專題02空間向量與立體幾何題型1空間向量的線性運算空間向量線性運算中的三個關(guān)鍵點1．（24-25高一下·福建福州·期末）點在平行四邊形所在平面外，與交于點，則（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知空間四邊形中，連結(jié)，設(shè)分別是的中點，則等于（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）若為空間中不同的四點，則下列各式結(jié)果一定是零向量的是（

）A． B．C． D．4．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）在任意四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點，若，則（

）A． B．1 C．2 D．35．（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四面體中，，，分別是，，的中點，化簡：，，．

題型2共線、共面向量定理的應(yīng)用應(yīng)用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))6．（25-26高三上·河北·開學(xué)考試）已知空間向量與共線，則（

）A．-1 B． C． D．17．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）設(shè)，是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且、、三點共線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．88．（24-25高三上·河南濮陽·階段練習(xí)）已知P、A、B、C為空間中的四點且P,B,C三點不共線，且，則“”是“A、B、C三點共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2025·上海奉賢·二模）如圖，在平行六面體中，點在對角線上，點在對角線上，，，以下命題正確的是（

）A．B．、、三點共線C．與是異面直線D．10．（23-24高二上·貴州·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A．當(dāng)時，點在棱上B．當(dāng)時，點在線段上C．當(dāng)時，點在棱上D．當(dāng)時，點在線段上11．（24-25高二下·浙江·階段練習(xí)）三個非零向量則“共面”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．（22-23高二上·廣東清遠·期中）在下列條件中，使與一定共面的是（

）A． B．C． D．13．（24-25高二上·陜西安康·期中）已知點，則下列各點與點不共面的是（

）A． B．C． D．14．（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）已知空間中有5個點、、、、，若滿足，且、、、四點共面，則的值為（

）A． B． C． D．15．（22-23高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）為空間任意一點，若，若四點共面，則（

）A．1 B． C． D．16．（24-25高二上·廣東·期中）已知A，B，C三點不共線，點O不在平面ABC內(nèi)，，若A，B，C，D四點共面，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．217．（25-26高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知為空間中四點，任意三點不共線，且，若四點共面，O不在該平面上，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．9題型3空間向量基本定理及其應(yīng)用用基向量表示指定向量的方法（1）結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．（2）將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．18．（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知空間向量，則下列向量可以與構(gòu)成空間向量的一組基底的是（

）A． B． C． D．19．（23-24高二上·山西運城·期中）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是（

）.A．，， B．，，C．，， D．，，20．（2025高三下·全國·專題練習(xí)）已知是空間一個基底，，一定可以與向量構(gòu)成空間另一個基底的是（

）A． B． C． D．21．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知正方體，設(shè)向量，則（

）A． B． C． D．22．（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）在三棱柱中，設(shè)，，，為的中點，則（

）A． B． C． D．23．（2025·湖北武漢·二模）在三棱柱中，設(shè)，，，，分別為，的中點，則（

）A． B． C． D．24．（2025高三·全國·專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，已知四棱錐是陽馬，平面，且，若，則（

）

A． B．C． D．25．（24-25高二上·遼寧·階段練習(xí)）在正三棱錐中，O為外接圓圓心，則（

）A． B．C． D．26．（24-25高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）三棱錐中，，點為中點，點滿足，則（

）A． B．C． D．27．（24-25高三上·重慶·期末）如圖，在正四棱錐中，為棱的中點，設(shè)，則用表示為（

）

A． B．C． D．28．（24-25高二上·河南信陽·期末）如圖，在三棱錐中，分別為的中點，則（

）A． B．2 C． D．1題型4空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用空間向量數(shù)量積的應(yīng)用29．（2025·遼寧鞍山·一模）已知向量，，則（

）A． B． C． D．30．（24-25高二下·甘肅蘭州·期中）設(shè)正四面體的棱長為，，分別是，的中點，則的值為（

）A． B． C． D．31．（24-25高三下·重慶·階段練習(xí)）已知四面體，所有棱長均為2，點分別為棱的中點，則（

）A．1 B． C．2 D．32．（24-25高三下·江蘇南京·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》第五卷中涉及到一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三尺，末廣八尺，袤七尺.該羨除是一個多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分別為3，7，且，，，則A． B． C． D．33．（2025·山西·一模）如圖，直三棱柱中，，點P為側(cè)面上的任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．34．（2023·西藏日喀則·一模）已知向量，若與垂直，則（

）.A． B． C． D．35．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）正四面體ABCD的棱長為1，點為CD的中點，點為AM的中點，則BO的長為（

