人教A版2019高中數(shù)學選修13.1綜合拔高練已知橢圓C的焦點為F1-1,0，F(xiàn)21,0，過F2的直線與C交于A，B兩點．若AF2=2F2 A．x22+y2=1 B．x23+y2設F1，F(xiàn)2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若已知橢圓x29+y25=1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點在以原點O為圓心，OF已知橢圓x2a2+y2b2 A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1 A．63 B．33 C．23 D．已知點P0,1，橢圓x24+y2=m（m>1）上兩點A，B滿足AP=2PB，則當已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為36 A．23 B．12 C．13 D．設橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F(1)求橢圓的方程；(2)設點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與x軸的交點，點N在y軸的負半軸上．若∣ON∣=∣OF∣（O為原點），且OP⊥MN，求直線PB的斜率．已知點A-2,0，B2,0，動點Mx,y滿足直線AM與BM的斜率之積為-12．記M(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G．（?。┳C明：△PQG是直角三角形；（ⅱ）求△PQG面積的最大值．已知橢圓C：x2a2+y24=1a>0的一個焦點為 A．22 B．6 C．6 D．8已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過M的右焦點F3,0作直線交橢圓于A，B兩點，若AB的中點坐標為 A．x29+y26=1 B．x24+y已知橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，如果C上存在一點 A．0,12 B．12,1 C．0,32已知點O為坐標原點，點F是橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點，點A-2,0，B2,0分別為C的左、右頂點，點P為橢圓C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l交線段PF于點M，與y軸交于點E．若直線BM經過 A．4 B．32 C．2 D．3設橢圓C：x249+y2b2=10<b<7的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，經過點F1的直線與橢圓C相交于M，N兩點，若 A．5 B．26 C．10 D．4如圖，兩個橢圓x225+y29=1，y225+x29=1 A．P到F1-4,0，F(xiàn)24,0，E B．曲線C關于直線y=x，y=-x均對稱 C．曲線C所圍區(qū)域面積必小于36 D．曲線C總長度不大于6πP是橢圓x216+y29=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點，若設F1，F(xiàn)2分別是橢圓x216+y29=1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為A0,1，B0,-1，焦距為(1)求橢圓C的方程．(2)已知直線y=m與橢圓C有兩個不同的交點M，N，設D為直線AN上一點，且直線BD，BM的斜率的積為-14．證明：點D在x如圖，在平面直角坐標系Oxy中，橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦點為F1-1,0，F(xiàn)21,0．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:x-12+y2=4a2交于點A，與橢圓C交于點D．連接A(1)求橢圓C的標準方程；(2)求點E的坐標．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知平面直角坐標系Oxy中，橢圓C：x2a2+y2(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點P1,0的直線l與C交于不同的兩點A，B，求△OAB如圖，已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0過點1,22，離心率為22，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線PF1，PF2的斜率分別為①證明：1k②問直線l上是否存在點P，使得直線OA，OB，OC，OD的斜率kOA，kOB，kOC，kOD滿足kOA

答案1.【答案】B【解析】設F2B=xx>0，則AF2=2x由橢圓的定義知BF所以AF在△BF1F2即9x在△AF1F2即4x由①②，得x=3所以2a=4x=23，a=所以b2故橢圓的方程為x2故選B．2.【答案】(3,15【解析】不妨設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C由M點在第一象限，△MF1F2又由橢圓方程x2知∣F1F所以∣F1M∣=∣設Mx則x0解得x0=3，y0=3.【答案】15【解析】如圖，記橢圓的右焦點為F?，取PF中點M，由題知a=3，b=5所以c=2，連接OM，PF?，則OM=又因為M為PF的中點，所以PF?=2OM，所以PF?=4又因為P在橢圓上，所以PF?+所以PF=2在△PFF?中，PF?=FF?=4連接F?M，F(xiàn)M=1，則F?M⊥PF，所以F?M=所以kPF即直線PF的斜率為15．4.【答案】B【解析】由題意知a2整理，得3a故選B．5.【答案】A【解析】以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2+所以∣b×0-a×0+2ab∣b2+-a所以a2因為a2所以c2所以e=c6.