專題03分式及分式方程

考點(diǎn)01分式值為0或有意義

1

1．（2025·山東·中考真題）寫(xiě)出使分式有意義的x的一個(gè)值．

2x3

【答案】1（不唯一）

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件為分母不等于零是解題的關(guān)鍵．

先根據(jù)分式有意義的確定x的取值范圍，然后確定x的可能取的值即可．

1

【詳解】解：∵分式有意義，

2x3

3

∴2x30，解得：x．

2

∴x的取值可以為x1．

故答案為：1（不唯一）．

3

2．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為．

x1

【答案】x1/1x

【分析】本題考查代數(shù)式有意義，根據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：由題意，得：x10，

解得：x1；

故答案為：x1．

x

3．（2023·山東·中考真題）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

x2

A．x2B．x0C．x2D．x0且x2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得到不等式組，解不等式組即可得到答案．

【詳解】解：∵代數(shù)式x有意義，

x2

x0

∴，

x20

解得x0且x2，

故選：D

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

x1

4．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）若分式的值為0，則x的值是．

2x

【答案】1

【分析】直接利用分式值為零的條件，則分子為零進(jìn)而得出答案．

x1

【詳解】∵分式的值為0，

2x

∴x?1＝0，2x≠0

解得：x＝1．

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式值為零的條件，正確把握分式的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)02分式的化簡(jiǎn)計(jì)算

1x

1．（2025·山東濰坊·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是（）

x11x

x1

A．1B．1C．0D．

x1

【答案】B

【分析】本題考查分式的加法運(yùn)算，將分母化為同分母，再根據(jù)同分母分式的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可．

1x1x1x

【詳解】解：1；

x11xx1x1x1

故選B．

4x2

2．（2024·山東威海·中考真題）計(jì)算：．

x22x

【答案】x2/2x

【分析】本題考查分式的加減，根據(jù)同分母分式的加減法則解題即可．

4x2

【詳解】

x22x

4x2

x2x2

4x2

x2

2x2x

x2

x2．

故答案為：x2．

21x24x4

3．（2023·山東濰坊·中考真題）（1）化簡(jiǎn)：

xx1x22x

3x421x

（2）利用數(shù)軸，確定不等式組x12x的解集．

3

23

x2

【答案】（1）；（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析，不等式組的解集為：2x3．

x1

【分析】（1）先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的減法，再通分計(jì)算分式的加法運(yùn)算即可；

（2）分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，再在數(shù)軸上表示兩個(gè)不等式的解集，再確定兩個(gè)解集的公共部分即

可．

21x24x4

【詳解】解：（1）

xx1x22x

2

2x2xx2

xx1xx2

x2x2

xx1x

x2x23x2

xx1xx1

x22x

xx1

xx2

xx1

x2

；

x1

3x421x①

（2）x12x，

3②

23

由①得：3x1222x，

解得：x2，

由②得：3x3184x，

解得：x3，

兩個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

∴不等式組的解集為：2x3．

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的加減運(yùn)算，一元一次不等式組的解法，熟記分式的加減運(yùn)算的運(yùn)算法則與解

不等式組的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．

1x

4．（2023·山東臨沂·中考真題）（1）解不等式52x，并在數(shù)軸上表示解集．

2

a2

（2）下面是某同學(xué)計(jì)算a1的解題過(guò)程：

a1

a2

解：a1

a1

a2(a1)2

①

a1a1

a2(a1)2

②

a1

a2a2a1

③

a1

a1

1④

a1

上述解題過(guò)程從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出正確的解題過(guò)程．

【答案】（1）x3（2）從第①步開(kāi)始出錯(cuò)，過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)解不等式的步驟，解不等式即可；

（2）根據(jù)分式的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可．

1x

【詳解】解：（1）52x，

2

去分母，得：104x1x，

移項(xiàng)，合并，得：3x9，

系數(shù)化1，得：x3；

（2）從第①步開(kāi)始出錯(cuò)，正確的解題過(guò)程如下：

a2a2a1a1

a1

a1a1a1

a2a21

a1a1

1

．

a1

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，分式的加減運(yùn)算．熟練掌握解不等式的步驟，分式的運(yùn)算法則，是

