第六章二元函數(shù)微積分初步經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用目錄/Contents一、二元函數(shù)的極值三、條件極值第五節(jié)二元函數(shù)的極值、最值及其應(yīng)用一、二元函數(shù)的極值定義6.11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,

如果對于該鄰域內(nèi)異于點(diǎn)的任何點(diǎn),

都有,

則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值,

點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)；如果對于該鄰域內(nèi)異于點(diǎn)的任何點(diǎn),

都有,

則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值,

點(diǎn)稱為函數(shù)的極小值點(diǎn).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).與一元函數(shù)的極值相似,二元函數(shù)的極值也是二元函數(shù)的一種局部性質(zhì).一、二元函數(shù)的極值【例1】根據(jù)定義,

分析下列函數(shù)在處的極值情況:(1)；(2)；(3).解(1)函數(shù)在點(diǎn)處有極小值.因?yàn)辄c(diǎn)的任一鄰城內(nèi)異于的點(diǎn)的函數(shù)值都為正,

而在點(diǎn)處的函數(shù)值為零.從幾何上看,

這是顯,

然的因?yàn)辄c(diǎn)是開口朝上的旋轉(zhuǎn)拋物面的底點(diǎn).一、二元函數(shù)的極值(2)函數(shù)在點(diǎn)處有極大值.因?yàn)辄c(diǎn)的任一鄰城內(nèi)異于的點(diǎn)的函數(shù)值都為負(fù),

而在點(diǎn)處的函數(shù)值為零.從幾何上看,

這是顯然的,

因?yàn)辄c(diǎn)是位于坐標(biāo)面下方的圓錐面的頂點(diǎn).(3)函數(shù)在點(diǎn)處取不到極值.因?yàn)樵邳c(diǎn)處的函數(shù)值為零,

而在點(diǎn)的任一鄰城內(nèi),

總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)(第一、第三象限中的點(diǎn)),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)（第二、第四象限中的點(diǎn)）.一、二元函數(shù)的極值定理6.4

（極值存在的必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù),

且函數(shù)在點(diǎn)處有極值,

證明由于在點(diǎn)處有極值,

所以當(dāng)時(shí),

一元函數(shù)在處有極值.根據(jù)一元函數(shù)極值存在的必要條件,

有,

同理,

有.使偏導(dǎo)數(shù),

同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).則.一、二元函數(shù)的極值定理6.5

(極值存在的充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),

且點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn),

記,

則(1)當(dāng)時(shí),

是函數(shù)的極值；且當(dāng)時(shí),

是極大值；是極小值；(2)當(dāng)時(shí),

不是函數(shù)的極值.時(shí),

當(dāng)一、二元函數(shù)的極值利用上面兩個(gè)定理,

對于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),

求極值的步驟如下:1.求駐點(diǎn),

即解方程組的點(diǎn)；2.對于每個(gè)駐點(diǎn),

求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值；3.由的符號,

判斷是否取極值,

由的符號判定是極大值還是極小值；4.求出極值.一、二元函數(shù)的極值判斷不是極值為極大值【例2】求函數(shù)的極值.解解方程組,得駐點(diǎn),.由于列表討論如下：,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用目錄/Contents第五節(jié)二元函數(shù)的極值、最值及其應(yīng)用一、二元函數(shù)的極值三、條件極值二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用定義6.12設(shè)函數(shù)在某區(qū)域上有定義,

對于該區(qū)域上的任何點(diǎn),

如果都有,

則稱為函數(shù)在區(qū)域上的最大值；如果有,

則稱為函數(shù)在區(qū)域上的最小值.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值,

使函數(shù)取最值的點(diǎn)稱為最值點(diǎn).二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用由本章第一節(jié)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)（有界性,

最值定理,

介值定理）我們知道,

當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí),

函數(shù)在上必有最大值和最小值.關(guān)于在閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最大(小)值求法與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大（小）值求法相類似.在實(shí)際問題中,

如果根據(jù)問題的性質(zhì)知道的最大(小)值一定在的內(nèi)部取得,

并且在內(nèi)具有唯一的駐點(diǎn),

那么可以斷定這個(gè)唯一的駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是在上的最大（?。┲?二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用【例3】某工廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品,

