專題02復(fù)數(shù)及其應(yīng)用目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學科知識體系.02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分.【知能解讀01】復(fù)數(shù)的概念【知能解讀02】復(fù)數(shù)的四則運算【知能解讀03】復(fù)數(shù)的三角表示式03破·重點難點：突破重難點，沖刺高分.【重難點突破01】對復(fù)數(shù)概念的理解【重難點突破02】利用復(fù)數(shù)相等求解【重難點突破03】利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題【重難點突破04】復(fù)數(shù)模的求解【重難點突破05】復(fù)數(shù)的四則運算【重難點突破06】in(n∈R)的周期性及其應(yīng)用【重難點突破07】關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的幾個常用結(jié)論【重難點突破08】|Z-Z0|(z，z0∈C)的幾何意義【重難點突破09】n個復(fù)數(shù)乘法的三角表示(棣莫弗定理)(拓展)04辨·易混：辨析易混知識點，夯實基礎(chǔ).【易混001】虛部概念混淆【易混002】復(fù)數(shù)的分類及辨析【易混003】復(fù)數(shù)的坐標表示【易混004】判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限【易混005】已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)05點·方法技巧：點撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算【方法技巧02】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算【方法技巧03】復(fù)數(shù)的乘方【方法技巧04】復(fù)數(shù)的除法運算【方法技巧05】復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根【方法技巧06】根據(jù)相等條件求參數(shù)【方法技巧07】在各象限內(nèi)點對應(yīng)復(fù)數(shù)的特征【方法技巧08】根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標寫出對應(yīng)的復(fù)數(shù)【方法技巧09】與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡(圖形)問題01復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的引入為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，引入一個新數(shù)，規(guī)定：，即是方程的根.2.復(fù)數(shù)的相關(guān)概念（1）復(fù)數(shù)的相關(guān)概念形如（）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)通常用字母表示，即（）.其中叫做實部，叫做虛部，叫做虛數(shù)單位，（）叫復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.【真題演練】（2025·河北保定·一模）的虛部為（

）A． B． C． D．3（2）復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)（）3.兩個復(fù)數(shù)相等與（）相等當且僅當且.特別地，時，.【真題演練1】（2025·河北邢臺·三模）若，則（

）A．2 B．4 C． D．【真題演練2】（2025·福建福州·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則．4.復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)平面：建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).（2）復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系：每一個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)有唯一的一個點和它對應(yīng)，反之，復(fù)平面內(nèi)的每一個點有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)，因此復(fù)數(shù)（）與復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的關(guān)系.（3）復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系：復(fù)平面內(nèi)的點與以原點為起點、為終點的向量一一對應(yīng)，所以復(fù)數(shù)（）與復(fù)平面內(nèi)的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系.5.復(fù)數(shù)的模（1）概念：復(fù)數(shù)（）對應(yīng)的向量為，則的模叫做復(fù)數(shù)的?；蚪^對值，記作或，即.如果，那么是實數(shù)，它的模就等于（即的絕對值）.（2）幾何意義：即點與原點的距離.一般地，即為復(fù)平面內(nèi)點與之間的距離.【真題演練1】（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（

）A．0 B．1 C． D．【真題演練2】（2025·廣東佛山·三模）復(fù)平面上兩點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則（

）A．17 B． C．13 D．6.共軛復(fù)數(shù)（1）定義及表示：一般地，當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果（），那么.（2）幾何意義：互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱.特別地，實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.（3）共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：①實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即.②.③.④.【真題演練1】（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【真題演練2】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【真題演練3】（2025·河南鶴壁·二模）已知復(fù)數(shù)，，則實數(shù)a的值為（

）A．-4 B．2C．3 D．-4或202復(fù)數(shù)的四則運算1.復(fù)數(shù)的加法（1）加法法則：設(shè)，（）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和.（2）加法的運算律：對任意，有交換律：；結(jié)合律：.（3）復(fù)數(shù)加法的幾何意義：設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，（）對應(yīng)，且，不共線（如圖），以，為鄰邊畫平行四邊形，則其對角線$OZ$所表示的向量就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行，這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義.2.復(fù)數(shù)的減法（1）減法法則：設(shè)，（），則.（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義：設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，（）對應(yīng)，且，不共線（如圖），則與向量（等于）對應(yīng)，因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行，這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.（3）兩點間的距離公式：設(shè)，（）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，，則.3.復(fù)數(shù)的乘法（1）乘法法則：設(shè)，（）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積.（2）復(fù)數(shù)乘法的運算律：對于任意，有交換律：；結(jié)合律：；分配律：.【真題演練】（2025·湖南·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則的實部為（