解題的關(guān)鍵．

5．（2025·山東青島·中考真題）【定義新運(yùn)算】

ab

對(duì)正實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“”，滿足ab．

ab

2a12a

例如：當(dāng)a0時(shí)，2a1．

2a12a1

（1）當(dāng)a0時(shí)，請(qǐng)計(jì)算：2a2a__________；

【探究運(yùn)算律】

對(duì)正實(shí)數(shù)a，b，運(yùn)算“”是否滿足交換律abba？

ab

ab，

ab

ba

ba，

ba

abba．

運(yùn)算“”滿足交換律abba．

（2）對(duì)正實(shí)數(shù)a，b，c，運(yùn)算“”是否滿足結(jié)合律abcabc？請(qǐng)說(shuō)明理由；

【應(yīng)用新運(yùn)算】

（3）如圖，正方形ABCD是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH拼成，AFa，BFb，

且ab．若正方形ABCD與正方形EFGH的面積分別為26和16，則2ab2a的值為_(kāi)_________．

5

【答案】（1）a；（2）滿足，理由見(jiàn)解析；（3）

6

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，涉及完全平方公式變形求值，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，分式的混

合運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

（1）直接按照新定義計(jì)算即可；

（2）按照新定義結(jié)合分式的混合運(yùn)算法則分別計(jì)算等號(hào)左邊和右邊，進(jìn)行驗(yàn)證即可；

2

（3）由勾股定理得到a2b226，由全等三角形的性質(zhì)得到EFAFAEab，則ab16，然后

22

展開(kāi)求出ab，再由完全平方公式變形得到abab4ab36，求出ab，最后按照新定義結(jié)合運(yùn)

算法則計(jì)算即可．

2a2a4a2

【詳解】（1）解：由新定義得，2a2aa；

2a2a4a

（2）解：對(duì)正實(shí)數(shù)a，b，c，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律abcabc，理由如下：

ababc

c

ababc

左邊：abccabab，

ababacbc

abcabacbc

abab

bcabc

a

bcabc

右邊：abcabcbc，

bcabacbc

bcaabacbc

bcbc

∴左邊右邊，

∴對(duì)正實(shí)數(shù)a，b，c，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律abcabc；

（3）由題意得，AFB90，

∴AF2BF2AB2，

∵AFa，BFb，且ab，正方形ABCD的面積為26，

∴a2b226，

∵四個(gè)直角三角形全等，

∴AEBFb，

∴EFAFAEab，

∵正方形EFGH的面積為16，

2

∴ab16，

∴a2b22ab16，

∴262ab16，

∴ab5，

22

∴abab4ab164536，

∴ab6（舍負(fù)），

ab5

∴2ab2a2a2abab，

ab6

5

故答案為：．

6

考點(diǎn)03分式化簡(jiǎn)求值

1

031

1．（2025·山東東營(yíng)·中考真題）（1）計(jì)算：2sin603.14π27

2

a26a95a1

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：a2，其中a是使不等式1成立的正整數(shù)．

a22a2

a31

【答案】（1）3；（2），

a32

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，分式化簡(jiǎn)求值，分式有意義的條件，解

不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．

（1）先把特殊角的三角函數(shù)值代入，并計(jì)算零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，再算加減即可；

（2）先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求出不等式的解集，得出正整數(shù)a的值，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即

