北師大版數(shù)學八年級上冊7.2.2定理與證明名師教案課題7.2.2定理與證明單元第七單元學科數(shù)學年級八學習目標知識與技能：1.理解公理、證明、定理的概念.2.掌握公理、證明、定理的聯(lián)系與區(qū)別.過程與方法：1.通過對公理的認識,明確證明需要公理和定理.2.經(jīng)歷實際情境,初步體會公理化的思想和方法.情感態(tài)度與價值觀：1.通過從具體例子中提煉數(shù)學概念,培養(yǎng)學生思維的嚴密性和邏輯性.2.結(jié)合實例讓學生意識到證明的必要性,培養(yǎng)學生做到有理有據(jù),有條理地表達自己的想法的良好意識,培養(yǎng)學生的語言表達能力.重點理解公理、證明和定理的概念.難點準確找出命題的條件和結(jié)論,公理與定理的區(qū)別,寫出步步有理有據(jù)的證明過程.教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設(shè)計意圖新知導入【思考】判斷下列句子中,哪些是命題?哪些不是命題?(1)同一平面中的兩條直線不是平行就是相交.()(2)畫一個長方形和正方形.()(3)直角小于鈍角.()(4)4是偶數(shù)嗎?()一般地,對某一事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題.命題由可看作由題設(shè)(或條件)和結(jié)論兩部分組成.【思考】下列命題的條件是什么?結(jié)論是什么?(1)如果地面是潮濕的,那么下雨了.(2)同位角相等,兩條直線平行.(3)三角形兩邊之和大于第三邊.在上述命題中,哪些正確?哪些不正確?你的理由是什么?什么叫做真命題,什么叫做假命題?正確的命題稱為真命題,不正確的命題稱為假命題.在做題的過程中抓住學生的質(zhì)疑與好奇,引出新課內(nèi)容,揭示課題.加深學生對邏輯推理的理解,可激發(fā)學生學習本課時的興趣,從而引出本課時的問題.新知講解通過剛剛的復習,我們回顧了真命題與假命題的概念,也知道要判斷一個命題是假命題,只需要舉出一個反例即可;但要判斷一個命題是真命題,該怎么辦呢?能用以前學習的觀察、實驗、驗證特例的方法嗎?這我們在以前的學習過程中已經(jīng)探討過,這種方法不可靠.那么,是否可以根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實呢?試想一下,這樣的真命題又該如何證實它是正確的呢?閱讀教材P168~P169內(nèi)容,并回答下列問題:(1)什么叫公理?公理的意義是什么?(1)公理:人類經(jīng)過長期實踐后公認為正確的命題,作為判斷其他命題的依據(jù).這樣公認為正確的命題叫做公理.例如:“兩點之間線段最短”,“三邊分別相等的兩個三角形全等”,“過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行”……(2)定理的概念是什么?它和公理有什么區(qū)別和聯(lián)系?(2)定理:用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理.定理和公理都可以作為判斷其他命題真假的依據(jù).本套教科書選用九條基本事實作為證明的出發(fā)點和依據(jù)，我們已經(jīng)認識了其中的八條，它們是：（1）兩點確定一條直線.（2）兩點之間線段最短.（3）同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行(簡述為：同位角相等，兩直線平行).（5）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.（6）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.（7）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.（8）三邊分別相等的兩個三角形全等.此八條基本事實前面已詳細探索過，不必驗證它們的正確性，可以直接用來證實其它命題的正確性，另外一條我們將在以后認識它。此外，數(shù)與式的運算律和運算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)，以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù).例如，如果a=b，b=c,那么a=c,這一性質(zhì)也可以作為證明的依據(jù)，稱為“等量代換”.又如，如果a>b，b>c，那么a>c,這一性質(zhì)同樣可以作為證明的依據(jù).定義、命題、基本事實(公理)、定理之間的區(qū)別與聯(lián)系：(1)聯(lián)系：這四者都是命題．(2)區(qū)別：定義、基本事實、定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，只不過基本事實是最原始的依據(jù)；而命題不一定是真命題，因而不能作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù).請用學過的公理或定理說明下面這些命題的正確性.(1)同角(等角)的補角相等.(2)同角(等角)的余角相等.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊.(1)已知∠1=∠2,∠3是∠1的補角,∠4是∠2的補角,求證∠3=∠4.證明:∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(已知),∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2(等式的性質(zhì)).又∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量代換).同理可證同角的補角相等.(2)證明過程與(1)類似.(3)任取三角形的兩個頂點,根據(jù)公理“兩點之間線段最短”可知命題正確.為了使我們的解答更為規(guī)范和有條理,請同學們根據(jù)此題總結(jié)一下證明一個命題的一般步驟.證明一個命題的一般步驟:1.已知:寫出命題的條件(必要時結(jié)合圖形).2.求證:寫出命題的結(jié)論.3.證明:寫出演繹推理的過程.已知：如圖,直線AB與直線CD相交于點O,∠AOC與∠BOD是對頂角.求證：∠AOC=∠BOD.證明：∵直線AB與直線CD相交于點O,∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定義).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的補角(補角的定義).∴∠AOC=∠BOD(同角的補角相等).由上面的例題，我們可以得到定理：對頂角相等.[知識拓展]1.對于公理:①公理是不需要推理證實的真命題,②公理可以作為判斷其他命題真假的根據(jù).2.對于定理:①定理都是真命題,但真命題不一定都是定理;②定理可以作為推證其他命題的依據(jù).3.證明的一般步驟:①根據(jù)題意,畫出圖形;②根據(jù)條件和結(jié)論,結(jié)合圖形寫出已知和求證;③經(jīng)過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.4.假命題的判斷:判斷一個命題是假命題,只要舉出反例來說明即可.首先學生自主思考,挨個回答上面的問題,然后學生交流合作試畫圖表,此時教師給予必要的指導.巡視同時注意看有沒有同學能夠畫出較為合理的圖表,有的話就給予全班展示.最后再多媒體展示,出示答案.先讓學生獨立思考,然后學生試著寫出證明過程,最后老師在黑板上板書.說明符號“∵”讀作“因為”,“∴”讀作“所以”.強調(diào)“剛開始學習證明,最好在每一步的后面注明依據(jù)”.教師先讓學生獨立完成,并請學生板演,其他學生在練習本上完成.做完后小組之間開展互評.教師巡視,適時點撥.學生完成后及時點評,借助多媒體展示正確答案,讓學生對出現(xiàn)的問題進行矯正.在小組交流的基礎(chǔ)上,在教師的引導下,首先歸納總結(jié)出證明一個命題的一般步驟,然后讓學生對照步驟,完善各自的解題過程.讓學生明確有哪些公理,給學生留出一定的思維空間,讓他們思考如何證實真命題的問題,在此基礎(chǔ)上,引出數(shù)學家歐幾里得《原本》的編寫思路.通過自主學習、合作交流、優(yōu)秀圖表展示等環(huán)節(jié),既可以鍛煉學生的自主學習能力,又發(fā)展了學生的合作交流能力、有條理思考的能力和語言表達能力.證明已經(jīng)探索過的結(jié)論,目的是引導學生了解證明要有理有據(jù),規(guī)范證明的步驟,發(fā)展推理能力;培養(yǎng)學生的合作探究意識.在解決這個問題的過程中,幫助學生進一步理解和鞏固證明的含義,引導學生利用公理、定義、已經(jīng)證明的真命題解決實際問題,訓練思維的嚴謹性、邏輯性,強化證明步驟的規(guī)范性.課堂練習1.下列敘述錯誤的是 (B)A.所有的命題都有條件和結(jié)論B.所有的命題都是定理C.所有的定理都是命題D.所有的公理都是真命題2.下列命題為假命題的是 (C)A.三角形三個內(nèi)角的和等于180°B.三角形兩邊之和大于第三邊C.三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方D.三角形的面積等于一條邊的長與該邊上的高的乘積的一半3.已知命題:等底等高的兩個三角形面積相等,則這個命題的結(jié)論是(C)A.兩個三角形B.兩個三角形的面積C.兩個三角形的面積相等D.兩個三角形等底等高4.如圖所示,已知∠AOC與∠BOD都是直角,∠BOC=65°.(1)求∠AOD的度數(shù);(2)求證∠AOB=∠DOC;(3)若不知道∠BOC的具體度數(shù),其他條件不變,(2)的關(guān)系仍成立嗎?若成立,說明理由.解:(1)因為∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°.(2)證明:因為∠DOC=25°,∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOB=∠DOC.(3)解:成立.因為∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC,∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOB=∠COD.【直擊中考】5.（宜昌）如圖，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是（D）A.垂線段最短B.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線C.經(jīng)過兩點，有且僅有一條直線D.兩點之間，線段最短6.（2019?深圳）下面命題正確的是（D）A．矩形對角線互相垂直B．方程x2=14x的解為x=14C．六邊形內(nèi)角和為540°D．一條斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等學生認真做課堂練習。通過課堂習題練習，進一步理解并掌握新知。提高練習是為了鞏固學生所學的新知，并讓學生學會對新知識的正用、逆用、變形用的能力，加強學生的計算能力和解決問題能力的培養(yǎng)，同時實現(xiàn)了優(yōu)等生有事做，學困生跟著做的隱性分層教學。課堂總結(jié)這節(jié)課你學到了什