第二章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CProbabilityStatistics隨機(jī)變量及其分布概率統(tǒng)計(jì)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C第二節(jié)

離散型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)

連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)

隨機(jī)變量及其分布函數(shù)目錄/Contents第二章隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)

隨機(jī)變量函數(shù)的分布e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、隨機(jī)變量的定義三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生目錄/Contents第一節(jié)

隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生(1)擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；(3)燈泡廠生產(chǎn)的燈泡的壽命；(2)昆蟲產(chǎn)卵的個(gè)數(shù)；(4)某地區(qū)10月份的氣溫。在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念。有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)：這種實(shí)值函數(shù)的特點(diǎn)：(1)這種實(shí)值函數(shù)是定義在樣本空間上的函數(shù)。它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值。因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值。(2)由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值也有一定的概率。稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生正如，裁判員在運(yùn)動(dòng)場上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù)：

有些試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果。即把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化。一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生二、隨機(jī)變量的定義定義2.1隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量通常用字母X，Y，Z或ξ，η等表示。

Ｘ(ω1)Ｘ(ω2)Ｘ(ωn)二、隨機(jī)變量的定義由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，因而X取各個(gè)值也有一定的概率.例如，上述試驗(yàn)中表示事件“正面出現(xiàn)的次數(shù)為0次”，即“出現(xiàn)兩次反面”，相應(yīng)的概率為為表述簡便，通常省略大括號(hào)，簡記為

例1二、隨機(jī)變量的定義說明引入隨機(jī)變量的意義：前面研究的是具體隨機(jī)試驗(yàn)中具體事件的概率計(jì)算；而對隨機(jī)變量的研究是包含了所有隨機(jī)試驗(yàn)的研究。例如，可表示“正品、廢品”;“發(fā)生、未發(fā)生”;“擊中、未擊中”故若已知P(X∈Ⅰ),則對應(yīng)到一個(gè)具體的隨機(jī)試驗(yàn)，其中任一事件的概率就已知。所以，研究隨機(jī)變量是對隨機(jī)試驗(yàn)的全面刻劃?！半S機(jī)變量的引入是概率論歷史上重要的里程碑，有十分重大的意義”二、隨機(jī)變量的定義說明(2)隨機(jī)變量與普通函數(shù)的區(qū)別①定義域、值域?yàn)閷?shí)數(shù)集；定義域?yàn)闃颖究臻g。②③x,f給定，y

確定；每次試驗(yàn)前，只知道X的取值范圍，

但不確定X取哪個(gè)值。(3)兩個(gè)隨機(jī)變量的和、積還是隨機(jī)變量。f是實(shí)函數(shù)，X是一

隨機(jī)變量，則f(X)仍為隨機(jī)變量。(1)離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的可能取值為數(shù)軸上的有限個(gè)或可列個(gè)點(diǎn)。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)或幾個(gè)區(qū)間。(3)奇異型隨機(jī)變量：既不是離散型隨機(jī)變量，也不是連續(xù)型隨機(jī)變量。

實(shí)際問題中很少有應(yīng)用。本課程不作討論。二、隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的分類：三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)實(shí)際生活中有時(shí)也要解決隨機(jī)變量X在區(qū)間上取值的概率，例如，病人的身體狀況至多能承受多大劑量的放射治療；等車不超過3分鐘的概率。隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記為F(x)，即（distributionfunction）.設(shè)X

是一個(gè)隨機(jī)變量，x

是任意實(shí)數(shù)，概率P(X≤x)是x

的函數(shù)，則稱此函數(shù)為三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)Ｆ(x）具有下列四個(gè)基本性質(zhì)：(1)非負(fù)有界性而且(3)右連續(xù)性(2)單調(diào)不減性三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)證明

直觀地來說明一下。在x趨向-∞的過程中，同理，在x趨向+∞的過程中，｛X≤x｝中的樣本點(diǎn)越來越多，從而有0)()(lim)(lim)(--x==￡==￥-￥?￥?

