，根據(jù)“底面周長(zhǎng)是62.8厘米”，先求出玻璃杯的半徑；再根據(jù)“圓柱的體積計(jì)算公式：”，即可上升的水的體積，即鉛塊的體積?！驹斀狻坎ＡП陌霃剑?2.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（厘米）這塊鉛塊的體積：3.14×102×（15－12）＝314×3＝942（立方厘米）答：這塊鉛塊的體積是942立方厘米。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是明白：上升的水的體積就等于這塊鉛塊的體積。9．一個(gè)底面半徑是5厘米，高10厘米的圓柱形玻璃容器里裝著一些水，水中完全浸沒著一個(gè)圓錐體鐵塊，當(dāng)把鐵塊從水中取出后，水面下降了2厘米，這個(gè)鐵塊的體積是多少立方厘米？【答案】157立方厘米【分析】圓錐體塊的體積等于圓柱容器水面下降的那部分水的體積，先根據(jù)圓柱的體積公式，求出容器中下降的水的體積（即鐵塊的體積）?！驹斀狻?.14×52×2＝3.14×25×2＝78.5×2＝157（立方厘米）答：這個(gè)鐵塊的體積是157立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題解答關(guān)鍵是理解容器中水下降的那部分水的體積等于圓錐的體積。10．一個(gè)圓柱形容器，底面直徑20厘米，高30厘米，裝水24厘米。將一個(gè)石塊放入水中（完全浸沒），水面上升3厘米。這個(gè)石塊的體積是多少立方厘米？【答案】942立方厘米【分析】這個(gè)石塊完全浸沒在水里后，石塊的體積＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作底面半徑為（20÷2）厘米，高為3厘米的圓柱體的體積，根據(jù)圓柱體的體積公式，把數(shù)據(jù)代入即可得解?！驹斀狻?.14×（20÷2）2×3＝3.14×102×3＝3.14×100×3＝942（立方厘米）答：這個(gè)石塊的體積是942立方厘米。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握不規(guī)則物體的體積的計(jì)算方法，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用圓柱體的體積公式，解決問題。11．一個(gè)底面直徑是20厘米的圓柱形玻璃杯內(nèi)裝有水，水里完全浸沒了一個(gè)底面直徑為6厘米的圓錐形鉛錘。當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水下降了0.54厘米，這個(gè)圓錐形鉛錘的高是多少厘米？【答案】18厘米【分析】根據(jù)題意可知，水下降部分的體積等于圓錐形鉛錘的體積，根據(jù)水下降部分的體積＝底面積×下降的高度，用3.14×（20÷2）2×0.54求出水下降部分的體積，也就是圓錐形鉛錘的體積，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，用圓錐形鉛錘的體積×3÷3.14÷（6÷2）2即可求出這個(gè)圓錐形鉛錘的高?！驹斀狻?0÷2＝10（厘米）3.14×102×0.54＝3.14×100×0.54＝314×0.54＝169.56（立方厘米）6÷2＝3（厘米）169.56×3÷3.14÷32＝169.56×3÷3.14÷9＝508.68÷3.14÷9＝18（厘米）答：這個(gè)圓錐形鉛錘的高是18厘米。【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱體積和圓錐體積公式的靈活應(yīng)用，注意水下降部分的體積等于物體的體積。12．一個(gè)內(nèi)底面周長(zhǎng)是25.12厘米，高18厘米的圓柱形玻璃缸里，有一塊底面積是37.68厘米的圓錐形鐵塊，完全浸沒在水中。拿出鐵塊后水面下降了3厘米。（1）這塊鐵塊的體積是多少立方厘米？（2）這塊鐵塊高多少厘米？【答案】（1）150.72立方厘米（2）12cm【分析】分析條件后可得出“鐵塊的體積＝水面下降后減少的水那一部分的體積”，則求這塊鐵塊的體積是多少，也就是求周長(zhǎng)是25.12厘米，高是3厘米的圓柱形容器里水的體積，先求出此圓柱的半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h解答即可；要求圓錐的高根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻浚?）25.12÷3.14÷2＝8÷2＝4（cm）42×3.14×3＝16×3.14×3＝50.24×3＝150.72（cm3）答：這塊鐵塊的體積是150.72立方厘米。（2）150.72×3÷37.68＝452.16÷37.68＝12（cm）答：這塊鐵塊高12厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查不規(guī)則物體體積的求法，關(guān)鍵明確求這塊鐵塊的體積，也就是求底面周長(zhǎng)是25.12厘米的圓柱的半徑，再求出高是3厘米的圓柱形容器里水的體積。13．一個(gè)底面積是1.5平方分米的玻璃魚缸里有一塊石頭（完全浸沒在水中），水深18厘米，拿出石塊后水面下降到15厘米，這塊石頭體積是多少？【答案】450立方厘米【分析】根據(jù)題意可知，水面下降部分的體積就是這個(gè)石頭的體積，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝底面積×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?.5平方分米＝150平方厘米150×（18－15）＝150×3＝450（立方厘米）答：這塊石頭體積是450立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查不規(guī)則物體的體積的計(jì)算方法，注意單位名數(shù)的統(tǒng)一。