《提分練習(xí)5特殊平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用的三種題型》典例剖析例如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6.菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，且AH=2，連接CF.（1）當(dāng)DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；（2）設(shè)DG=x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積.解題秘方：特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，就是從四邊形邊、角、對(duì)角線的特征進(jìn)行判斷和應(yīng)用.本題中（1）由于四邊形EFGH為菱形，只需再證有一個(gè)內(nèi)角是直角即可；（2）解題的關(guān)鍵是作輔助線：過(guò)F作FM⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于M，連接GE，構(gòu)造全等三角形.（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°.∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=EH.∵DG=AH=2，∴Rt△DGH≌Rt△AHE，∴∠DHG=∠AEH.∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH為正方形.（2）解：過(guò)F作FM⊥CD，交DC的延長(zhǎng)線于M，連接GE，如圖所示.∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE.∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM.在△AHE和△MFG中，∴△AHE≌△MFG，∴MF=AH=2.∵DG=x，∴CG=6-x，∴.分類訓(xùn)練題型一特殊平行四邊形中的操作型問(wèn)題1.對(duì)于邊長(zhǎng)均為a的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按圖①所示的方式擺放，沿虛線BD，EG剪開后，可以按圖中所示的移動(dòng)方式拼接為四邊形BNED.從拼接的過(guò)程容易得到結(jié)論：①四邊形BNED是正方形；②.實(shí)踐與操作（1）對(duì)于邊長(zhǎng)分別為a，b（a>b）的兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按圖②所示的方式擺放，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥DE，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DM，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DE，MN與EN相交于點(diǎn)N.①證明四邊形MNED是正方形，并用含a，b的代數(shù)式表示正方形MNED的面積；②在圖②中，將正方形ABCD和正方形EFGH剪開后，能夠拼接成正方形MNED，請(qǐng)簡(jiǎn)略說(shuō)明你的拼接方法（類比圖①，用數(shù)字表示對(duì)應(yīng)的圖形）.（2）對(duì)于n（n是大于2的自然數(shù)）個(gè)任意的正方形，能否通過(guò)若干次拼接，將其拼接為一個(gè)正方形？請(qǐng)簡(jiǎn)略說(shuō)明你的理由.2.（1）如圖①，在平行四邊形紙片ABCD中，AD=5，=15.過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△的位置，拼成四邊形，則四邊形的形狀為（）A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形（2）如圖②，在（1）的四邊形紙片中，在上取一點(diǎn)F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△的位置，拼成四邊形.①求證：四邊形是菱形；②求四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng).題型二特殊平行四邊形中的探究型問(wèn)題3.【中考·青島】已知：如圖，ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG，CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FD.（1）求證：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結(jié)論.4.如圖①，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD交BC于點(diǎn)F，連接DF，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG.（1）求證：EG=CG.（2）將圖①中的△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②，取DF的中點(diǎn)G，連接EG，CG.問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）將圖①中的△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③，其他條件不變，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）題型三特殊平行四邊形中的閱讀理解型問(wèn)題5.閱讀以下材料，然后解決問(wèn)題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖①所示，矩形ABEF為△ABC的“友好矩形”，顯然，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè).（1）仿照以上敘述，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；（2）如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；（3）若△ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明.

參考答案1.答案：解：（1）①由作圖的過(guò)程可知四邊形MNED是矩形.∵∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，∴∠ADM=∠CDE.在△ADM與△CDE中，∴△ADM≌△CDE（ASA），∴DM=DE，∴矩形MNED是正方形.∵，∴正方形MNED的面積為.②如圖，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BE，垂足為P.可證明圖中的6與5位置的兩個(gè)直角三角形全等，4與3位置的兩個(gè)直角三角形全等，1與2位置的兩個(gè)直角三角形全等，因此將5放到6的位置，將4放到3的位置，將1放到2的位置，恰好拼接成正方形MNED.（2）能.理由如下：從上述拼接過(guò)程可以看出：任意兩個(gè)正方形都可以拼接為一個(gè)正方形，而拼接出的這個(gè)正方形可以與第三個(gè)正方形再拼接為一個(gè)正方形……以此類推，對(duì)于n（n是大于2的自然數(shù)）個(gè)任意的正方形，可以通過(guò)（n-1）次拼接，得到一個(gè)正方形.點(diǎn)撥：本題考查了正方形的性質(zhì)以及正方形的判定定理在操作型問(wèn)題中的應(yīng)用.2.答案：（1）C（2）①證明：∵AF，∴四邊形是平行四邊形∵，AD=5，∴AE=3.∵EF=4，∠E=90°，∴.又∵AD=5，∴AD=AF.∴四邊形是菱形.②解：如圖，連接，DF.在Rt△中，AE=3，=EF+=4+5=9，由勾股定理可得=.在Rt△中，=-EF=5-4=1，=AE=3，由勾股定理得DF=.∴四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是和.3.答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD.∴∠FAG=∠CDG.又∵AG=DG，∠AGF=∠DGC，∴△AFG≌△DCG.∴AF=CD，∴AB=AF.（2）解：四邊形ACDF是矩形.證明如下：∵AF∥CD，AF=CD，∴四邊形ACDF是平行四邊形.∴CG=FG.在ABCD中，∠BCD=120°，∴∠BAD=120°，∴∠FAG=60°.∵AG=AB，AB=AF，∴AG=AF.∴△AFG是等邊三角形，∴AG=FG.又∵AG=DG，∴AD=CF.∴四邊形ACDF是矩形.4.答案：（1）證明：在Rt△FCD中，∵點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，∴CG=DF.同理，EG=DF.∴EG=CG.（2）解：成立.證明如下：如圖，連接AG，過(guò)點(diǎn)G作直線MN⊥AD交AD于點(diǎn)M，與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N.易知四邊形AENM為矩形.在△DMG與△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠DMG=∠FNG=90°，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG.在矩形AENM中，AM=EN.在△AMG與△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG=90°，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG.∵四邊形ABCD為正方形，BD為對(duì)角線，∴∠ADG=∠CDG，AD=CD.又∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG=CG，∴EG=CG.（3）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG，其他結(jié)論還有EG⊥CG.5.答案：解：（1）如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.（2）如圖①，共有兩個(gè)“友好矩形”，分別為矩形BCAD，矩形ABEF.易知，矩形BCAD，矩形ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，∴△ABC的兩個(gè)“友好矩形”的面積相等.（3）如圖②，共有3個(gè)“友好矩形”，分別為矩形BCDE，矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周長(zhǎng)最小.