PxXPxFFx1)()(lim)(lim)(x=W=￡==+￥+￥?+￥?PxXPxFFx三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)即又由概率的非負(fù)性知，因而有)()()(2112xXxPxXPxXP￡<+￡=￡)()()(1221xFxFxXxP-=￡<)()(21xFxF￡2x1x}{}{}{2112xXxxXxX￡<+￡=￡（2）由于三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)在性質(zhì)（2）中，我們證明了一個(gè)公式：當(dāng)時(shí)，有再利用概率的運(yùn)算，就可得到其他事件的概率。例如，ab21xx<)()()(1221xFxFxXxP-=￡<)()(lim)(lim)(-??==￡=<--aFxFaXPaXPaxax)()()()()(--=<-￡==aFaFaXPaXPaXP)(1)(1)(aFaXPaXP-=￡-=>)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP-=￡-<=<<-)()()(bXaPaXPbXaP￡<+==￡￡)]()([)]()([aFbFaFaF-+-=-)]()([--=aFbF三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的意義：只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),就可知X落入任一區(qū)間的概率，進(jìn)而知道了X的全部統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求：(1)系數(shù)A與B；(2)三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)例（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)，得解得所以分布函數(shù)為解三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)（2）e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布目錄/Contents第二節(jié)

離散型隨機(jī)變量及其分布若隨機(jī)變量X的所有可能取值為：一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。通常還可以形象地表示為(probabilitydistributio)（distributionlaw）一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布性質(zhì)：一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布再由概率的可列可加性知，即（2）由于是X

所有可能取值，因此,......

,......,

,

21nxxxW=+=++=+=......}{

......}{

}{

21nxXxXxX1)(......}){

(......}){

(}){(

21=W=+=++=+=PxXPxXPxXPn1

1=?￥=kkp,......,......,2,1

0，

nkpk=3（1）由概率的非負(fù)性知，顯然有證明離散型隨機(jī)變量概率分布和分布函數(shù)如何相互表示。1.已知概率分布求分布函數(shù)：則其分布函數(shù)為：)()(xXPxF≤=npnx2x2p1p1xPX........................一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布............1xx<0k+1kxxx<￡+++...21kppp32xxx<￡+21pp121xxx<￡p???????íì==￡=￡?)()(:xxiipxXPxFikppp+++...211p21pp+)(xFy=1x2xkxx1離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)階梯函數(shù)，在每一xi有一躍度,這是離散型隨機(jī)變量的重要特征。一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布設(shè)隨機(jī)變量X

的概率分布為求：(1)

X

的分布函數(shù)；

X

012

P(2)

31)230()21(￡￡<XPXP和6121例一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布2/13/10121x)(xFy=（1）0x<010<￡x21<￡x23x31216131=+1216131=++?????íì==￡=?￡xxiiipxXPxF:)()(解一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布或或)0()(===<XPXP)()(==<-FXP)1()0()0(=+==+==￡￡XPXPXP0)0()()0(=-=-=￡￡-FFXP31213121212161312323232121（2）解2.已知分布函數(shù)求概率分布：一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布設(shè)分布函數(shù)為：kx2x1x1p21pp+kppp+++...211)(xFy=x32xxx<￡21xxx<￡1xx<???????íì++++==￡=￡?...............0)()(21211:kxxiipppppppxXPxFik+1kxxx<￡一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布則其概率分布為：XP1x1p2x2pnxnp........................1.0-1分布(0-1distribution）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：或?qū)憺閯t稱隨機(jī)變量X服從0-1分布.或兩點(diǎn)分布(twopointdistribution)。

Xpq01p(0<p<1,p+q=1)二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布例如：拋一枚硬幣，X“出現(xiàn)正面的次數(shù)”，則例如：將一枚硬幣拋5次，X“正面恰好出現(xiàn)一次”，則二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布(1)檢驗(yàn)是否構(gòu)成分布？(2)刻劃的試驗(yàn)凡是試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，都能用0-1分布進(jìn)行刻劃。

如：產(chǎn)品合格與否；系統(tǒng)正常與否；A發(fā)生與否……Xpq01p樣本空間中只有兩個(gè)樣本點(diǎn)說明2.二項(xiàng)分布(binomialdistribution）

若隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，…，n,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p）。且它的分布為:其中二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布(3)二項(xiàng)分布是由瑞士數(shù)學(xué)家Bernoulli在1713年提出的，