銷售單價(jià)分別是千元與千元,

生產(chǎn)單位的產(chǎn)品與生產(chǎn)單位的產(chǎn)品的總費(fèi)用是(千元),

求：當(dāng)、產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為多少時(shí),

能使獲得的總利潤最大？并求最大總利潤.解設(shè)為產(chǎn)品、分別生產(chǎn)和單位時(shí)所得的總利潤.所以,

個(gè)單位,由于該實(shí)際問題有最大值,所以當(dāng)產(chǎn)品生產(chǎn)產(chǎn)品生二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用由得唯一駐點(diǎn).產(chǎn)個(gè)單位時(shí),所得總利潤最大,最大總利潤為千元.二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用【例4】設(shè)分別為商品的需求量,

它們的需求函數(shù)為,

,

總成本函數(shù)為,

其中和為商品和的價(jià)格（單位：萬元）,

試問價(jià)格和取何值時(shí)可使總利潤最大?并求最大總利潤.解據(jù)題意,

總收益函數(shù)為,

總利潤函數(shù)為,

二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用由,

即,

解得唯一的駐點(diǎn).由于實(shí)際問題存在最大總利潤,

所以當(dāng)取價(jià)格時(shí)可獲得最大總利潤萬元.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函數(shù)的最值及其應(yīng)用目錄/Contents一、二元函數(shù)的極值三、條件極值第五節(jié)二元函數(shù)的極值、最值及其應(yīng)用三、條件極值在實(shí)際問題中我們常常遇到這樣的極值問題：求函數(shù)在條件下的極值.例如,

求周長為給定的常數(shù)時(shí)面積最大的矩形,

就是求在條件下的極大值.又如,

求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域上的最大（?。┲档囊话惴椒ㄊ牵合惹蟪鲈趦?nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值、偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)處的函數(shù)值（即可能極值點(diǎn)處的函數(shù)值）；再求出在的邊界上的極大（小）值,

二者中最大（?。┲稻褪撬笞畲螅ㄐ。┲?其中在的邊界上（假設(shè)的邊界方程為）的極值就是求在條件下的極值.三、條件極值如果對自變量除限定在定義域內(nèi)取值外,

還需滿足附加條件,

這類極值問題稱為條件極值.前面在討論函數(shù)極值時(shí),

對自變量除限定在定義域內(nèi)取值外,

并無其他約束條件,

這類極值問題稱為無條件極值,

簡稱極值.求解條件極值問題有二種方法,

其一是：若由能解出顯函數(shù)或,

代入中就變成了一元函數(shù),

從而化成了求解一元函數(shù)的極值問題；其二就是下面介紹一種求條件極值的常用方法——拉格朗日乘數(shù)法.三、條件極值下面我們來尋求函數(shù)在條件下取得極值的必要條件.假設(shè)點(diǎn)為函數(shù)在條件下的極值點(diǎn),

且滿足隱函數(shù)存在定理的條件,

確定隱函數(shù),

則是一元函數(shù)的極值點(diǎn).于是由一元可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件得,

由隱函數(shù)存在定理得,

故,

三、條件極值令,于是極值點(diǎn)需要滿足三個(gè)條件：因此,若引進(jìn)輔助函數(shù),則前面三個(gè)條件即函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù),參數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù)（是一個(gè)待定常數(shù)）.三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在條件下的可能極值點(diǎn)的一般步驟:(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù),其中為拉格朗日乘數(shù).(2)求對的三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù),并令它們?yōu)榱?即得方程組(3)解上面方程組,得可能極值點(diǎn).在實(shí)際問題中根據(jù)問題本身的性質(zhì)確定極值點(diǎn),

而唯一的極值點(diǎn)即最值點(diǎn).三、條件極值【例5】某工廠生產(chǎn)兩種型號的機(jī)床,

其產(chǎn)量分別為臺和臺,

成本函數(shù)為(萬元),若根據(jù)市場調(diào)查預(yù)測,

共需這兩種機(jī)床臺,

問應(yīng)如何安排生產(chǎn),

才能使成本最?。坎⑶笞钚〕杀?解此問題可以歸結(jié)為求成本函數(shù),在條件下的最小值.三、條件極值構(gòu)造拉格朗日函數(shù).求對的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得聯(lián)立方程組解得,.是唯一可能的極值點(diǎn),即最值點(diǎn).因