）A． B． C．1 D．24.復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)除法的運算法則：（，）.在進行復(fù)數(shù)除法運算時，通常先把寫成的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母“實數(shù)化”.【真題演練】（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實系數(shù)一元二次方程的根在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程（）的求根公式為：（1）當時，方程有兩個實根；（2）當時，方程有兩個虛根，且這兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).【真題演練】（2025·山東青島·三模）若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則，的值分別為（

）A． B．C． D．03復(fù)數(shù)的三角表示式1.復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個復(fù)數(shù)（）都可以表示成的形式，其中，是復(fù)數(shù)的模，，，；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角.叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式，該式的結(jié)構(gòu)特征是模非負，角相同，余弦前，加號連.輻角的主值任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數(shù)倍.規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作，即.三角形式下的復(fù)數(shù)相等每一個不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個非零復(fù)數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.特殊復(fù)數(shù)的輻角1.復(fù)數(shù)的輻角是，，復(fù)數(shù)的輻角是任意的.2.，，，.2.復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示及其幾何意義復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示已知復(fù)數(shù)，的三角形式為，，則，即兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和..復(fù)數(shù)乘法的幾何意義如圖，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，把向量繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的?fù)數(shù)就是積.3.復(fù)數(shù)除法運算的三角表示及其幾何意義復(fù)數(shù)除法運算的三角表示設(shè)，，且，則，即兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.復(fù)數(shù)除法的幾何意義如圖，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼模玫较蛄?，表示的?fù)數(shù)就是商.復(fù)數(shù)三角形式的乘除法公式記憶口訣積的模等于模的積，積的輻角等于輻角的和，商的模等于模的商，商的輻角等于輻角的差.【真題演練1】（2025·江西萍鄉(xiāng)·一模）已知復(fù)數(shù)，（）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，（其中為原點），則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為3C．若，則D．若，則【真題演練2】（2025·海南·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（

）A．1 B． C． D．01對復(fù)數(shù)概念的理解處理復(fù)數(shù)的相關(guān)概念的問題時，首先要把復(fù)數(shù)化為（）的形式，進而確定復(fù)數(shù)的實部和虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件構(gòu)造關(guān)系式求解.【典例1】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知，，下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2025·河北秦皇島·三模）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的任何偶數(shù)次冪都不小于零B．若實數(shù)，則是純虛數(shù)C．在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)均為純虛數(shù)D．若復(fù)數(shù)滿足，則均為實數(shù)【典例3】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知，為z的共軛復(fù)數(shù)，則下列條件可判定的是（

）A． B． C． D．02利用復(fù)數(shù)相等求解利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求參數(shù)的步驟：1)分別確定復(fù)數(shù)的實部與虛部；2)利用實部與實部、虛部與虛部分別相等，列方程（組）求解；3)寫出結(jié)果.【典例1】（2025·遼寧遼陽·一模）已知，其中為實數(shù)，則（

）A． B．C． D．【典例2】（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，若集合，則的子集個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．4 D．803利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題當遇到已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標，求復(fù)數(shù)中參數(shù)的問題時：1．先對給定復(fù)數(shù)進行化簡，利用復(fù)數(shù)的運算法則（如除法運算中分母實數(shù)化），將其化為（的標準形式.2．再根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)坐標的一一對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合已知坐標，列出關(guān)于參數(shù)的方程，進而求解參數(shù)的值.【典例1】（2025·山東日照·二模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則實數(shù)a=（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【典例2】（2025·北京石景山·一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標為，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【典例3】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知，為虛數(shù)單位，，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若為純虛數(shù)，則B．若在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第一象限，則C．的最小值為D．為定值04復(fù)數(shù)模的求解1.求解復(fù)數(shù)模的問題的常用方法根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式（）可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決.根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，即復(fù)數(shù)（）的模就是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點到坐標原點的距離，可以把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為距離問題解決.2.重要結(jié)論復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，表示大于的常數(shù)，則（）表示點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，表示圓的內(nèi)部，表示圓的外部.【典例1】（2025·山東煙臺·一模）已知復(fù)數(shù)，其中，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2025·安徽·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值【典例3】（2025·上海浦東新·二模）若關(guān)于的方程的一個虛根的模為，則實數(shù)的值為．05復(fù)數(shù)的四則運算復(fù)數(shù)的四則運算類似于多項式的四則運算，含有虛數(shù)單位的看成一類同類項，不含的看成另一類同類項，分別合并即可.1.復(fù)數(shù)常見運算小結(jié)論；；；；；2.常用公式；；（其中）；3..4．常見結(jié)論：在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點分別為，對應(yīng)的點為為坐標原點（點不共線）.1）四邊形為平行四邊形；2）若，則四邊形為矩形；3）若，則四邊形為菱形；4）若且，則四邊形為正方形．【典例1】（2025·黑龍江遼寧·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．32【典例2】（2025·山東濟南·一模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【典例4】（2025·吉林長春·二模）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．06in(n∈R)的周期性及其應(yīng)用虛數(shù)單位的冪的周期性：-，，，（）.其中，（）.【典例1】（2025·山東德州·三模）已知，則（