可．

3

【詳解】解：（1）原式2132

2

3132

3；

a26a95

（2）(a2)

a22a

(a3)2(a2)(a2)5

a2a2

2

a3a29

a2a2

(a3)2a2

a2a29

(a3)2a2

a2(a3)(a3)

a3

，

a3

a1

a是使不等式1成立的正整數(shù)，

2

a3且a為正整數(shù)，

a1，2，3，

又a20，(a3)(a3)0，

a2，3，3，

a1，

131

當(dāng)a1時(shí)，原式．

132

1

2．（2025·山東·中考真題）（1）計(jì)算：9π0；

3

21

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：x11，其中x2．

x1

【答案】（1）2；（2）x2x2，4

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式化簡(jiǎn)求值．

（1）根據(jù)零指數(shù)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可求解；

（2）先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后進(jìn)行乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解．

1

【詳解】解：（1）9π0

3

1

31

3

11

2；

21

（2）x11

x1

1x1

x1x1

x1x1

x2

x1x1

x1

x2x1

x2x2；

當(dāng)x2時(shí)，原式22224．

4m2025

3．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：2m，其中m1．

m23m6

【答案】3m，3

【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的加減運(yùn)算，再計(jì)算除法運(yùn)算，最后把

2025

m11代入計(jì)算即可.

4m

【詳解】解：2m

m23m6

m2443m2

m2m

m23m2

m2m

3m，

2025

∵m11，

∴原式313.

2x57

4．（2024·山東日照·中考真題）（1）解不等式組

52x236x

x3x2x3

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x滿足x22x10．

x2xx22x1x

311

【答案】（1）x6（2）；

2x22x12

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是：

（1）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”

求出不等式組的解集即可；

1

（2）根據(jù)分式混合運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)，得，再把x22x10變形為x22x1，然后利用整體

x22x1

代入的方法計(jì)算即可．

2x57①

【詳解】解：（1）

52x236x②

解不等式①得x6，

3

解不等式②得x，

2

3

不等式組的解集x6．

2

x3xx

（2）原式2

xx1x12x3

(x3)(x1)x2x

x(x1)22x3

2x3x

2

xx12x3

1

2

x1

1

．

x22x1

當(dāng)x22x10時(shí)，x22x1，

1

原式

2

x1

1

5．（2024·山東青島·中考真題）（1）解不等式組：2；

x3x2

a21a21

（2）先化簡(jiǎn)2，再?gòu)?，0，3中選一個(gè)合．適．的數(shù)作為a的值代入求值．

aa

a11

【答案】（1）3x3；（2），當(dāng)a3時(shí)，原式

a12

【分析】（1）分別求出每個(gè)不等式的解集，取解集的公共部分即可；

（2）利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)分式有意義的條件可知a0，1，1，再?gòu)?和

3任選一個(gè)數(shù)代入化簡(jiǎn)后的結(jié)果中計(jì)算即可；

本題考查了解一元一次不等式組，分式的化簡(jiǎn)求值，分式有意義的條件，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

x1

1①

【詳解】解：（1）2，

x3x2②

由①得，x3，

由②得，x3，

∴不等式組的解集為3x3；

a212aa

（2）原式

aaa1a1

a22a1a

，

aa1a1

2

a1a

，

aa1a1

a1

，

a1

∵a0，1，1，

311

∴當(dāng)a3時(shí)，原式

312

21

當(dāng)a2時(shí)，原式3．

21

2

1

6．（2024·山東濰坊·中考真題）（1）計(jì)算：383；

2

3a2

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：a1，其中a32．

a1a1

【答案】（1）1；（2）a2，3

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握立方根，負(fù)指數(shù)，絕對(duì)值，分式的混合

運(yùn)算，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

（1）先化簡(jiǎn)立方根，負(fù)指數(shù)，絕對(duì)值，再相加減；

（2）先括號(hào)內(nèi)通分，分子分解因式，除法換作乘法，約分化簡(jiǎn)，再代入a值，合并即得．

2

31

【詳解】（1）83

2

2

2213

243

1；

3a2

（2）a1

a1a1

a213a2

a1a1

a2(a2)a1

a1a2

a2；

當(dāng)a32時(shí)，

原式3223．

3xxx

7．（2023·山東·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x，y滿足2xy30．

xyxyx2y2

【答案】4x2y，6

【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)將除法變?yōu)槌朔?，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)

