專題02二次函數(shù)與一元二次方程、不等式目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分?！局芙庾x01】等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知能解讀02】三個“二次”之間的關(guān)系【知能解讀03】基本不等式03破·重點難點：突破重難點，沖刺高分?！局仉y點突破01】利用基本不等式求最值【重難點突破02】不等式恒成立與能成立問題【重難點突破03】含參一元二次不等式的解法04辨·易混易錯：辨析易混易錯知識點，夯實基礎(chǔ)?！疽谆煲族e01】忽視不等式性質(zhì)成立的條件致錯【易混易錯02】忽視基本不等式應(yīng)用的條件致錯【易混易錯03】連續(xù)使用基本不等式忽略等號同時成立致錯【易混易錯04】解分式不等式忽略分母不為零致錯05點·方法技巧：點撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】比較兩數(shù)（式）的大小【方法技巧02】利用不等式的性質(zhì)求數(shù)（式）的范圍【方法技巧03】解一元二次不等式的步驟【方法技巧04】基本不等式的實際應(yīng)用【方法技巧05】證明不等式01等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1、等式的性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向2、不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正【真題實戰(zhàn)】（2025·北京豐臺·一模）已知，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．02三個“二次”之間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【真題實戰(zhàn)】（2025·湖北黃岡·三模）已知集合，則（

）A． B．C． D．03基本不等式1、重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.變形公式：2、基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．（3）算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．3、利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)（2）如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)．【真題實戰(zhàn)】（2025·北京·高考真題）已知，則（

）A． B．C． D．01利用基本不等式求最值法一、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系．法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式．法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況．類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；類型2：分母為多項式時方法1：觀察法適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設(shè)∴，解得：法四、消元法：當(dāng)題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題．法五、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值．【典例1】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零實數(shù)，則的最小值為（

）A．6 B．12 C．2 D．4【典例2】（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2025·安徽合肥·三模）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【典例4】（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最大值（

）A．12 B． C．36 D．【典例5】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．3202不等式恒成立與能成立問題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2025·甘肅威武·一模）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高三上·四川德陽·月考）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.03含參一元二次不等式的解法對求含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有：（1）根據(jù)二次項系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類；（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)；（3）有兩個根式，有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．【典例1】若，則不等式的解集為（

）A． B．或C．或 D．【典例2】（2025·陜西渭南·二模）若關(guān)于的不等式有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．01忽視不等式性質(zhì)成立的條件致錯辨析：在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時一定要注意前提條件，如不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)、式，兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件．【典例1】（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）若為實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2025·北京房山·一模）已知，且，則（

）A． B．C． D．02忽視基本不等式應(yīng)用的條件致錯辨析：（1）利用基本不等式以及變式等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負(fù))，特別要注意等號成立的條件．（2）對形如的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意，同號．【典例1】（24-25高三下·廣東深圳·月考）若，則的最大值為.【典例2】（24-25高三上·北京石景山·期末）已知a，，且，則下列不等關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．03連續(xù)使用基本不等式忽略等號同時成立致錯辨析：連續(xù)使用均值不等式求最值或范圍,要注意判斷每個等號成立的條件，檢驗等號能否同時成立．【典例1】（24-25高三下·北京·強基計劃）已知正數(shù)滿足，則最小值為．【典例2】（24-25高三上·廣東深圳·期末）已知的最小值為.04解分?jǐn)?shù)不等式忽略分母不為零致錯辨析：解含有分?jǐn)?shù)的不等式,在去分母時要注意分母不為零的限制條件，防止出現(xiàn)增解，如．【典例1】（2025·全國二卷·高考真題）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【典例2】（2025·上海楊浦·三模）不等式的解集為．01比較兩數(shù)（式）的大小1、作差法：（1）原理：設(shè)，則；；；（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結(jié)論。（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形．2、作商法：（1）原理：設(shè)，則；；（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結(jié)論。（3）注意：作商時各式的符號應(yīng)相同，如果均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對數(shù)恒等變形．【典例1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，則與大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高三下·海南?？凇ぴ驴迹┮阎颂撬泻锌颂牵ǎ偬砑涌颂牵?，假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為一個不等式（

）A． B．C． D．02利用不等式的性質(zhì)求數(shù)（式）的范圍利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，解決的方法是先利用待定系數(shù)法建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)求解，具體步驟如下：已知，，求的取值范圍第一步：設(shè)；第二步：經(jīng)過恒等變形，求得待定系數(shù)；第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得的取值范圍．【典例1】（2025·山西臨汾·二模）若，則的范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．03解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫出相應(yīng)的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解第三步：根據(jù)不等式，寫出解集．【典例1】（24-25高三上·重慶·月考）不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．【典例2】（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·月考）若不等式的解集是，則的解集是（

）A．或 B．或C． D．04基本不等式的實際應(yīng)用解實際應(yīng)用題的三個注意點：1、設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；2、根據(jù)實際問題抽象很出有關(guān)式關(guān)系式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；3、在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解．【典例1】（2025·廣西·一模）現(xiàn)使用一架兩臂不等長的天平稱中藥，操作方法如下：先將100g的砝碼放在天平左盤中，取出一些中藥放在天平右盤中，使得天平平衡；再將100g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些中藥放在天平左盤中，使得天平平衡.則兩次實際稱得的藥品總重量（

）A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能【典例2】（24-25高三上·湖北·一模）某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤（單位：百萬元）與新設(shè)備運行的時間（單位：年，）滿足，當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤最大時，新設(shè)備運行的時間（

）A． B． C． D．05證明不等式1、無附加條件的不等式證明：證明時要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形形式，這也是證明輪換對稱結(jié)構(gòu)的不等式（把b換a，a換c，c換b后，代數(shù)