第1頁/共1頁湖南省邵陽市2025-2026學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知函數(shù)，則的零點所在區(qū)間為（）A. B.C. D.3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則4.“函數(shù)在上單調(diào)”的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.5.若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（）A.3 B. C.4 D.6.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的最大值為（）A. B. C.5 D.67.黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小、密度大、吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來，數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù)，把這三個數(shù)從左到右寫成一個新的數(shù)字串.重復(fù)以上工作，最后會得到一個反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個數(shù)字串設(shè)為，則（）A. B. C. D.8.費(fèi)馬數(shù)列是以數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（PierredeFermat，1601~1665年）命名的數(shù)列，其中，例如．因為，所以的整數(shù)部分是1位數(shù)；因為，所以的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則的整數(shù)部分位數(shù)最接近于（）（）A.240 B.600 C.900 D.1200二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.， B.，C.， D.，10.下列說法不正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則最大值為C.若不等式的解集為，則D.命題“，使得．”的否定為“，使得．”11.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解，它們從小到大依次記為，，，，則（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域是____________.13.出入相補(bǔ)是指一個平面（或立體）圖形被分割成若干部分后面積（或體積）的總和保持不變，我國漢代數(shù)學(xué)家構(gòu)造弦圖，利用出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理，我國清代的梅文鼎、李銳、華蘅芳、何夢瑤等都通過出入相補(bǔ)原理創(chuàng)造了不同的面積證法證明了勾股定理.在下面兩個圖中，若，，，圖中兩個陰影三角形的周長分別為，，則的最小值為________.14.已知，若對于任意的，恒成立，則a的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.15（1）計算：；（2）已知，，求的值..16.已知，（1）若，求；（2）若，則求實數(shù)m的取值范圍.17.已知函數(shù)（其中是常數(shù)）.（1）若當(dāng)時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程在上有唯一實數(shù)解，求實數(shù)取值范圍.18.某企業(yè)積極響應(yīng)國家垃圾分類號召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工品.已知該企業(yè)日加工處理廚余垃圾x噸，最少為70噸，最多為120噸，日加工處理總成本y元與日加工處理量x噸之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價為100元.（1）該企業(yè)日加工處理量為多少噸時，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？平均成本（2）為了該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)進(jìn)行財政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方式有兩種：方案一：每日進(jìn)行定額財政補(bǔ)貼，金額為5000元；方案二：根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財政補(bǔ)貼，金額為60x元.如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得每日最大利潤，你會選擇哪個補(bǔ)貼方案？為什么？19.和都是定義在上的函數(shù)，若它們滿足如下性質(zhì)：①為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；②（，）；則稱為類正弦函數(shù)，為類余弦函數(shù).（1）求類正弦函數(shù)和類余弦函數(shù)的解析式；（2）求證：（?。?；（ⅱ）；（3）解關(guān)于的不等式：，其中為非零常數(shù).