果，將2xy30變形整體代入計(jì)算即可求解．

3xxyxxyxyxy

【詳解】解：原式

xyxyxyxyx

3x23xyx2xyxyxy

xyxyx

4x22xyxyxy

xyxyx

4x2y；

由2xy30，得到2xy3，

則原式22xy6．

【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵熟練掌握分式混合運(yùn)算的順序以及整體代入法求解．

a4a2a1

8．（2023·山東濱州·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足

aa22aa24a4

1

21

aa6cos600．

4

【答案】a24a4；1

【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)負(fù)整數(shù)

指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，求得a24a30的值，最后將a24a30代入化簡(jiǎn)結(jié)果即可求解．

a4a2a1

【詳解】解：

aa22aa24a4

a4a2a2aa1

22

aaa2aa2

a4a2a2aa1

2

aaa2

2

a4aa2

aa24a2a

2

a2

a24a4；

1

21

∵aa6cos600，

4

即a24a30，

∴原式=a24a31011．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三

角函數(shù)值進(jìn)行求解．

考點(diǎn)04解分式方程

2x73x1

1．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）（1）解不等式組11，并把它的解集表示在數(shù)軸上；

x1x1

23

x21

（2）解分式方程1．

2x112x

【答案】（1）4x3，數(shù)軸表示見(jiàn)解析；（2）x0

【分析】本題考查了一元一次不等式組和分式方程的解法，熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程的方

法是解題的關(guān)鍵；

（1）先求得不等式組中每個(gè)不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式組的解集，進(jìn)而在數(shù)軸上表

示解集即可；

（2）分式方程去分母化為整式方程，求得整式方程的解后再檢驗(yàn)即得答案．

2x73x1①

【詳解】解：（1）11，

x1x1②

23

解不等式①，得x4，

解不等式②，得x3，

所以不等式組的解集是4x3，

不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：

x21

（2）1

2x112x

去分母，得x22x11，

解得：x0，

經(jīng)檢驗(yàn)：x0是原方程的解，

所以原方程的解是x0．

15

2．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）解分式方程1時(shí)，去分母變形正確的是（）

3x126x

A．26x25B．6x225

C．26x15D．6x215

【答案】A

【分析】本題考查通過(guò)去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡(jiǎn)公分母，即可去分

母．

15

【詳解】解：方程兩邊同乘26x，得26x26x26x，

3x126x

整理可得：26x25

故選：A．

x3m

3．（2023·山東日照·中考真題）若關(guān)于x的方程2解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）

x12x2

24242

A．mB．mC．m且m0D．m且m

33333

【答案】D

43m43m

【分析】將分式方程化為整式方程解得x，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得0，即可求出m的

22

取值范圍．

x3m

【詳解】解：2

x12x2

2x22x13m

2x4x43m

2x3m4

43m

x

2

x3m

∵方程2的解為正數(shù)，且分母不等于0

x12x2

43m43m

∴0，x1

22

42

∴m，且m

33

故選：D．

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出

整式方程的解，列出不等式是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．

m1

4．（2023·山東淄博·中考真題）已知x1是方程3的解，那么實(shí)數(shù)m的值為（）

2xx2

A．2B．2C．4D．4

【答案】B

【分析】將x1代入方程，即可求解．

m1

【詳解】解：將x1代入方程，得3

2112

解得：m2

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x1代入原方程中得到關(guān)于m的方程．

xm

5．（2023·山東聊城·中考真題）若關(guān)于x的分式方程1的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）

x11x

A．m≤1且m1B．m1且m1C．m1且m1D．m1且m1

【答案】A

【分析】把分式方程的解求出來(lái)，排除掉增根，根據(jù)方程的解是非負(fù)數(shù)列出不等式，最后求出m的范圍．

【詳解】解：方程兩邊都乘以x1，得：xx1m，

1m

解得：x，

2

1m

∵x10，即：1，

2

∴m1，

又∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

1m

∴0，

2

∴m≤1，

∴m的取值范圍是m≤1且m1，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，根據(jù)條件列出不等式是解題的關(guān)鍵，分式方程一定要檢驗(yàn)．

