第1頁：封面標(biāo)題：26.2.1反比例函數(shù)在實際中的應(yīng)用副標(biāo)題：人教版九年級數(shù)學(xué)下冊配圖：融合多個實際場景（如抽水灌溉、快遞運輸、電路電阻與電流）的插畫，背景疊加淡淡的反比例函數(shù)雙曲線落款：授課教師/日期第2頁：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能：能從實際問題中識別反比例關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型會運用反比例函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)解決工程、行程、經(jīng)濟等領(lǐng)域的實際問題能根據(jù)實際問題的取值范圍，合理確定函數(shù)的自變量與函數(shù)值過程與方法：經(jīng)歷“實際問題→抽象數(shù)學(xué)關(guān)系→建立函數(shù)模型→求解驗證”的完整過程，提升數(shù)學(xué)建模能力通過多場景應(yīng)用練習(xí)，培養(yǎng)分析問題、解決問題的邏輯思維情感態(tài)度：體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的工具性價值，增強應(yīng)用意識在小組討論與合作探究中，培養(yǎng)團隊協(xié)作精神和創(chuàng)新思維第3頁：情境引入——生活中的反比例關(guān)系問題展示：情境1：農(nóng)場灌溉一塊農(nóng)田，每畝用水量固定，灌溉總面積與總用水量的關(guān)系？（不成反比例，為正比例）情境2：快遞員送一批貨物，總路程固定，行駛速度與所需時間的關(guān)系？（成反比例）情境3：工廠生產(chǎn)一批零件，總工作量固定，工作人數(shù)與完成時間的關(guān)系？（成反比例）思考提問：如何判斷兩個變量是否成反比例關(guān)系？（兩個變量的乘積為定值，且均不為0）引入課題：今天我們將學(xué)習(xí)如何用反比例函數(shù)解決這類具有反比例關(guān)系的實際問題第4頁：核心方法——實際問題的反比例函數(shù)建模步驟建模四步法：第一步：審題意，定變量：明確題目中的兩個變量（設(shè)為x和y），判斷是否成反比例關(guān)系第二步：設(shè)解析式，求k值：設(shè)反比例函數(shù)解析式為\(y=\frac{k}{x}\)（k≠0），利用題目中給出的一組對應(yīng)值，代入求出k的值（k=xy）第三步：定范圍，解問題：根據(jù)實際問題的意義，確定自變量x的取值范圍（如時間x>0、人數(shù)x為正整數(shù)），再代入具體數(shù)值求解函數(shù)值y，或根據(jù)函數(shù)值求自變量第四步：驗結(jié)果，作回答：驗證求解結(jié)果是否符合實際情況，最后規(guī)范書寫答案溫馨提示：k值的實際意義需結(jié)合場景說明（如k表示總路程、總工作量等）第5頁：應(yīng)用場景一——工程問題典型例題：例1：某工程隊承接一項道路維修工程，計劃12天完成，每天需維修200米。由于天氣原因，實際每天維修量減少，完成工程的時間隨之增加。（1）求維修道路的總長度；（2）設(shè)實際每天維修x米，完成工程所需時間為y天，求y與x的函數(shù)解析式；（3）若實際每天最多維修150米，求完成工程至少需要多少天？詳細(xì)解析：（1）總長度=12×200=2400（米）；（2）由反比例關(guān)系得\(y=\frac{2400}{x}\)（x>0）；（3）當(dāng)x=150時，\(y=\frac{2400}{150}=16\)（天），故至少需要16天。方法總結(jié)：工程問題中，總工作量為定值時，工作效率與工作時間成反比例，建模核心是先求總工作量（即k值）。第6頁：應(yīng)用場景二——行程問題典型例題：例2：小明一家自駕前往距家360千米的景區(qū)游玩，行駛速度v（千米/時）與行駛時間t（時）的關(guān)系如下：（1）寫出v與t的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；（2）若高速公路限速120千米/時，求最短行駛時間；（3）若行駛時間不超過4小時，求行駛速度至少為多少？詳細(xì)解析：（1）總路程=360千米，故\(v=\frac{360}{t}\)（t>0）；（2）當(dāng)v=120時，\(t=\frac{360}{120}=3\)（時），最短行駛時間為3小時；（3）當(dāng)t=4時，\(v=\frac{360}{4}=90\)（千米/時），故速度至少為90千米/時。易錯提醒：行程問題中需注意速度的實際限制（如限速），自變量取值范圍要結(jié)合實際情況確定。第7頁：應(yīng)用場景三——經(jīng)濟問題典型例題：例3：某文具店銷售一種筆記本，若按每本10元的價格銷售，每月可售出300本。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，筆記本單價每上漲1元，月銷售量就減少30本。當(dāng)單價定為多少元時，月銷售額達(dá)到3600元？（銷售額=單價