湖南省邵陽市2025-2026學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩集合中元素的特征，判斷集合中的任意一個元素都是集合中的元素，從而可得答案.【詳解】集合中的元素是所有奇數(shù)，集合中的元素是所有被4整除余1的數(shù)，因為任意一個被4整除余1的數(shù)都是奇數(shù)，即集合中的任意一個元素都是集合中的元素，所以，，A選項錯誤，D選項正確；且，C選項錯誤；，B選項錯誤.故選：D.2.已知函數(shù)，則的零點所在區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用零點存在性定理判斷各區(qū)間端點處的符號即可得出結(jié)論.【詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，，滿足，因此的零點所在區(qū)間為.故選：C3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】通過舉反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正確.【詳解】對于A，因，取，則，有，故A是假命題；對于B，當(dāng)時，，故B是假命題；對于C，取，，滿足，但，故C是假命題；對于D，由，由，所以，故D是真命題.故選：D.4.“函數(shù)在上單調(diào)”的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出在上單調(diào)時的范圍，結(jié)合選項找出該范圍的一個充分不必要條件，即得答案.【詳解】因為函數(shù)在不可能單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)等價于：①在上單調(diào)遞增，②，所以，解得，結(jié)合選項可知是的充分不必要條件，故選：B.5.若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由不等式恒成立，確定，且，再由基本不等式即可求解．【詳解】不等式可化為，當(dāng)時，不等式為，不滿足對任意的恒成立；當(dāng)時，，圖象開口向下，不滿足題意，所以，且，所以，所以，且，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為4．故選：C6.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的最大值為（）A. B. C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得，利用奇函數(shù)定義求出時，，再由單調(diào)性求解最大值即可.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，則當(dāng)時，，若時，則，，所以，由和在R上單調(diào)遞減，知在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，所以.故選：B7.黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小、密度大、吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來，數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù)，把這三個數(shù)從左到右寫成一個新的數(shù)字串.重復(fù)以上工作，最后會得到一個反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個數(shù)字串設(shè)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取一個數(shù)字串,確定“數(shù)字黑洞”，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式計算，可得答案.【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過第一步之后為314，經(jīng)過第二步之后為123，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以“數(shù)字黑洞”為123，即，則,故選:.8.費(fèi)馬數(shù)列是以數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（PierredeFermat，1601~1665年）命名的數(shù)列，其中，例如．因為，所以的整數(shù)部分是1位數(shù)；因為，所以的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則的整數(shù)部分位數(shù)最接近于（）（）A.240 B.600 C.900 D.1200【答案】D【解析】【分析】由的整數(shù)部分位數(shù)近似于的整數(shù)部分位數(shù)，對取對數(shù)，求得其近似值，再根據(jù)的整數(shù)部分位數(shù)是n+1位求解.【詳解】因與1相比都非常大，所以的整數(shù)部分位數(shù)近似于的整數(shù)部分位數(shù)，而，，，所以，而，因為的整數(shù)部分位數(shù)是n+1位，所以的整數(shù)部分位數(shù)是1233位，的整數(shù)部分位數(shù)是1234位，所以的整數(shù)部分位數(shù)最接近1200位，即的整數(shù)部分位數(shù)最接近1200位，故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由的整數(shù)部分位數(shù)是n+1位而得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，即可判斷AB；再由同一坐標(biāo)系中和的圖象，可判斷CD.【詳解】在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，如下圖所示：顯然對于，圖象在上方，即，，即A正確；當(dāng)時，圖象在下方，即，因此B錯誤；在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，如下圖所示：由圖可知，時的圖象在的下方，即，，可得C正確；當(dāng)時，的圖象在的上方，所以，即D錯誤.故選：AC10.下列說法不正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則的最大值為C.若不等式的解集為，則D.命題“，使得．”的否定為“，使得．”【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷A，消元，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷B，根據(jù)一元二次不等式的解集與二次方程的關(guān)系求的關(guān)系，由此判斷的正負(fù)，判斷C，根據(jù)含量詞的命題的否定方法判斷D.【詳解】對于A，取，，則，但，取，，則，但，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，A錯誤；對于B，因為，所以，所以的最大值為，B錯誤；因為不等式的解集為，所以，且為方程的根，所以，，所以，，所以，C正確；命題“，使得．”的否定為“，使得．”D錯誤；故選：ABD.11.