）A． B． C．0 D．2【典例2】（2025·江西吉安·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，（為虛數(shù)單位），則（

）A．0 B． C． D．【典例3】（2025·河北石家莊·一模）已知為虛數(shù)單位，以下選項正確的是（

）A．若，則的充要條件是B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為607關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的幾個常用結(jié)論1.若（），則.利用此結(jié)論，可以在復(fù)數(shù)集中將分解為.2.；對于非零復(fù)數(shù)，是純虛數(shù).3.若（），則，.4.，.5.（）.6..7..8..【典例1】（2025·廣東·一模）記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2025·河北秦皇島·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·北京·三模）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例4】（2025·福建·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．08丨Z-Z0丨(z，z0∈C)的幾何意義一、設(shè)復(fù)數(shù)，（）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是，，則，復(fù)數(shù)，則.故，即表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間的距離.二、（）的幾何意義的應(yīng)用：-（）表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點組成的集合是以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為圓心，為半徑的圓.-（）表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點組成的集合是以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為端點的線段的垂直平分線.三、復(fù)數(shù)模的性質(zhì)設(shè)都是復(fù)數(shù)，是大于1的正整數(shù).1.；2.；3.（可推廣到個復(fù)數(shù)），（）；4.；5.，等號成立的條件：-當時，所對應(yīng)的向量同向；-當時，所對應(yīng)的向量反向.6.，等號成立的條件：-當時，所對應(yīng)的向量反向；-當時，所對應(yīng)的向量同向.7..【典例1】（2025·廣東·一模）已知（i為虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C．2 D．4【典例2】（2025·廣西柳州·三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2025·浙江金華·二模）已知復(fù)數(shù)，互為共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．09n個復(fù)數(shù)乘法的三角表示（棣莫弗定理）（拓展）兩個復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示及幾何意義，可以推廣到（，且）個復(fù)數(shù)相乘的情況，即.特別地，當時，，這個結(jié)論叫做棣莫弗定理.【典例1】已知為虛數(shù)單位，根據(jù)棣莫弗定理，可判斷下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則 C.若，，則 D.若，，則 01：虛部概念混淆1．對虛部概念理解不清：易錯點：誤將虛部認為是含的部分，比如把的虛部當成，而實際上虛部是（實數(shù)）。糾正：牢記虛部的定義，對于復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，虛部是，是一個實數(shù)，不包含2．復(fù)數(shù)運算錯誤：易錯點：在對復(fù)數(shù)方程進行變形求解時，運算出錯。比如在求解求時，需要將的系數(shù)化為1，即，此時若分母實數(shù)化操作錯誤，會得到錯誤的形式，進而導(dǎo)致虛部判斷錯誤。糾正：熟練掌握復(fù)數(shù)的除法運算法則，分母實數(shù)化時，給分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)。對于，分子分母同乘，得到，這樣就能正確得到的標準形式，進而準確判斷虛部.【典例1】（2025·廣東廣州·一模）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．i【典例2】（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．i【典例3】（2025·浙江溫州·三模）已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．02：復(fù)數(shù)的分類及辨析1.對于復(fù)數(shù)，當時，為實數(shù)；當時，為虛數(shù)；當且時，為純虛數(shù)。2.復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)。3.歐拉公式，可用于將指數(shù)形式的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式分析.【典例1】（2025·遼寧·二模）使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的最小自然數(shù)是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）歐拉公式建立起了復(fù)數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的橋梁，在解析幾何中具有重大意義，在復(fù)變函數(shù)論中占有重要的地位．根據(jù)歐拉公式，以下命題正確的個數(shù)是（

）命題1：

命題2：命題3：的共軛復(fù)數(shù)為

命題4：為實數(shù)A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位），則下列選項正確的是（

）A．若，，則為純虛數(shù)B．若，則C．若，則D．若且，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限03：復(fù)數(shù)的坐標表示1．復(fù)數(shù)化簡與對稱點易錯：化簡時，分母實數(shù)化算錯；或忘＂關(guān)于實軸對稱，虛部變相反數(shù)＂。避坑：分母實數(shù)化分子分母同乘分母共軛（如）；對稱點直接＂實部不變，虛部取反＂。2．模的幾何意義易錯：誤判圖形（實際是橢圓，長軸4、焦距2）；分析或時漏情況。避坑：記＂是橢圓（和為定值）＂；時虛部為時虛部為0（分實、純虛數(shù)討論）.【典例1】（2025·湖北·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則等于（

