1/1424.1圓的有關性質(zhì)24.1.2垂直于弦的直徑一、教學目標【知識與技能】1.通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性.2.掌握垂徑定理及推論.理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問【過程與方法】通過探索垂徑定理及其推論的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法.【情感態(tài)度與價值觀】1.結合本課特點，向學生進行愛國主義教育和美育滲透.2.激發(fā)學生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的興趣和欲望.二、教學重難點【教學重點】 垂徑定理及其推論，會運用垂徑定理等結論解決證明，計算.【教學難點】 垂徑定理及其推論.三、教學過程（一）導入新課你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？（出示課件2）（二）探索新知探究一圓的軸對稱性教師問：把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？（出示課件4）學生通過自己動手操作，歸納出結論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．出示課件3：教師問：圓的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？學生答：圓的對稱軸是任意一條直徑所在直線.無數(shù)條思考：如何來證明圓是軸對稱圖形呢？同學們認真看課本81頁，通過討論交流，完成下面的證明過程:已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E．證明：連結OA、OB.則OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直徑CD所在的直線是AB的垂直平分線.∴對于圓上任意一點，在圓上都有關于直線CD的對稱點.即⊙O關于直線CD對稱.師生進一步認知：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.探究二垂徑定理及其推論出示課件6：如圖，AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?學生獨立思考后口答：線段:AE=BE弧:eq

\o(AC,\s\up5(⌒))=eq

\o(BC,\s\up5(⌒)),eq

\o(AD,\s\up5(⌒))=eq

\o(BD,\s\up5(⌒))學生簡述理由：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，重合．教師總結歸納：（出示課件7）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.推導格式：∵CD是直徑，CD⊥AB，∴AE=BE,eq

\o(AC,\s\up5(⌒))=eq

\o(BC,\s\up5(⌒)),eq

\o(AD,\s\up5(⌒))=eq

\o(BD,\s\up5(⌒))教師強調(diào)：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？（出示課件8）學生獨立思考后口答：1圖是；2圖不是，因為沒有垂直；3圖是；4圖不是，因為CD沒有過圓心.教師強調(diào)：垂徑定理的幾個基本圖形：（出示課件9）出示課件10：如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。┙Y論與題設交換一條，命題是真命題嗎？如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？⑵eq

\o(AC,\s\up5(⌒))與eq

\o(BC,\s\up5(⌒))相等嗎？eq

\o(AD,\s\up5(⌒))與eq

\o(BD,\s\up5(⌒))相等嗎？為什么？證明：⑴連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂徑定理可得eq

\o(AC,\s\up5(⌒))=eq

\o(BC,\s\up5(⌒)),eq

\o(AD,\s\up5(⌒))=eq

\o(BD,\s\up5(⌒))教師歸納總結：（出示課件11）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如不能，請舉出反例.教師強調(diào)：圓的兩條直徑是互相平分的.（三）隨堂練習1.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=cm.∴cm.∴cm.2.如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.學生自主思考后，獨立解答如下：解：連接OA，∵CE⊥AB于D，∴，設OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5，即半徑OC的長為5cm.出示課件14：3.已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：學生思考后師生共同解答.證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則（垂直于弦的直徑平分弦所對的?。熒餐瑲w納總結：（出示課件14）解決有關弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距（垂線段），或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件.4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證:四邊形ADOE是正方形．學生獨立解答，一生板演.證明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四邊形ADOE為矩形，AE=AC,AD=AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四邊形ADOE為正方形.5.出示課件17：例2根據(jù)剛剛所學，你能利用垂徑定理求出導入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?教師引導學生分析題意，先把實際問題轉化為數(shù)學問題，然后畫出圖形進行解答.解：如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主橋拱半徑約為27.3m.（四）．課堂小結通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲和體會？（五）．課后作業(yè)1.課本89頁第1和第8題2.完成課時練上第74到77頁的習題.（六）．板書設計垂直于弦的直徑1.圓是軸對稱圖形2.垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.推導格式：∵CD是直徑，CD⊥AB，∴AE=BE,eq

\o(AC,\s\up5(⌒))=eq

\o(BC,\s\up5(⌒)),eq

\o(AD,\s\up5(⌒))=eq

\o(BD,\s\up5(⌒))3.垂徑