也叫貝努利分布。(1)檢驗(yàn)是否構(gòu)成分布？（二項(xiàng)分布名字的由來）二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布說明(2)刻劃的試驗(yàn)

n重貝努利試驗(yàn),X表示

“n

次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)”，則

X=0,1,…,n,X～B(n，p）。二項(xiàng)分布的性質(zhì)二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布二項(xiàng)分布中當(dāng)n＝1時(shí)退化為0-1分布，即B(1,

p)。性質(zhì)1X～B(n，p）,則性質(zhì)2二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布性質(zhì)2證明

第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)第i次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)ni,......,1,0=設(shè)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X

可以看做是n重貝努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，其中事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，則X～B(n，p)。顯然是服從0-1分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，在第i次試驗(yàn)中，A

出現(xiàn)時(shí)Xi

取1，A不出現(xiàn)時(shí)Xi取0，所以表示n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，則且相互獨(dú)立。?íì=01iXnXXX,......,21),......,1,0(ni=iXpXPi==)1(),......,1,0(ni=?=niiX1?==niiXX1nXXX,......,21X012345678P0.0390.1560.2730.2730.1790.0680.0170.00240.0000K=2,3最可能成功次數(shù)二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布X～B(8，1/3）,則注意二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布某一大學(xué)的校網(wǎng)球隊(duì)與該校某系網(wǎng)球隊(duì)舉行對抗賽.一般地，校隊(duì)的實(shí)力比系隊(duì)為強(qiáng)，每個(gè)校隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率為0.55.現(xiàn)有校和系雙方代表商討對抗賽的比賽方式，提出了三種方案供選擇：（1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（3）雙方各出7人.三種方案中均以比賽中獲勝人數(shù)多的一方為勝.問對系隊(duì)而言，哪一種方案較為有利？例設(shè)系隊(duì)獲勝隊(duì)員人數(shù)為X，系隊(duì)隊(duì)員獲勝概率為0.45，一般可以認(rèn)為隊(duì)員間比賽的勝負(fù)結(jié)果是相互獨(dú)立的，則X服從二項(xiàng)分布.因此，系隊(duì)獲勝的概率分別為：解由此可知，第一種方案對系隊(duì)最有利，也即對校隊(duì)最不利.這是比較容易理解的，因?yàn)閰①惖年?duì)員人數(shù)越少，系隊(duì)僥幸獲勝的概率也越大.顯然，當(dāng)雙方只出一個(gè)人比賽時(shí)，則系隊(duì)獲勝的概率為最大.二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布若隨機(jī)變量X

的概率分布為3.普阿松分布(泊松分布，Poisson分布)則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記(1)檢驗(yàn)是否構(gòu)成分布?二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布說明電話交換臺(tái)單位時(shí)間內(nèi)得到的呼叫次數(shù)；高速公路上一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的車禍次數(shù)；產(chǎn)品的缺陷數(shù)；次點(diǎn)數(shù)；大賣場一段時(shí)間內(nèi)的顧客人數(shù)；市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；……

歷史上泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似引進(jìn)來的。后來發(fā)現(xiàn)許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布，故泊松分布是概率論中最重要的分布之一。(2)刻劃的試驗(yàn)

近似計(jì)算：二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布盒子里有999個(gè)黑球，1個(gè)白球，求100次有放回抽取中恰好有k個(gè)白球的概率為例人群中食道癌的發(fā)病率為8/10000，現(xiàn)隨機(jī)抽查500人，則恰好有k個(gè)人為患者的概率為例在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)n≥100、p≤0.1、np≤10時(shí),我們使用以上近似公式計(jì)算.當(dāng)然,當(dāng)n越大,p越小,np大小適中時(shí),近似公式計(jì)算就越精確。二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布近似計(jì)算：在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p,記np＝λ.若n充分大,p

充分小,而np＝λ大小適中時(shí)，則有定理二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布證明思路：在n

重伯努利試驗(yàn)中，我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率p

很小的事件稱為稀有事件。因此，由以上定理可知，在實(shí)際應(yīng)用中，通常多重伯努利試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)可以用普阿松分布來描述。例如，不幸事件、意外事故、故障、非常見病和自然災(zāi)害等都是稀有事件，所以這類事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)均近似地服從普阿松分布。這是普阿松分布會(huì)有如此廣泛應(yīng)用的重要原因。