【答案】5【解析】設Bt,u，由AP=2PB，易得因為點A，B都在橢圓上，所以t2從而有3t24+3所以4u-3=m?u=m+3所以t2所以t2所以當m=5時，t2max=4，即故當m=5時，點B橫坐標的絕對值最大．7.【答案】D【解析】由題意可得直線AP的方程為y=3直線PF2的方程為聯(lián)立①②，得y=3如圖，過P向x軸引垂線，垂足為H，則PH=3因為∠PF2H=60°所以sin60即a+c=5c，即a=4c，所以e=c故選D．8.【答案】(1)設橢圓的半焦距為c，依題意，得2b=4，ca又a2所以a=5，b=2，c=1所以橢圓的方程為x2(2)由題意，設PxP,設直線PB的斜率為kk≠0，又B則直線PB的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立，得y=kx+2,x整理，得4+5k可得xP代入y=kx+2，得yP進而直線OP的斜率yP在y=kx+2中，令y=0，得xM由題意得N0,-1所以直線MN的斜率為-k由OP⊥MN，得4-5k化簡，得k2從而k=±2所以直線PB的斜率為2305或9.【答案】(1)由題設得yx+2化簡，得x2所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左、右頂點．(2)（?。┰O直線PQ的斜率為k，則其方程為y=kxk>0由y=kx,x24+y記u=21+2k2，則Pu,uk于是直線QG的斜率為k2，方程為y=由y=k2x-u,x設GxG,yG，則-u和故xG=u3從而直線PG的斜率為uk所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．（ⅱ）由（?。┑猫OPQ∣=2u1+k2所以△PQG的面積S=設t=k+1k，則由k>0得t≥2，當且僅當k=1因為S=8t1+2t2在所以當t=2，即k=1時，S取得最大值，最大值為169因此△PQG面積的最大值為16910.【答案】A【解析】由橢圓的焦點為2,0知，a>2，因此，a2=4+22=8，從而11.【答案】D【解析】設Ax1,則x1又x1+x2=4所以4b2-2a又c2所以b2+9=2b2，解得b所以橢圓M的方程為x212.【答案】D【解析】設橢圓的上頂點為B2如圖所示，∠F依題意得，∠F所以∠OB2F2≥60°所以c2a2≥又0<e<1，所以32≤e<1，故選13.【答案】B【解析】由題意知，a=2，因為PF⊥x軸，所以設M-c,t則直線AM的方程為y-0=t令x=0，得y=2t所以直線AM與y軸的交點E的坐標為0,2t又直線BM的方程為y-0=-t令x=0，得y=2t所以直線BM與y軸的交點N的坐標為0,2t由題意知，點N為線段OE上靠近O的一個三等分點，所以3?2t2+c=2t在橢圓中，b2所以∣PF∣=b14.【答案】D【解析】因為橢圓x2所以a=7，設F1-c,0，F(xiàn)2c,0因為7∣MF所以3∣MF不妨設∣MF1∣=4t由橢圓的定義可得∣NF2∣=14-∣N即有2c+4t=14，即c+2t=7.???①取MF1的中點K，連接KF2由勾股定理可得MF即2c2由①②，解得t=1,c=5或c=7,又c2所以b2所以b=26所以2b=4615.【答案】B；C【解析】易知F1-4,0，F(xiàn)24,0分別為橢圓x225+y29=1的兩個焦點，E10,-4，E20,4分別為橢圓y225+x29=1的兩個焦點．若點P僅在橢圓x225+y29=1上，則P到F1-4,0，F(xiàn)24,0兩點的距離之和為定值，到E10,-4，E20,4兩點的距離之和不為定值，故A錯誤；兩個橢圓關于直線y=x，y=-x均對稱，則曲線C16.【答案】60°【解析】因為P是橢圓x216+y29=1所以PF1+因為PF所以PF1=2，PF2=6在△F1PF2所以∠F17.【答案】239【解析】由PF1的中點在y軸上知P因為a2=16，所以c2不妨設P7,y0解得y02=81又∣PF所以∣PF所以∣PF18.【答案】(1)依題意，設橢圓C的方程為x2a2因為b=1，半焦距c=3所以a2所以橢圓C的方程為x2(2)依題意，設Mn,m，N-n,m，則n2所以n2由A，N，D三點共線，得kAN=kAD所以m-1n由kBD?kBM所以m+1n由②③，得m2將①代入，得y1-1y1故點D在x軸上．19.【答案】(1)設橢圓C的焦距為2c，因為F1-1,0，所以F1F2又因為DF1=5所以DF因此2a=DF1+DF由b2=a2因此橢圓C的標準方程為x2(2)解法一：由（1）知，橢圓C:x24因為AF2所以點A的橫坐標為1，將x=1代入圓F2的方程x-12+y因為點A在x軸上方，所以A1,4又F1所以直線AF由y=2x+2,x-12+y2解得x=1或x=-11將x=-115代入y=2x+2，得因此B-又F2所以直線BF由y=34x-1,x24+y23=1,又因為E是線段BF2所以x=-1，將x=-1代入y=34x-1，得因此E-1,-解法二：由（1）知，橢圓C:x如圖，連接EF因為BF2=2a所以EF1=EB，從而因為F2所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而因為AF2所以EF1因為F1由x=-1,x24+y又因為E是線段BF2所以y=-3因此E-1,-20.【答案】(1)依題意得ab=23解得a=2,b=所以橢圓C的標準方程是x2(2)由題意得，直線l的斜率不能為0，設直線l的方程為x=my+1，由方程組x=my+1,x得3m設Ax1,所以y1+y所以y1所以S△OAB令t=m2+1則m2=t因為y=3t+1t在1,+∞所以當t=1，即m=0時，△OAB的面積取得最大值3221.【答案】(1)因為橢圓過點1,22，離心率所以1a2+又a2=b2+c2，所以故所求橢圓的標準方程為x2(2)①證法一：由于F1-1,0，F(xiàn)21,0，直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k所以k1≠k2，所以直線PF1，PF2的方程分別為聯(lián)立方程，解得x=k所以Pk由于點