考點(diǎn)05分式方程的實(shí)際應(yīng)用

1．（2023·山東青島·中考真題）某校組織學(xué)生進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，用1000元購(gòu)進(jìn)甲種勞動(dòng)工具，用2400

元購(gòu)進(jìn)乙種勞動(dòng)工具，乙種勞動(dòng)工具購(gòu)買(mǎi)數(shù)量是甲種的2倍，但單價(jià)貴了4元．設(shè)甲種勞動(dòng)工具單價(jià)為x

元，則x滿足的分式方程為．

24001000

【答案】2

x4x

【分析】根據(jù)兩種勞動(dòng)工具單價(jià)間的關(guān)系，可得出乙種勞動(dòng)工具單價(jià)為x4元，利用數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，

結(jié)合乙種勞動(dòng)工具購(gòu)買(mǎi)數(shù)量是甲種的2倍，即可列出關(guān)于x的分式方程，此題得解．

【詳解】解：∵乙種勞動(dòng)工具的單價(jià)比甲種勞動(dòng)工具的單價(jià)貴了4元，且甲種勞動(dòng)工具單價(jià)為x元，

∴乙種勞動(dòng)工具單價(jià)為x4元．

24001000

根據(jù)題意得：2，

x4x

24001000

故答案為：2．

x4x

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

2．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）為扎實(shí)推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，東營(yíng)市某中學(xué)針對(duì)七年級(jí)學(xué)

生開(kāi)設(shè)了“跟我學(xué)面點(diǎn)”烹飪課程，課程開(kāi)設(shè)后學(xué)?；ㄙM(fèi)6000元購(gòu)進(jìn)第一批面粉，用完后學(xué)校又花費(fèi)9600

元購(gòu)進(jìn)了第二批面粉，第二批面粉的采購(gòu)量是第一批采購(gòu)量的1.5倍，但每千克面粉價(jià)格提高了0.4元．設(shè)

第一批面粉采購(gòu)量為x千克，依題意所列方程正確的是（）

960060009600600060009600

A．0.4B．0.4C．0.4

1.5xxx1.5x1.5xx

60009600

D．0.4

x1.5x

【答案】A

【分析】表示出第二批面粉的采購(gòu)量，根據(jù)“每千克面粉價(jià)格提高了0.4元”這一等量關(guān)系即可列方程．

【詳解】設(shè)第一批面粉采購(gòu)量為x千克，則設(shè)第二批面粉采購(gòu)量為1.5x千克，根據(jù)題意，得

96006000

0.4

1.5xx

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查列方程解決實(shí)際問(wèn)題，找出題中的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．

3．（2023·山東·中考真題）某校組織學(xué)生去郭永懷紀(jì)念館進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)．紀(jì)念館距學(xué)校72千米，部分學(xué)生

乘坐大型客車(chē)先行，出發(fā)12分鐘后，另一部分學(xué)生乘坐小型客車(chē)前往，結(jié)果同時(shí)到達(dá)．已知小型客車(chē)的速

度是大型客車(chē)速度的1.2倍，求大型客車(chē)的速度．

【答案】大型客車(chē)的速度為60km/h

【分析】設(shè)出慢車(chē)的速度，再利用慢車(chē)的速度表示出快車(chē)的速度，根據(jù)所用時(shí)間差為12分鐘列方程解答.

【詳解】解：設(shè)慢車(chē)的速度為xkm/h，則快車(chē)的速度為1.2xkm/h，

根據(jù)題意得

727212

，

x1.2x60

解得：x60，

經(jīng)檢驗(yàn)，x60是原方程的根.

故大型客車(chē)的速度為60km/h.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵，此題的等量關(guān)系是快車(chē)與慢車(chē)所用時(shí)間差為12分鐘.