×

銷售量）（注：本題先判斷是否為反比例關(guān)系，再建模求解）詳細(xì)解析：設(shè)單價上漲x元，此時單價為(10+x)元，月銷售量為(300-30x)本；銷售額=(10+x)(300-30x)=3600；化簡得：\(-30x?2+0x+3000=3600\)，即\(x?2=20\)（此處修正：實際計算應(yīng)為-30x2+0x+3000=3600→-30x2=600→x2=-20，顯然錯誤，重新調(diào)整題目數(shù)據(jù)：若單價每上漲1元，月銷售量減少20本）修正后：銷售額=(10+x)(300-20x)=3600；展開：3000-200x+300x-20x2=3600→-20x2+100x-600=0→x2-5x+30=0（仍錯誤，再次調(diào)整：原月銷售量300本，單價10元，銷售額3000元；若單價每下降1元，月銷售量增加50本，求銷售額達(dá)到3200元時的單價）最終修正例題：設(shè)單價下降x元，單價為(10-x)元，銷售量為(300+50x)本，銷售額=(10-x)(300+50x)=3200；展開：3000+500x-300x-50x2=3200→-50x2+200x-200=0→x2-4x+4=0→x=2，故單價為10-2=8元。方法總結(jié)：經(jīng)濟問題中，需明確單價、數(shù)量與總價的關(guān)系，先判斷變量間是否為反比例關(guān)系，再選擇合適的函數(shù)模型求解。第8頁：應(yīng)用場景四——物理問題典型例題：例4：在電路中，當(dāng)電壓U（伏特）一定時，電流I（安培）與電阻R（歐姆）成反比例關(guān)系。已知當(dāng)R=10歐姆時，I=2.4安培。（1）求U的值及I與R的函數(shù)解析式；（2）若電阻R不得超過15歐姆，求電流I的最小值；（3）若電流I的范圍是0.8≤I≤3，求電阻R的取值范圍。詳細(xì)解析：（1）由物理公式U=IR，得U=10×2.4=24（伏特），故\(I=\frac{24}{R}\)（R>0）；（2）當(dāng)R=15時，\(I=\frac{24}{15}=1.6\)（安培），故電流最小值為1.6安培；（3）當(dāng)I=0.8時，\(R=\frac{24}{0.8}=30\)；當(dāng)I=3時，\(R=\frac{24}{3}=8\)，故R的取值范圍是8≤R≤30。學(xué)科融合：物理中常見的反比例關(guān)系還有“壓力一定時，壓強與受力面積的關(guān)系”“功一定時，力與距離的關(guān)系”，可結(jié)合物理知識加深理解。第9頁：綜合應(yīng)用——多變量問題典型例題：例5：某工廠生產(chǎn)一批玩具，原計劃由20名工人15天完成。實際生產(chǎn)時，先由30名工人生產(chǎn)了若干天，因訂單緊急，又增加10名工人，最終提前3天完成任務(wù)。（1）求每名工人每天的工作量（設(shè)為1份）及總工作量；（2）設(shè)30名工人生產(chǎn)了x天，求x的值。詳細(xì)解析：（1）總工作量=20×15×1=300（份）；（2）實際完成時間=15-3=12（天），30名工人生產(chǎn)x天，40名工人生產(chǎn)(12-x)天，總工作量=30x+40(12-x)=300；解得：30x+480-40x=300→-10x=-180→x=18（顯然錯誤，修正：提前3天完成，實際時間為15-3=12天，30名工人生產(chǎn)x天，40名工人生產(chǎn)(12-x)天，總工作量=30x+40(12-x)=300→30x+480-40x=300→-10x=-180→x=18，超過實際總時間12天，故調(diào)整題目：原計劃20名工人20天完成，實際30名工人生產(chǎn)x天，40名工人生產(chǎn)(16-x)天，提前4天完成）修正后：總工作量=20×20=400，30x+40(16-x)=400→30x+640-40x=400→-10x=-240→x=24（仍錯誤，重新設(shè)計：原計劃10名工人12天完成，實際15名工人生產(chǎn)x天，20名工人生產(chǎn)(10-x)天，提前2天完成）最終修正：總工作量=10×12=120，15x+20(10-x)=120→15x+200-20x=120→-5x=-80→x=16（仍錯誤，改為：原計劃15名工人10天完成，實際20名工人生產(chǎn)x天，10名工人生產(chǎn)(8-x)天，提前2天完成）總工作量=15×10=150，20x+10(8-x)=150→20x+80-10x=150→10x=70→x=7，符合實際。解題技巧：多變量問題中，需明確總工作量（或總?cè)蝿?wù)）為定值，通過各階段的工作量之和等于總工作量建立方程求解。第10頁：易錯點與解題技巧歸納常見易錯點：忽略實際問題中自變量的取值范圍（如人數(shù)為正整數(shù)、時間為正數(shù)）混淆正比例與反比例關(guān)系（如“速度一定時，路程與時間成正比例”，“路程一定時，速度與時間成反比例”）計算k值時，代入數(shù)據(jù)錯誤或單位不統(tǒng)一（如行程問題中速度單位為“千米/時”，時間單位需統(tǒng)一為“時”）實用解題技巧：遇到復(fù)雜問題時，先列表整理已知條件，明確變量間的關(guān)系求解后，將結(jié)果代入實際問題中驗證，確保符合題意利用反比例函數(shù)圖象輔助分析，直觀判斷變量的變化趨勢第11頁：鞏固練習(xí)工程問題：某裝修隊裝修一套房屋，原計劃18天完成，每天裝修30平方米。實際每天多裝修10平方米，實際多少天完成？行程問題：一輛貨車從甲地到乙地，原計劃以60千米/時的速度行駛，4小時到達(dá)。實際行駛時間比計劃多1小時，實際行駛速度是多少？經(jīng)濟問題：某水果店銷售蘋果，若按每千克8元銷售，每天可賣出100千克。若每千克降價0.5元，每天可多賣出20千克。當(dāng)銷售額為840元時，每千克蘋果的售價是多少？物理問題：在壓力一定時，壓強p（帕斯卡）與受力面積S（平方米）成反比例。已知當(dāng)S=0.2平方米時，p=3000帕斯卡。求當(dāng)S=0.3平方米時，p的值。第12頁：課堂小結(jié)知識梳理：實際問題中的反比例關(guān)系：工程、行程、經(jīng)濟、物理等場景建模步驟：審題意→設(shè)解析式→求k值→解問題→驗結(jié)果關(guān)鍵：明確定值（即k值），確定自變量取值范圍思想方法：數(shù)學(xué)建模思想：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)函數(shù)模型數(shù)形結(jié)合思想：利用反比例函數(shù)圖象分析變量變化規(guī)律方程思想：通過建立方程求解實際問題中的未知量核心收獲：掌握用反比例函數(shù)解決實際問題的方法，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力第13頁：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：完成教材對應(yīng)習(xí)題，解決2道工程問題和2道行程問題提升作業(yè)：某工廠要生產(chǎn)一批零件，若單獨由A車間生產(chǎn)，需要20天完成；若單獨由B車間生產(chǎn)，需要30天完成?，F(xiàn)A、B兩車間合作生產(chǎn)若干天后，A車間因其他任務(wù)停工，剩余零件由B車間單獨生產(chǎn)5天完成。求兩車間合作生產(chǎn)的天數(shù)。實踐作業(yè)：觀察生活中的一個反比例關(guān)系場景（如手機充電時，充電電流與充電時間），記錄3組對應(yīng)數(shù)據(jù)，建立反比例函數(shù)模型，并預(yù)測當(dāng)其中一個變量取某一值時，另一個變量的值2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊【公開課精做課件】授課教師：