二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布某人做事成功的概率為1%，他重復(fù)努力400次，則至少成功一次的概率是多少？成功次數(shù)服從二項(xiàng)分布有百分之一的希望，就要做百分之百的努力！二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布例二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布（壽命保險(xiǎn)問題）在保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)。在一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在元旦付12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。問：例顯然，我們可以把考察“參加保險(xiǎn)的人在一年中是否死亡”看做一次隨機(jī)試驗(yàn)，因?yàn)橛?500個(gè)人參加保險(xiǎn)，所以我們可以把該問題看做為具有死亡概率p＝0.002的2500重貝努利試驗(yàn)。設(shè)X表示一年中死亡的人數(shù)，這樣在一年的元旦保險(xiǎn)公司收入為2500×12＝30000（元），而保險(xiǎn)公司在這一年中應(yīng)付出的為2000X（元）。解（1）“保險(xiǎn)公司虧本”（記為A）的概率是多少？（2）“保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元”（記為B）的概率是多少？

二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布（1）“保險(xiǎn)公司虧本”（不計(jì)利息）等價(jià)于2000X＞30000，

即X＞15（人），所以（2）“保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元”等價(jià)于30000-2000X≥10000，即X≤10，

所以“保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元”的概率為:二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布4.幾何分布（geometricdistribution）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為其中0<p<1,則稱X服從幾何分布,記作X～G(p).說明(1)檢驗(yàn)是否構(gòu)成分布?(2)刻劃的試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),P(A)=p,X表示“A首次發(fā)生時(shí)試驗(yàn)的次數(shù)”,則X服從幾何分布，即X～G(p)。二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布某血庫急需AB型血，需從獻(xiàn)血者中獲得。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每100個(gè)獻(xiàn)血者中只能獲得2名身體合格的AB型血的人，今對獻(xiàn)血者一個(gè)接一個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)。X“在第一次找到合格的AB型血時(shí)，獻(xiàn)血者已被化驗(yàn)的人數(shù)”，求X的概率分布。具有獨(dú)立性，于是即X～G(0.02)。設(shè)Ai表示第I個(gè)獻(xiàn)血者血型合格，i＝1,2,…。由假設(shè)知，每個(gè)獻(xiàn)血者是合格的AB型血的概率是p＝0.02，顯然二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布例解設(shè)X～G(p),n,m為任意兩個(gè)自然數(shù),則這個(gè)性質(zhì)稱為幾何分布的無記憶性。實(shí)際意義是：在上例中,若已化驗(yàn)了m個(gè)人,沒有獲得合格的AB型血,則再化驗(yàn)k個(gè)人找到合格AB型血的概率與已知的信息（即前m個(gè)人不是合格的AB型血）無關(guān),即并不因?yàn)橐巡榱薽個(gè)人不合格,而第m＋1人,…,m＋k人是合格AB型血的概率會(huì)因此而發(fā)生改變。二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布性質(zhì)證明擲一枚不均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為p,設(shè)X“一直擲到正反面都出現(xiàn)時(shí)所需的次數(shù)”,求X的分布律。一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布例5.超幾何分布（hypergeometricdistribution）

設(shè)1≤M≤N,1≤n≤N，若隨機(jī)變量X的概率分布為則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。記作X～H(M,N,n)。刻劃的試驗(yàn):超幾何分布用于刻劃產(chǎn)品的不放回抽樣,但是,當(dāng)N較大時(shí),超幾何分布計(jì)算較繁瑣,常近似為有放回抽樣,即用二項(xiàng)分布近似描述。二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布例如，有一批產(chǎn)品共N件,其中M件是次品。從中隨機(jī)地（不放回）抽取n件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。以X表示抽取的n件產(chǎn)品中次品的個(gè)數(shù),則有其中r＝min{n,M},也即隨機(jī)變量X是服從超幾何分布的。二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布總結(jié)：已知一批產(chǎn)品共N件,其中M件為次品,從中抽取若干次,每次取出一件,試求：(1)在一次抽取中,取的次品數(shù)X1的概率分布;(2)采用不放回的抽取,在n次抽取中(n<M)取得次品數(shù)X2的概率分布;(3)采用有放回的抽取,在n次抽取中(n<M)取得次品數(shù)X3的概率分布;(4)采用有放回抽取,首次抽得次品時(shí)抽取的次數(shù)X4的概率分布;二、常用的離散型隨機(jī)變量的分布e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)目錄/Contents第三節(jié)