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解，它們從小到大依次記為，，，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探求出函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，令，,利用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系解決即可.【詳解】令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞增，；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞增，，作出的圖象如下：若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解，結(jié)合圖像可知，在只有一個解，記，①當(dāng)有兩個零點時，則一個零點為負(fù)數(shù)，另一個零點在，由題意，有，解得；②當(dāng)有且僅有一個零點時，，即或時，需要才行，無解，所以綜上①②，a的取值范圍是，故D正確.因為，由得，所以，故B正確；又，根據(jù)韋達(dá)定理可知中，，，所以，故C錯誤，A正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是____________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，則對于函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的定義域是．故答案為：13.出入相補(bǔ)是指一個平面（或立體）圖形被分割成若干部分后面積（或體積）的總和保持不變，我國漢代數(shù)學(xué)家構(gòu)造弦圖，利用出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理，我國清代的梅文鼎、李銳、華蘅芳、何夢瑤等都通過出入相補(bǔ)原理創(chuàng)造了不同的面積證法證明了勾股定理.在下面兩個圖中，若，，，圖中兩個陰影三角形的周長分別為，，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖形中的相似關(guān)系先表示出，然后利用基本不等式求解出最小值.【詳解】如圖1，易知，且，所以，所以；如圖2，易知，且，所以，所以，所以,又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以最小值為，故答案為：.14.已知，若對于任意的，恒成立，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)偶函數(shù)定義得是偶函數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，從而利用單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)和分別求解a的范圍，最后求交集即可.【詳解】對于函數(shù)，因為，所以恒成立，其定義域為R，又，且，所以為R上的偶函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，所以等價于，即，即.當(dāng)時，恒成立，所以；當(dāng)時，恒成立，所以.綜上，.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.15.（1）計算：；（2）已知，，求的值..【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡計算即可；（2）解方程求，再利用平方關(guān)系及商的關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入的值可得結(jié)論..【詳解】（1）因為，，，，所以原式；（2）因為，所以或，又，所以，原式.16.已知，（1）若，求；（2）若，則求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式化簡，利用集合補(bǔ)集和并集定義計算即可；（2）由知，利用集合間關(guān)系求的范圍.【小問1詳解】，當(dāng)時，，，，.【小問2詳解】∵，∴.當(dāng)時，，；當(dāng)時，即，即.∴.17.已知函數(shù)（其中是常數(shù)）.（1）若當(dāng)時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使成立，求實數(shù)取值范圍；（3）若方程在上有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【詳解】試題分析：將轉(zhuǎn)化為，令，得，從而利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答相關(guān)問題．試題解析：（1），令，當(dāng)時，，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立.于是，只需在上的最大值，即，解得，∴實數(shù)的取值范圍是．（2）若存在，使，則存在，使，于是，只需在上的最小值，即，解得，∴實數(shù)的取值范圍是．（3）若方程在上有唯一實數(shù)解，則方程在上有唯一實數(shù)解.因，故在上不可能有兩個相等的實數(shù)解.令，因，故只需，解得，∴實數(shù)的取值范圍是．考點：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．18.某企業(yè)積極響應(yīng)國家垃圾分類號召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工品.已知該企業(yè)日加工處理廚余垃圾x噸，最少為70噸，最多為120噸，日加工處理總成本y元與日加工處理量x噸之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價為100元.（1）該企業(yè)日加工處理量為多少噸時，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？平均成本（2）為了該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)進(jìn)行財政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方式有兩種：方案一：每日進(jìn)行定額財政補(bǔ)貼，金額為5000元；方案二：根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財政補(bǔ)貼，金額為60x元.如果你是企業(yè)決策者，為了獲得每日最大利潤，你會選擇哪個補(bǔ)貼方案？為什么？【答案】（1）最低，虧損狀態(tài)（2）選擇方案二進(jìn)行補(bǔ)貼，理由見解析【解析】【分析】（1）列出每噸廚余垃圾平均加工成本，運(yùn)用基本不等式求解最值；（2）列出每種補(bǔ)貼方式獲利表達(dá)式，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解，然后進(jìn)行比較即可.【小問1詳解】由題意可知，每噸廚余垃圾平均加工成本為

，當(dāng)且僅當(dāng)

即

時，每噸廚余垃圾的平均加工成本最低，因為

，所以此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài)；【小問2詳解】若該企業(yè)采用補(bǔ)貼方式①，設(shè)該企業(yè)每日獲利為

元，

，因為

，

在

上單調(diào)遞減，所以當(dāng)

噸時，企業(yè)