）A． B． C． D．36．（24-25高二上·福建福州·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為3，且它們彼此的夾角都是，則對角線長為（

）A． B．C． D．37．（24-25高二上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，，則的長度為（

）．

A． B． C． D．38．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，三棱錐中，，，分別為的中點，點在線段上，且，則（

）

A． B． C． D．39．（2025·河北·模擬預(yù)測）正四棱錐底面邊長與側(cè)棱長均為為空間任一點，且滿足，則線段長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．40．（23-24高二上·江蘇南通·期末）已知平行六面體中，則（

）A． B． C． D．41．（23-24高二上·廣東·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為的中點，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．42．（2025·湖北襄陽·二模）已知空間向量，平面的一個法向量為，則向量在平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．43．（23-24高二上·湖南·階段練習(xí)）在長方體中，，動點滿足且在線段上，當(dāng)與垂直時，的值為.題型5利用空間向量證明線線平行證明兩條直線的方向向量共線．44．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在長方體中，，，，點，，分別在棱，，上，，，．(1)證明：，，，四點共面；(2)點在棱上，當(dāng)平面與平面的夾角的余弦值為時，求．45．（2025·云南紅河·模擬預(yù)測）如圖1，等腰梯形中，，，，分別為的中點，且，將梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如圖2的多面體.(1)證明：四點共面；(2)在上取一點，使得平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.46．（23-24高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，點在棱上，，點在棱上，為的中點，.

(1)求證：四點共面.(2)求直線與平面的所成角的正弦值.題型6利用空間向量證明線面平行(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)可在平面α內(nèi)取基向量{e1，e2}，證明存在實數(shù)λ1，λ2，使直線l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后說明l不在平面α內(nèi)即可．注意：證明線面平行，最后必須加上線不在面內(nèi)的條件．47．（2025高三·北京·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面是的中點，點是棱上靠近的四等分點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.48．（2025高三·北京·專題練習(xí)）如圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．(1)設(shè)點是的中點，證明：平面；(2)求與平面所成的角的正弦值；49．（2025·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面，的中點為，．(1)證明：平面；(2)在平面內(nèi)，動點在以為圓心，為半徑的劣弧上（不含端點），若直線與平面所成的角為，證明：三點共線．50．（2025·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，已知四棱錐，底面ABCD為梯形，，，，且平面平面ABCD，已知，．(1)證明：平面PBC；(2)若，，求直線AM與平面PAB所成角的正弦值．題型7利用空間向量證明面面平行(1)證明兩個平面的法向量為共線向量；(2)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．51．（2025·湖南邵陽·一模）如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點.(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)若，P是線段上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.52．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，點E在線段上，且，分別為、、的中點.求證：

(1)平面平面；(2)平面平面.題型8利用空間向量證明線線垂直證明兩條直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．53．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2，高為4，點滿足，．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．54．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）在多面體ABCDE中，平面平面為等邊三角形，四邊形ABCD為平行四邊形，M，N分別為AD，BE的中點.

(1)求證：；(2)求直線MN與平面ACE所成角的正弦值.55．（25-26高三上·福建漳州·開學(xué)考試）在三棱柱中，四邊形與都是棱長為1的正方形，，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，上的動點，且.(1)求證：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求BF的長.56．（25-26高三上·貴州畢節(jié)·開學(xué)考試）在三棱錐中，，平面，點M是棱上的動點，點N是棱上的動點，且．(1)當(dāng)時，求證：；(2)當(dāng)?shù)拈L最小時，求二面角的余弦值題型9利用空間向量證明線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示．57．（2025·黑龍江大慶·一模）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，為等邊三角形，為的中點，且平面平面，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.58．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面，，為中點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.59．（2025·河北·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.(1)證明：平面；(2)點，分別在線段，上，且，當(dāng)平面與平面的夾角為時，求的長.題型10利用空間向量證明面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆?0．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）在空間幾何體中，四邊形均為直角梯形．如圖，設(shè)，，．(1)求證：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，求的值．61．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在如圖所示的多面體中，已知正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，，．

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的大小．62．（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）在中國古代數(shù)學(xué)中，將底面為矩形并有一條棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖是一個底面為正方形的陽馬，其中底面，且.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.題型11利用空間向量求兩異面直線所成角用坐標法求異面直線所成角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是0，63．（2025·福建三明·模擬預(yù)測）在直三棱柱中，，，，分別是，的中點，則直線與直線所成角的余弦值（