連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

概率密度函數(shù),簡稱密度函數(shù)。一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)(1)為什么要把分布函數(shù)F(x)寫成這樣的形式？(2)“連續(xù)型”的含義是連續(xù)函數(shù),由此得名。(3)“概率密度”的含義一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)說明將一維問題轉(zhuǎn)化為二維問題,用面積刻劃隨機(jī)變量X落

變量X的分布規(guī)律。隨機(jī)變量X的取值不僅可以在某區(qū)間上連續(xù)取值,而且如此表示的分布函數(shù)一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)性質(zhì)由定義即知非負(fù)性滿足,且證明(1)性質(zhì)這一結(jié)果的幾何意義為:X落在(x1,x2]中的概率恰好等于在區(qū)間(x1,x2]一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)證明形的面積(圖中陰影部分)。上由曲線y=p(x)形成的曲邊梯(2)

由x

的任意性知,F(x)是直線上的連續(xù)函數(shù)。此性質(zhì)是連續(xù)型隨機(jī)變量的重要特征,連續(xù)型隨機(jī)變量的名稱也由此而得。一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)性質(zhì)設(shè)x

為任意實(shí)數(shù),則：證明(4)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,則即：同樣,必然事件的概率為1(概率的規(guī)范性),但概率為1時(shí)事件一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)性質(zhì)在概率論中,概率為零的事件稱為零概率事件。它與不可能事注1任意h＞0

證明還是有差別的,不可能事件是零概率事件,但零概率事件不全是不可能事件。不全是必然事件。在概率論中把概率為1的事件稱為幾乎必然發(fā)生的事件。一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)

(5)在

的連續(xù)點(diǎn)

x上，

性質(zhì)注2

當(dāng)0≤x＜1時(shí),一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

的密度函數(shù)為

例當(dāng)x＜0時(shí),解

所以X

的分布函數(shù)為：

一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)試求：(1)常數(shù)A；(2)

知A＝

。(2)一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

例(1)

解

(1)常數(shù)A

和B

(2)

(3)X的密度函數(shù)。因此,一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為

例

解故有：①一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)

(1)常數(shù)A

和B

(2)

(3)X的密度函數(shù)。因此,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為

例

解故有：②因此,解得：(2)一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)

又

故密度函數(shù)p(x)為:

一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)設(shè)X的概率密度為求(1)常數(shù)c的值；求k

的值。一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)例(2)寫出X的概率分布函數(shù)；(3)要使一、連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)解1.均勻分布(uniformdistribution)二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

(1)檢驗(yàn)是否構(gòu)成分布？(4)刻劃的試驗(yàn)：幾何概型(2)均勻分布的分布函數(shù)？(3)“均勻”的含義：二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

說明

二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布當(dāng)x≥b時(shí),

所以,

均勻分布的分布函數(shù)的圖形

二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

長度d有關(guān),即只要區(qū)間長度一樣,則X

落入這些區(qū)間內(nèi)的概率是相等的。

(3)“均勻”的含義二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布在

中任意取一點(diǎn)X,求概率例解因?yàn)?.指數(shù)分布(exponentialdistribution)

二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)檢驗(yàn)是否構(gòu)成分布？(2)刻劃的試驗(yàn)：二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布說明一般電子元件的“壽命”都近似為指數(shù)分布；隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間；某一復(fù)雜系統(tǒng)中兩次故障的時(shí)間間隔等。

所以

,

指數(shù)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)圖像

二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布說明

所以,時(shí),則它再工作t

小時(shí)的概率與已工作過的時(shí)間s

無關(guān),好像一個(gè)新產(chǎn)品開工作那樣。所以,在已知產(chǎn)品仍然完好的情況下就把它進(jìn)行更換的做法是沒有任何必要的。二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(4)性質(zhì)：(無記憶性)說明