4．（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國(guó)各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某

農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共35名工人．甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，

已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有

多少名工人？

【答案】甲組有20名工人，乙組有15名工人

【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)甲組有x名工人，則乙組有35x名工人．根據(jù)題意得

27003000

1.2，據(jù)此即可求解．

35xx

【詳解】解：設(shè)甲組有x名工人，則乙組有35x名工人．

27003000

根據(jù)題意得：1.2，

35xx

解答：x=20，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是所列方程的解，且符合題意，

35x352015．

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人．

5．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）水是人類賴以生存的寶貴資源，為節(jié)約用水，創(chuàng)建文明城市，某市經(jīng)論證

1

從今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲原價(jià)的．小麗家去年5月份的水費(fèi)是28元，而

4

今年5月份的水費(fèi)則是24.5元．已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3．設(shè)該市去

年居民用水價(jià)格為x元/m3，則可列分式方程為．

2824.5

3

【答案】5

xx

4

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為x元/m3，則今年居民用水價(jià)格為

53

x元/m，根據(jù)小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3，列出方程即可．

4

13

【詳解】解：設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為x元/m3，則今年居民用水價(jià)格為1x元/m，根據(jù)題意得：

4

2824.5

3

5．

xx

4

2824.5

3

故答案為：5．

xx

4

6．（2024·山東威海·中考真題）某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦·時(shí)．后

購(gòu)進(jìn)一批相同數(shù)量的B型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦·時(shí)．一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈

每年用電量的2倍少32千瓦·時(shí)．求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量．

【答案】160千瓦·時(shí)

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列方程是關(guān)鍵，并注意檢驗(yàn)．根據(jù)兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式

分式方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)一盞B型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦·時(shí)，

則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為2x32千瓦·時(shí)

160009600

2x32x

整理得5x3(2x32)

解得x96

經(jīng)檢驗(yàn)：x96是原分式方程的解．

2x32160

答：一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為160千瓦·時(shí).

考點(diǎn)06分式方程與函數(shù)、方程的綜合應(yīng)用

1．（2025·山東青島·中考真題）某公司成功研發(fā)了一款新型產(chǎn)品，接到了首批訂單，產(chǎn)品數(shù)量為2100件．公

司有甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)車(chē)間，甲車(chē)間每天生產(chǎn)的數(shù)量是乙車(chē)間的1.5倍．先由甲、乙兩個(gè)車(chē)間共同完成1500

件，剩余產(chǎn)品再由乙車(chē)間單獨(dú)完成，前后共用10天完成這批訂單．

(1)求甲、乙兩個(gè)車(chē)間每天分別能生產(chǎn)多少件產(chǎn)品；

(2)首批訂單完成后，公司將繼續(xù)生產(chǎn)30天該產(chǎn)品，每天只能安排一個(gè)車(chē)間生產(chǎn)，如果安排甲車(chē)間生產(chǎn)的天

數(shù)不多于乙車(chē)間的2倍，要使這30天的生產(chǎn)總量最大，那么應(yīng)如何安排甲、乙兩個(gè)車(chē)間的生產(chǎn)天數(shù)？

【答案】(1)甲車(chē)間每天能生產(chǎn)180件產(chǎn)品乙車(chē)；間每天能生產(chǎn)120件產(chǎn)品

(2)安排甲車(chē)間生產(chǎn)20天，則乙車(chē)間生產(chǎn)10天

【分析】本題考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)乙車(chē)間每天能生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則甲車(chē)間每天能生產(chǎn)1.5x件產(chǎn)品，分別表示出甲、乙兩個(gè)車(chē)間合作完

成的時(shí)間和乙車(chē)間單獨(dú)完成的時(shí)間，再根據(jù)“前后共用10天完成這批訂單”建立分式方程求解；

（2）設(shè)安排甲車(chē)間生產(chǎn)m天，則乙車(chē)間生產(chǎn)30m天，先根據(jù)“安排甲車(chē)間生產(chǎn)的天數(shù)不多于乙車(chē)間的2