14．一個(gè)底面積為48平方分米的容器中裝有水，如果把等底等高的一個(gè)圓柱形和一個(gè)圓錐形鐵塊全部沉沒于水中，水面上升10分米，那么這塊圓柱形鐵塊的體積是多少立方分米？【答案】360立方分米【分析】由題意可知，圓柱和圓錐的總體積等于上升部分水的體積，利用“底面積×高”求出容器中水的體積，當(dāng)圓柱和圓錐等底等高時(shí)，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，圓錐的體積是圓柱體積的，圓柱的體積＝圓柱和圓錐的總體積÷（1＋），據(jù)此解答?！驹斀狻?8×10＝480（立方分米）480÷（1＋）＝480÷＝480×＝360（立方分米）答：這塊圓柱形鐵塊的體積是360立方分米。【點(diǎn)睛】求出圓柱與圓錐的體積之和并掌握等底等高的圓柱和圓錐之間的體積關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。15．春風(fēng)小學(xué)組織學(xué)生去科技館參觀，李老師做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：把一段圓柱形鋼材垂直放入一個(gè)圓柱形的水桶中，鋼材露出水面10厘米時(shí)，水面上升6厘米；再把鋼材全部浸入水中，水面又上升2厘米。已知鋼材的底面半徑是5厘米，你能求出這段鋼材的體積嗎？【答案】3140立方厘米【分析】根據(jù)再把鋼材全部浸入水中，水面又上升2厘米，可以知道鋼材10厘米的體積等于圓柱水桶2厘米的體積，鋼材10厘米的體積是5×5×3.14×10也就是785立方厘米，根據(jù)求出的體積可以知道圓柱水桶的底面積，也就是785÷2＝392.5（平方厘米），鋼材的總體積應(yīng)該等于露出水面的10厘米體積加上水面上升6厘米的體積，所以鋼材體積等于785＋392.5×6【詳解】＝3.14×25×10＝78.5×10＝785（立方厘米）785÷2＝392.5（平方厘米）785＋392.5×6＝785＋2355＝3140（立方厘米）答：這段鋼材的體積是3140立方厘米?！军c(diǎn)睛】考查圓柱的體積相關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)是能夠熟練掌握?qǐng)A柱體積的計(jì)算公式。16．在一個(gè)底面直徑是10厘米，高是8厘米的圓柱形杯內(nèi)倒入水，水面高6厘米，把一個(gè)小鐵塊全部浸入水中，水滿后還溢出了15毫升，這個(gè)小鐵塊的體積是多少立方厘米？【答案】172立方厘米【分析】根據(jù)題意可知，小鐵塊全部浸入水中，小鐵塊的體積＝圓柱上部未注滿水部分的體積＋溢出水的體積，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝，代入數(shù)據(jù)求出未注滿水部分的體積，再把15毫升換算成15立方厘米，加上這部分體積，即可求出這個(gè)小鐵塊的體積?！驹斀狻?5毫升＝15立方厘米3.14×（10÷2）2×（8－6）＋15＝3.14×52×2＋15＝3.14×25×2＋15＝157＋15＝172（立方厘米）答：這個(gè)小鐵塊的體積是172立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握不規(guī)則物體的體積的計(jì)算方法，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用圓柱的體積公式，解決問題。17．一個(gè)直徑是8厘米，高是10厘米的圓柱體，往里面加入6厘米深的水。將一個(gè)圓錐體放進(jìn)去，水溢出9.42立方厘米。這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米？【答案】210.38立方厘米【分析】將圓錐體完全浸沒在水中，容器滿了之后水溢出9.42立方厘米，則說明圓錐體的體積＝上升部分水的體積＋溢出水的體積，由題意可得，水面上升了（10－6）厘米，根據(jù)圓柱體的體積公式求解即可?！驹斀狻?.14×（8÷2）2×（10－6）＋9.42＝3.14×42×4＋9.42＝3.14×16×4＋9.42＝200.96＋9.42＝210.38（立方厘米）答：這個(gè)圓錐的體積是210.38立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是理解圓錐體的體積等于上升部分水的體積加溢出水的體積。18．一個(gè)圓柱體容器，從里面量得底面直徑是16厘米，比容器中盛有水的深度多，現(xiàn)在把一塊銅塊放入，待完全浸沒到水中后，水面上升了（水未溢出），這塊銅塊的體積是多少立方厘米？【答案】1004.8立方厘米【分析】首先利用直徑的長(zhǎng)度除以（1＋）求出原來(lái)水的深度，再利用水的深度乘求出放入銅塊后水面上升的高度，再利用底面積乘上升的厘米數(shù)即可?！驹斀狻?6＝16＝10（厘米）10×＝5（厘米）3.14×（16÷2）2×5＝3.14×320＝1004.8（立方厘米）答：這塊銅塊的體積是1004.8立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查某些實(shí)物體積的測(cè)量方法，掌握?qǐng)A柱體的體積公式也是解題的關(guān)鍵。19．如圖，一個(gè)高為10厘米，容積為50毫升的圓柱形容器里裝滿了水，現(xiàn)把一個(gè)高為16厘米的圓柱形小棒垂直放入容器。使小棒的底面與容器的底面接觸。這時(shí)一部分水從容器中溢出。當(dāng)把小棒從容器中拿出后，容器中水的高度為7厘米，小棒的體積是多少立方厘米？【答案】24立方厘米【分析】根據(jù)底面積＝容積÷高，求出圓柱體的底