證明求：(1)參數(shù)λ

的值；(2)一個(gè)三極管壽命超過1250小時(shí)的概率；(3)該設(shè)備使用了1250小時(shí)后,需更換三極管的概率。所以,二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布某一設(shè)備有4個(gè)同類型的三極管,它們的壽命X

的密度函數(shù)為例

解(3)設(shè)Y

表示4個(gè)三極管中損壞的個(gè)數(shù),則顯然Y～B(4,1-p)。又由于至少有一個(gè)三極管損壞就需要更換,則需要更換的概率二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(2)一個(gè)三極管壽命超過1250小時(shí)的概率p

為p′為3.正態(tài)分布(normaldistribution)

正態(tài)分布是概率論中最重要的分布。例如：測量的誤差,鋼的含碳量,人的身高、體重,農(nóng)作物的收獲量,二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

工廠產(chǎn)品的直徑、長度、寬度、高度等均近似地服從正態(tài)分布。若隨機(jī)變量X

的密度函數(shù)為其中,μ和σ均為常數(shù),且σ＞0,則稱隨機(jī)變量X

服從正態(tài)分布,記作當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)檢驗(yàn)是否構(gòu)成分布？說明二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(2)兩個(gè)密度曲線的特征：說明當(dāng)固定μ

時(shí),σ

越大,曲線的峰越低,落在μ附近的概率越小,取值就越當(dāng)μ

取不同的值時(shí),曲線左右平移,位置不斷變化,因而μ

叫位置參數(shù)。二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布分散,所以σ

是反映X

的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。因而叫形狀參數(shù)。

正態(tài)分布的性質(zhì)：1.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(2)

二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)

證明2.正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布則二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布正態(tài)分布的性質(zhì)：證明二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的性質(zhì)正態(tài)分布的性質(zhì)：概括起來,有:二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布證明正態(tài)分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用的一個(gè)分布,為計(jì)算方便,編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表以供查用。由以上的性質(zhì)可知,有了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表以后,一般正態(tài)分布的計(jì)算就迎刃而解了。重要推論：二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布正態(tài)分布的性質(zhì)：4.(3σ原則)查書后附表二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布正態(tài)分布的性質(zhì)：(1)從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測身高,求他的身高大于175cm的概率；二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布設(shè)某地區(qū)男子身高例(2)若從中隨機(jī)找5個(gè)男子測身高,問至少有一人身高大于175cm的概率是多少？在質(zhì)量控制中,通常用±3σ作為兩條線,當(dāng)生產(chǎn)過程中觀察值落在兩線以外就報(bào)警,表明生產(chǎn)出現(xiàn)了異常。這叫3σ原則。解名者的考試成績,已知90分以上的有12人,60分以下的有二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(招聘問題)某單位招聘155人,按考試成績錄用,共有526人報(bào)名,假設(shè)報(bào)例83人,從高分到低分依次錄取.某人成績?yōu)?8分,問此人能否被錄取？根據(jù)題意,有解查表得

所以設(shè)被錄用者的最低分為a二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布查表得,所以分.某人成績78分,在75分以上,所以此人被錄取.正態(tài)分布是概率論中最重要的分布。

(1)正態(tài)分布是最常見的一個(gè)分布,例如,測量的誤差,鋼的含碳量,人

(2)一般地,若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多,而每個(gè)因素所起的作

(3)正態(tài)分布有許多優(yōu)良的性質(zhì),許多分布在一定的條件下可用正態(tài)分布

二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布的生理特征和尺寸：身高、體重,農(nóng)作物的收獲量,工廠產(chǎn)品的尺寸：直徑、長度、寬度、高度等均近似地服從正態(tài)分布。用均不太大,則這個(gè)指標(biāo)近似地服從正態(tài)分布,這就是概率論中的中心極限定理比較直觀的描述。這也說明正態(tài)分布在理論研究中的重要性。來近似,例如二項(xiàng)分布。均可由正態(tài)分布派生出來。思考題：二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents第四節(jié)

隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題的提出：

在實(shí)際問題中，我們常對某些隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。例如，