）A． B． C． D．64．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知圓臺的上底面圓的半徑為1，下底面圓的半徑為2，點，分別在上、下底面圓周上，且，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．65．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上?下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為，、、、均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為和，對應(yīng)的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．66．（25-26高三上·廣西桂林·開學(xué)考試）在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且，求：(1)的長；(2)直線和所成角的余弦值.67．（2025·天津·二模）如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，為中點．(1)求證：平面；(2)求直線與所成角的余弦值；(3)求平面與平面夾角的正弦值．68．（21-22高二上·重慶云陽·期中）在三棱錐中，，，平面，點，分別為，的中點，，為線段上的點（不包括端點，），若使異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A．或4 B． C． D．69．（24-25高二上·福建福州·期中）三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．題型12利用空間向量求直線與平面所成角利用空間向量求線面角的解題步驟70．（25-26高三上·福建福州·開學(xué)考試）在正三棱柱中，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．71．（24-25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）已知正四棱柱中，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．72．（25-26高三上·湖北荊州·開學(xué)考試）在長方體中，已知，，，點，分別在棱，上，且．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．73．（25-26高三上·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是邊長為3的正三角形，.

(1)求棱的長；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.74．（25-26高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）如圖，四棱錐的底面為梯形，，為直角三角形，.

(1)設(shè)平面平面，證明：；(2)已知在同一個球面上，且球心在平面上.（i）證明：平面平面；（ii）若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求的長.題型13利用空間向量求平面與平面所成角（二面角）1.利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟2.利用法向量的方向判斷二面角二面角的大小可以通過這兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角，法向量的方向指向內(nèi)部的稱為“進”入半平面；法向量的方向指向外部的稱為穿“出”半平面；當(dāng)法向量m，n“一進一出”時，m，n的夾角就是二面角的大??；當(dāng)法向量m，n“同進同出”時，m，n的夾角就是二面角的補角．75．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四面體中，為等邊三角形，，二面角的大小為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．76．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，分別為的中點，是的中點，，則折后二面角的余弦值為（

）

A． B． C． D．77．（25-26高三上·湖北恩施·開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.78．（25-26高三上·山東聊城·開學(xué)考試）如圖，在正四棱柱中，分別為的中點.(1)證明：點在平面內(nèi).(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.79．（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）如圖，在六面體中，四邊形是正方形，平面平面平面.(1)證明：；(2)求平面和平面夾角的正弦值.80．（25-26高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）如圖所示，在四棱錐中，底面，平面平面，．(1)證明：；(2)設(shè)，，若二面角的平面角為，求.81．（25-26高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，，，平面平面．(1)證明：平面平面；(2)若平面，平面，且平面將三棱錐截為兩部分，求截面面積的最大值；(3)若二面角的余弦值為，求.82．（2025·湖南益陽·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，底面為等邊三角形，平面平面，點分別是的中點.

(1)證明：平面平面；(2)若，點在直線上，且平面與平面的夾角的余弦值為，求線段的長.題型14利用空間向量求點線距離點線距：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)．83．（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．84．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點在線段上，點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．85．（2025·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面是的中點，點是棱上靠近的四等分點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點到直線的距離.86．（2025·天津濱海新·三模）如圖，在多面體ABCDGEF中，四邊形ABCD為直角梯形，且滿足，，，，平面ABCD．(1)證明：平面CDE；(2)求平面CDE與平面ABE夾角的余弦值；(3)求點G到直線AB的距離．題型15利用空間向量求點面距、線面距、面面距利用向量法求點到平面的距離的步驟87．（25-26高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為（

）A． B． C．5 D．1088．（25-26高三上·天津紅橋·開學(xué)考試）已知正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為的中點，G在線段上，且(1)求證∶面;(2)求平面EBF與平面EBG夾角的余弦值；(3)求點D到平面EBF的距離．89．（25-26高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，平面平面.(1)證明：三棱柱為正三棱柱；(2)若點為棱的中點，且平面與平面夾角的余弦值為，求點到平面的距離.90．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正方體的棱長為1，為中點，求下列問題：(1)求異面直線與的距離；(2)求到平面的距離；(3)求到平面的距離；(4)求平面與平面的距離.題型16利用空間向量求異面直線的距離設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．91．（24-25高二上·四川·期中）在長方體中，，，，則異面直線與的距離是（

）A． B． C． D．92．（24-25高二上·遼寧大連·期中）在長方體中，，，，E為AB的中點，則異面直線與DE的距離為（

）A． B． C．1 D．題型17利用空間向量解決探索性問題(1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題．(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．