.班級：

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時間：

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26.2.2反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用第二十六章

反比例函數(shù)aiTujmiaNg

在電影《西游·降魔篇》中，村民們?yōu)榱酥品狭Υ髴?zhàn).你能說說他們是如何制服水妖的嗎？

這個方法的原理是什么？

公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若杠桿上兩物體到支點的距離與其重量成反比，則杠桿平衡.后來人們把它歸納為“杠桿原理”.通俗地說，杠桿原理為：

阻力×阻力臂=動力×動力臂.阻力動力阻力臂動力臂例

1

小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m.(1)動力F

與動力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動力臂為

1.5m時，撬動石頭至少需要多大的力?對于函數(shù)，當(dāng)l=1.5m時，F(xiàn)=400N，此時杠桿平衡.因此撬動石頭至少需要400N的力.反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用典例精析解：根據(jù)“杠桿原理”，得Fl

=1200×0.5，∴F關(guān)于

l的函數(shù)解析式為解：當(dāng)

F=400×=200時，由200=，得(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，則動力臂

l至少要加長多少?提示：對于函數(shù)，F(xiàn)隨l的增大而減小.因此，只要求出F=200N時對應(yīng)的l的值，就能確定動力臂l至少應(yīng)加長的量.

3－1.5=1.5(m).對于函數(shù)，當(dāng)l＞0時，l越大，F(xiàn)越小.因此，若想用力不超過400N的一半，則動力臂至少要加長1.5m.

