第二章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第二節(jié)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

三、高階導(dǎo)數(shù)

四、公式與運(yùn)算法則一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式本節(jié)先通過簡單的實(shí)例介紹一些函數(shù)求導(dǎo)法則,使我們能夠簡單而直接地求出常數(shù)函數(shù)(constantfunction)、冪函數(shù)(powerfunction)、指數(shù)函數(shù)(exponentialfunction)、對數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction)、三角函數(shù)(trigonometricfunction)、反三角函數(shù)(inversetrigonometricfunction)以及它們的某些組合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),從而不必每次都進(jìn)行相應(yīng)的極限運(yùn)算.【例1】求常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)樗猿?shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,

一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式例2】求冪函數(shù)（是正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù).【解因?yàn)?

利用二項(xiàng)式定理將展開有于是得,

即.事實(shí)上,

對任意實(shí)數(shù),

都有成立.

利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得：當(dāng)時(shí),

,

即；當(dāng)時(shí),

,

即.一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式【例3】求指數(shù)函數(shù)（且）的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)樗灾笖?shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

特別地,

當(dāng)時(shí),

即得.一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式下面兩個(gè)例子將介紹微積分中兩個(gè)很重要的基本初等函數(shù)——指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則.【例4】求對數(shù)函數(shù)（且）的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)樗詫?shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

特別地,

當(dāng)時(shí),

即得.,

一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式自然界中許多現(xiàn)象的變化（比如電磁場、心律、潮汐、天氣等）是近似周期性的.與之相關(guān)的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在準(zhǔn)確描述此類周期性現(xiàn)象方面起著關(guān)鍵作用.下面我們就介紹幾種初等三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,【例5】求三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)樗匀呛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù),

類似地,

有.

一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式圖2.2一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之后,尋求與之對應(yīng)的反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就成了下一個(gè)備受關(guān)注的焦點(diǎn).下面我們首先給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則和定理證明,然后結(jié)合定理,通過一些例題來認(rèn)識反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).定理2.2

設(shè)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo),

且,

則它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo),

且有.證明由于在某一區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào),

可知它的反函數(shù)在其對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào),

于是當(dāng)時(shí),

,

此.又由于在某一區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),

顯然連續(xù),

于是其反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也連續(xù),

即當(dāng)時(shí),

有,

又,

從而有即.即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).因,

一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式【例6】求反正弦函數(shù)（）的導(dǎo)數(shù).解設(shè)為已知函數(shù),

則是它的反函數(shù).由于在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo),

且因此在內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo),

且有,即類似地,

有.,

一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式【例7】求反正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解設(shè)是已知函數(shù),

則是它的反函數(shù),

由于在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo),

且,

因此在內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo),

且有即,

類似地,

有.,一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第二節(jié)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

三、高階導(dǎo)數(shù)

四、公式與運(yùn)算法則.二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則定理2.3

若函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo),

則函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo),

且有證明當(dāng)自變量有改變量時(shí),

函數(shù)與就分別取得改變量與,

.于是函數(shù)的改變量為,

已知與在點(diǎn)處可導(dǎo),

則,

,

因此即.,

這個(gè)結(jié)果可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù),即

.二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

；.二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則【例8】設(shè),

求和.解【例9】設(shè),

求.解..

,二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則定理2.4

若函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo),

則函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo),

且有證明當(dāng)自變量有改變量時(shí),

函數(shù)與就分別取得改變量與,

于是函數(shù)的改變量為于是,

已知與在點(diǎn)處可導(dǎo),

則,

,

又由于可導(dǎo)必連續(xù),

于是當(dāng)時(shí),

有,

因此,

即..二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則特別地,

當(dāng)(為常數(shù))時(shí),

有,

這表明了常數(shù)因子可移到導(dǎo)數(shù)符號的外面.這個(gè)公式可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù),

即.二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則【例10】求的導(dǎo)數(shù).解.【例11】求的導(dǎo)數(shù).解【例12】求

的導(dǎo)數(shù)..二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則解

二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則定理2.5

若函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo),

且,

則函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo),

且有.證明當(dāng)自變量有改變量時(shí),

函數(shù)與分別取得改變量與,

于是函數(shù)的改變量為,

于是二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則特別地,當(dāng)

時(shí),則有

.已知與在點(diǎn)處可導(dǎo),

則,

,

又由于可導(dǎo)必連續(xù),

于是當(dāng)時(shí),

有,

所以,

即.【例13】求正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解類似地,

有.二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則【例14】求正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解類似地,

有.二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則二、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則【例15】設(shè),

求.解于是,

.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第二節(jié)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

二、函數(shù)和、差、積、商的運(yùn)算法則

三、高階導(dǎo)數(shù)

四、公式與運(yùn)算法則三、高階導(dǎo)數(shù)

是一個(gè)可導(dǎo)函數(shù),那么

也是一個(gè)函數(shù).進(jìn)一步,如果

可導(dǎo),那么我們可以進(jìn)一步對其求導(dǎo)得到一個(gè)關(guān)于變量

函數(shù),并

.在很多問題中,不僅

的導(dǎo)函數(shù)

而且

.下面我們就給出高階導(dǎo)數(shù)的具體定義.定義2.4

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是的函數(shù),

如果這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),

則稱它的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),

記作,

或,

或,

或.按導(dǎo)數(shù)定義,可得.三、高階導(dǎo)數(shù)類似地,

二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)就稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù),

記作,

或,

或,

或.的階導(dǎo)數(shù)就是的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),

即.函數(shù)的階導(dǎo)數(shù),

記作,

或,

或,

或.二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).三、高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處的數(shù)值記為；或；或；或.容易看出,

求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)只須一次一次地求導(dǎo)數(shù),

連續(xù)運(yùn)用求一階導(dǎo)數(shù)的公式與運(yùn)算法則就可以了.三、高階導(dǎo)數(shù)【例16】求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解,

.三、高階導(dǎo)數(shù)【例17】求的各階導(dǎo)數(shù).解,

,

,

.三、高階導(dǎo)數(shù)【例18】求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：（1）.解由于,

,

,

歸納得.（2）.解由于,

┆?dú)w納得.,

三、高階導(dǎo)數(shù)【例19】求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：.解由于,

┆?dú)w納得,

,

.三、高階導(dǎo)數(shù)【例20】求的階導(dǎo)數(shù).解由于┆得同理可得.,

,

,

；三、高階導(dǎo)數(shù)【例21】求的階導(dǎo)數(shù).解由于,

,

┆?dú)w納得.,

三、高階導(dǎo)數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第二節(jié)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

二、函數(shù)和、差、積、商的運(yùn)算法則

三、高階導(dǎo)數(shù)

四、導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則1.基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式(1)（為常數(shù)）.(2)（為實(shí)數(shù)）.(3),

.(4),

.(5).(6).(7).(8).(9).(10).(11).(12).(13).(14).四、導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則2.函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)

.(2),

（為常數(shù)）.(3)（）.四、導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568E