倍”得到關(guān)于m的一元一次不等式，再設(shè)生產(chǎn)總量為w，建立w關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，再由一次函數(shù)的

性質(zhì)求解．

【詳解】（1）解：設(shè)乙車(chē)間每天能生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則甲車(chē)間每天能生產(chǎn)1.5x件產(chǎn)品，

150021001500

由題意得：10，

x1.5xx

解得：x120，

經(jīng)檢驗(yàn)：x120是原方程的解，且符合題意，

則1.5120180（件），

答：甲車(chē)間每天能生產(chǎn)180件產(chǎn)品，乙車(chē)間每天能生產(chǎn)120件產(chǎn)品

（2）解：設(shè)安排甲車(chē)間生產(chǎn)m天，則乙車(chē)間生產(chǎn)30m天，

由題意得：m230m，

解得：m≤20，

設(shè)生產(chǎn)總量為w，由題意得：

w180m12030m60m3600，

∵m0，

∴w隨著m的增大而增大，

∴當(dāng)m20時(shí)，w最大，即這30天的生產(chǎn)總量最大，

∴30m302010，

∴安排甲車(chē)間生產(chǎn)20天，則乙車(chē)間生產(chǎn)10天．

2．（2025·山東濟(jì)南·中考真題）隨著“體重管理年”三年行動(dòng)的實(shí)施，全民體重管理意識(shí)和技能逐步提升．某

健身中心要采購(gòu)甲、乙兩種型號(hào)的健身器材以滿足群眾的健身需求．據(jù)了解，甲型健身器材的單價(jià)比乙型

健身器材的單價(jià)低300元，用50000元購(gòu)買(mǎi)甲型健身器材的數(shù)量和用56000元購(gòu)買(mǎi)乙型健身器材的數(shù)量相

同．

(1)求甲、乙兩種型號(hào)健身器材的單價(jià)各是多少元．

(2)該健身中心計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)的健身器材共20臺(tái)，且甲型健身器材的購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不超過(guò)乙型健身器

材購(gòu)買(mǎi)數(shù)量的3倍，購(gòu)買(mǎi)甲型健身器材多少臺(tái)時(shí)采購(gòu)費(fèi)用最少？最少采購(gòu)費(fèi)用是多少元？

【答案】(1)甲型健身器材價(jià)格為2500元，則乙型健身器材的價(jià)格為2800元

(2)購(gòu)買(mǎi)甲型健身器材15臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)乙型健身器材5臺(tái)時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用51500元．

【分析】（1）設(shè)甲型健身器材價(jià)格為x元，則乙型健身器材的價(jià)格為x300元，根據(jù)題意，得

5000056000

，解方程即可．

xx300

（2）根據(jù)題意，甲型健身器材買(mǎi)了a個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)乙型健身器材數(shù)量為20a個(gè)，且a320a，根據(jù)題

意，得w280020a2500a300a56000，解答即可．

本題考查了分式方程的應(yīng)用題，不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）解：設(shè)甲型健身器材價(jià)格為x元，則乙型健身器材的價(jià)格為x300元，

5000056000

根據(jù)題意，得，

xx300

解得x2500，

經(jīng)檢驗(yàn)，x2500是原方程的根．

此時(shí)x3002800，

答：甲型健身器材價(jià)格為2500元，則乙型健身器材的價(jià)格為2800元．

（2）解：根據(jù)題意，甲型健身器材買(mǎi)了a個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)乙型健身器材數(shù)量為20a個(gè)，且a320a即a15，

且a為正整數(shù)，

根據(jù)題意，得w280020a2500a300a56000，

由k300<0，得w隨a的增大而減小，

故當(dāng)a15時(shí)，w取得最小值，且最小值為w300155600051500（元），

故購(gòu)買(mǎi)甲型健身器材15臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)乙型健身器材5臺(tái)時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用51500元．