在物理學(xué)中，我們知道，當(dāng)阻力和阻力臂一定時，動力臂越長就越省力，你能用反比例函數(shù)的知識對其進(jìn)行解釋嗎？想一想：

假定地球重量的近似值為6×1025

牛頓(即阻力)，阿基米德有500牛頓的力量，阻力臂為2000千米，請你幫助阿基米德設(shè)計，該用多長動力臂的杠桿才能把地球撬動？由已知得

F×l＝6×1025×2×106=1.2×1032，令F=

500N，得

l=2.4×1029米，解：2000千米=2×106米，練一練變形得故用

2.4×1029米長的動力臂的杠桿才能把地球撬動.例2某校科技小組進(jìn)行野外考察，利用鋪墊木板的方式通過一片爛泥濕地.當(dāng)人和木板對濕地的壓力F一定時，隨著木板面積S(m2)的變化，人和木板對地面的壓強p(Pa)也隨之變化變化.如果人和木板對濕地地面的壓力F合計為600N，那么：(1)用含S的代數(shù)式表示p，p是S的反比例函數(shù)嗎？解：由，得p是S的反比例函數(shù)．(2)當(dāng)木板面積為0.2m2時，壓強是多少？解：當(dāng)S＝

0.2m2時，故當(dāng)木板面積為

0.2m2

時，壓強是

3000Pa．(3)如果要求壓強不超過6000Pa，木板面積至少要多大？解：當(dāng)p

=6000時，由得對于函數(shù)，當(dāng)S＞0時，S越大，p越小.因此，若要求壓強不超過6000Pa，則木板面積至少要0.1m2.(4)在平面直角坐標(biāo)系中，作出相應(yīng)的函數(shù)圖象．20000.10.5O0.60.30.20.410003000400050006000S/m2p/Pa解：如圖所示.某人對地面的壓強與他和地面接觸面積的函數(shù)關(guān)系如圖所示．若某一沼澤地地面能承受的壓強不超過300N/m2，那么此人應(yīng)站立在面積為多少的木板上才不會下陷(木板重量忽略不計)()A.至少2m2

B.至多2m2

C.大于2m2

D.小于2m2

練一練204060O602040S/m2p/(N/m2)A例3一個用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為

110Ω～220Ω.已知電壓為220V，這個用電器的電路圖如圖所示.(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系?U~解：根據(jù)電學(xué)知識，當(dāng)U=220時，得(2)這個用電器功率的范圍是多少?解：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，電阻越大，功率越小.把電阻的最小值R=110代入解析式，得到功率的最大值把電阻的最大值R=220代入解析式，得到功率的最小值因此用電器功率的范圍為

220W

~

440W.1.在公式中，當(dāng)電壓U一定時，電流I與電阻

R之間的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示大致為()D練一練ABCDIRIRIRIROOOO2.在某一電路中，電壓保持不變，電流I(A)和電阻

R(Ω)成反比例，當(dāng)電阻R＝5Ω時，電流I＝2A．(1)求I與R之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)電流I＝0.5時，求電阻R的值．

解：(1)設(shè)，∵當(dāng)R=5Ω時，I=2A，∴U=2×5=10(V)．∴I與R之間的函數(shù)關(guān)系式為

(2)當(dāng)

I=0.5A時，，解得R=20(Ω)．1.當(dāng)電壓為220V時(電壓=電流×電阻)，通過電路的電流I(A)與電路中的電阻R(Ω)之間的函數(shù)關(guān)系為()B.I=220RD.R=220IA.C.A2.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓為

120kPa時，氣球的體積應(yīng)為()A.B.C.D.CO60V/m3p/kPa1.61．根據(jù)物理學(xué)知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強p(Pa)是它的受力面積S(m2)的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)【點撥】【答案】A返回452．[2024臺州一模]在物理學(xué)中，用電功率表示電流做功的快慢．已知在串聯(lián)電路中，電阻與電功率成正比；在并聯(lián)電路中，電阻與電功率成反比．如圖①，把兩個電阻R1和R2串聯(lián)在電路中，R1與R2的電功率之比是3：2.如圖②，當(dāng)把它們并聯(lián)在電路中，R1的電功率是30W，則R2的電功率是________W.【點撥】根據(jù)題意知，當(dāng)兩個電阻串聯(lián)時，電阻與電功率成正比，則兩電阻之比等于其消耗功率之比．∵R1與R2的電功率之比是3：2，∴R1：R2＝3：2.返回3．[2024漳州期末]阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”．這句話精辟地闡明了一個重要的物理學(xué)知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．張師傅欲用撬棍撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別為900N和1m. (1)求動力F與動力臂l的函數(shù)解析式. (2)當(dāng)動力臂l為2m時，則撬動這塊石頭至少需要的動力F是多少？

返回4．如圖①，區(qū)間測速是指檢測機動車在兩個相鄰測速監(jiān)控點之間的