）A． B． C． D．【典例2】（2025·江蘇南通·一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）與點對應(yīng)，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2025·河南鄭州·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則04：判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與點——對應(yīng)，根據(jù)（實部，對應(yīng)橫坐標）和（虛部，對應(yīng)縱坐標）的正負可判斷點所在象限：第一象限：且第二象限：且第三象限：且第四象限：且【典例1】（2025·北京平谷·一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【典例2】（2025·黑龍江哈爾濱·一模）復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【典例3】（2025·湖北黃岡·二模）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限05：已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)對于復(fù)數(shù)，有以下分類：實數(shù)：虛數(shù)：純虛數(shù)：且已知復(fù)數(shù)類型求參數(shù)時，需根據(jù)上述定義，結(jié)合復(fù)數(shù)運算（如乘法、除法等），列出關(guān)于參數(shù)的方程（組）求解，同時要注意對參數(shù)取值的檢驗，避免出現(xiàn)增根.【典例1】（2025·山東泰安·一模）已知為虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【典例2】（2025·浙江·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．【典例3】（2024·上海·高考真題）已知虛數(shù)，其實部為1，且，則實數(shù)為．一：復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算對于復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的加減運算，實部與實部相加減，虛部與虛部相加減，即。在涉及與的運算問題中，通常設(shè)，將其代入等式，利用復(fù)數(shù)相等的條件（實部相等、虛部相等）列方程求解.【典例1】（2025·安徽·二模）若，則（

）A． B． C． D．2【典例2】（2025·廣西·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．二：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，遵循多項式乘法法則，即對于復(fù)數(shù)，，再根據(jù)，整理為的形式，實部為，虛部為。【典例1】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2025·安徽·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．三：復(fù)數(shù)的乘方復(fù)數(shù)乘方運算可通過兩種方式解決：1．代數(shù)形式直接展開：利用多項式乘法法則反復(fù)運算（適用于低次冪），結(jié)合的周期性，，周期為4）化簡。2．三角形式+棣莫弗定理：若復(fù)數(shù)為三角形式，則，適用于高次冪運算。【典例1】（2025·山東濟南·三模）設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2025·湖北·二模）復(fù)數(shù)是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例3】（2025·山西臨汾·二模）（

）A． B． C． D．四：復(fù)數(shù)的除法運算對于復(fù)數(shù)除法，設(shè)，運算步驟：1．分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)：分母的共軛復(fù)數(shù)為，即2．化簡分母：利用平方差公式（實數(shù)），即分母=分母實部的平方+分母虛部的平方3．展開分子：按多項式乘法展開，再用化簡，最后合并實部和虛部。注意：若分母為純虛數(shù)如,可直接乘化簡(因：若分母為，乘其共軛后分母為2，可簡化計算：【典例1】（2025·江西·一模）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【典例2】（2025·河北·一模）若，則（

）A． B． C． D．五：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根1．判別式法（實系數(shù)一元二次方程）當時，先計算判別式。時：方程有兩個實根，根據(jù)求根公式求解。時：方程有兩個共軛虛根，同樣使用求根公式2．配方法與公式法（復(fù)系數(shù)一元二次方程）對于復(fù)系數(shù)一元二次方程，判別式法不再適用，可采用配方法或直接使用公式（這里是對復(fù)數(shù)開方，要考慮復(fù)數(shù)的多值性）。3．韋達定理的應(yīng)用無論方程的根是實數(shù)還是復(fù)數(shù)，韋達定理始終成立，即若是方程的兩根，則【典例1】（2025·山東濟寧·二模）已知是關(guān)于的方程的一個根，則（）A．2 B．3 C．5 D．【典例2】（多選）（2025·吉林長春·一模）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的兩個根分別為，，則（

）A． B．C． D．【典例3】（2025·山東·模擬預(yù)測）已知z是方程的一個復(fù)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．六：根據(jù)相等條件求參數(shù)1．復(fù)數(shù)運算化簡：對含復(fù)數(shù)的表達式（如、冪運算、方程根），先通過復(fù)數(shù)運算法則（除法分母實數(shù)化、周期性）化簡，轉(zhuǎn)化為形式。2．應(yīng)用＂復(fù)數(shù)相等＂條件：若兩個復(fù)數(shù)，則實部相等且虛部相等，據(jù)此列方程求解參數(shù)。3．結(jié)合共軛復(fù)數(shù)／方程根性質(zhì)：實系數(shù)方程虛根成對（共軛虛根）；共軛復(fù)數(shù)與實部相同、虛部相反?！镜淅?】（2025·安徽·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)，實數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．4【典例2】（2025·陜西寶雞·二模）已知關(guān)于的實系數(shù)方程的