3．（2025·山東濰坊·中考真題）某企業(yè)為提高生產(chǎn)效率，采購(gòu)了相同數(shù)量的A型、B型兩種智能機(jī)器人，

購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人的總費(fèi)用為90萬(wàn)元，購(gòu)買(mǎi)B型機(jī)器人的總費(fèi)用為60萬(wàn)元，B型機(jī)器人單價(jià)比A型機(jī)器人單

價(jià)低3萬(wàn)元．

(1)求A型、B型兩種機(jī)器人的單價(jià)；

(2)該企業(yè)計(jì)劃從采購(gòu)的這批機(jī)器人中選擇10臺(tái)配備到某生產(chǎn)線，要求A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人各至少配備

1臺(tái)，且購(gòu)買(mǎi)這10臺(tái)機(jī)器人的總費(fèi)用不超過(guò)70萬(wàn)元．求出所有配備方案．

【答案】(1)A型機(jī)器人單價(jià)為9萬(wàn)元，B型機(jī)器人單價(jià)為6萬(wàn)元

(2)方案一：A型機(jī)器人1臺(tái)，B型機(jī)器人9臺(tái)；方案二：A型機(jī)器人2臺(tái)，B型機(jī)器人8臺(tái)；方案三：A型

機(jī)器人3臺(tái)，B型機(jī)器人7臺(tái)

【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出分式方程和不等式，是

解題的關(guān)鍵：

（1）設(shè)A型機(jī)器人單價(jià)為x萬(wàn)元，則B型機(jī)器人單價(jià)為x3萬(wàn)元，根據(jù)采購(gòu)了相同數(shù)量的A型、B型兩

種智能機(jī)器人，購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人的總費(fèi)用為90萬(wàn)元，購(gòu)買(mǎi)B型機(jī)器人的總費(fèi)用為60萬(wàn)元，列出方程進(jìn)行

求解即可；

（2）設(shè)配備A型機(jī)器人y臺(tái)，則配備B型機(jī)器人10y臺(tái)，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)這10臺(tái)機(jī)器人的總費(fèi)用不超過(guò)70萬(wàn)

元，列出不等式進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）解：設(shè)A型機(jī)器人單價(jià)為x萬(wàn)元，則B型機(jī)器人單價(jià)為x3萬(wàn)元，

9060

根據(jù)題意，得，

xx3

解得x9，

經(jīng)檢驗(yàn)，x9是原分式方程的根，且符合題意，

所以，x36．

所以，A型機(jī)器人單價(jià)為9萬(wàn)元，B型機(jī)器人單價(jià)為6萬(wàn)元．

（2）設(shè)配備A型機(jī)器人y臺(tái)，則配備B型機(jī)器人10y臺(tái)，

根據(jù)題意，得9y610y70，

10

解得y，

3

∵要求兩種型號(hào)的機(jī)器人各至少配備1臺(tái)，且y為正整數(shù)

∴y的取值為1，2，3，共有3種方案：

方案一：A型機(jī)器人1臺(tái)，B型機(jī)器人9臺(tái)；

方案二：A型機(jī)器人2臺(tái)，B型機(jī)器人8臺(tái)；

方案三：A型機(jī)器人3臺(tái)，B型機(jī)器人7臺(tái)．

4．（2025·山東東營(yíng)·中考真題）《哪吒2魔童鬧?！菲狈看筚u(mài)，周邊玩偶熱銷．某經(jīng)銷店購(gòu)進(jìn)A款哪吒玩

偶的金額是2400元，購(gòu)進(jìn)B款哪吒玩偶的金額是1600元，購(gòu)進(jìn)A款哪吒玩偶的數(shù)量比B款哪吒玩偶少50

個(gè)，A款哪吒玩偶單價(jià)是B款哪吒玩偶的2倍．

(1)A、B兩款玩偶的單價(jià)分別是多少元？

(2)為滿足消費(fèi)者需求，在A、B兩款玩偶單價(jià)不變的條件下，該超市準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款玩偶共100個(gè)