專題3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

【題型1函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系】...........................................................................................2

【題型2求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）】.......................................................................................................................3

【題型3根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)】...........................................................................................................................4

【題型4由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）】...........................................................................................................4

【題型5由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）】...............................................................................................................4

【題型6已知函數(shù)最值求參數(shù)】...............................................................................................................................5

【題型7函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】...................................................................................................6

1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)

2023年新課標(biāo)I卷：第11題，5分

(1)借助函數(shù)圖象，了解函容，高考對(duì)最值、極值的考查相對(duì)穩(wěn)定，

2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：第11題，5分

數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高

2024年新課標(biāo)I卷：第10題，6分

要和充分條件考情況來(lái)看，高考中常涉及的問(wèn)題有利

2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第11題，6分、

(2)會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值和最值問(wèn)題；與

第16題，15分

大值、極小值不等式、方程的根(或函數(shù)的零點(diǎn))等內(nèi)

2025年全國(guó)一卷：第19題，12分

(3)掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函容結(jié)合考查，此類問(wèn)題體現(xiàn)了分類討

2025年全國(guó)二卷：第10題，6分、

數(shù)最值的方法論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，此類問(wèn)題

第13題，5分、第18題，12分

(4)會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究生活中在選擇、填空、解答題中都有考查，而

2025年北京卷：第20題，15分

的最優(yōu)化問(wèn)題在解答題中進(jìn)行考查時(shí)試題難度較大，

2025年上海卷：第19題，14分

復(fù)習(xí)時(shí)需要加強(qiáng)練習(xí).

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的極值問(wèn)題的求解思路

1．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；

(3)解方程f'(x)=0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗(yàn)f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)；

(5)求出極值.

2．根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

(1)已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程

組，利用待定系數(shù)法求解.

(2)導(dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的最值問(wèn)題的解題策略

1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)；

③將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

(2)求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值

情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

2．求含有參數(shù)的函數(shù)的最值的解題策略：

求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從

而得到函數(shù)f(x)的最值.

【方法技巧與總結(jié)】

1．求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是

最值.

2．函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大小關(guān)系.

【題型1函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系】

【例1】（2025·廣東·一模）已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A．fx在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增B．x=7是y=f(x)的極大值點(diǎn)

C．當(dāng)4<x<7時(shí)，fx>0D．fx在區(qū)間7,+∞上單調(diào)遞減

【變式1-1】（2025·貴州黔南·一模）三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示.下列說(shuō)法正確的是（）

A．a(chǎn)<0，b<0，c>0，d>0B．a(chǎn)<0，b>0，c<0，d<0

C．a(chǎn)>0，b<0，c<0，d<0D．a(chǎn)>0，b>0，c<0，d<0

【變式1-2】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖是y=fx的導(dǎo)函數(shù)f′x的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的判

斷是（）

A．當(dāng)x=?1時(shí)，fx取得極大值B．fx在?2,1上是增函數(shù)

C．當(dāng)x=1時(shí)，fx取得極大值D．fx在?1,2上是增函數(shù)，在2,4上是減函數(shù)

【變式1-3】（24-25高三上·黑龍江·階段練習(xí)）如圖是函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)y=f′x的圖象，下列結(jié)論正確的

是（）

A．y=fx在x=?1處取得極大值B．x=1是函數(shù)y=fx的極值點(diǎn)

C．x=?2是函數(shù)y=fx的極小值點(diǎn)D．函數(shù)y=fx在區(qū)間?1,1上單調(diào)遞減

【題型2求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）】

【例2】（2025·新疆·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x(x?c)2在x=2處有極小值，則極大值為（）

32

A．32B．1C．D．0

27

【變式2-1】（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=x?2ex?e2x?2的極小值為（）

A．e2?2B．?2e2?2C．2?2e2D．?2?e2

π

【變式2-2】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=sin2x?2sinx+在區(qū)間0,2π上所有極值點(diǎn)的和為（）

3

A．2πB．3πC．4πD．5π

【變式2-3】（2025·寧夏銀川·一模）若函數(shù)f(x)=x2?ax?2ex在x=?2處取得極大值，則f(x)的極小值為（）

A．?6e2B．?4eC．?2e2D．?e

【題型3根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)】

【例3】（2025·河南新鄉(xiāng)·三模）已知函數(shù)fx=x3?3x+a的極小值為6，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A．8B．6C．4D．2

【變式3-1】（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）若fx=sinx?ax在0,π上的極大值大于1，則a的取值范圍為（）

π

A．?∞,0B．?,0C．?1,0D．0,1

3

【變式3-2】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=e?2x+ax2恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．(?∞,?e)B．(?∞,?2e)C．(?2e,0)D．(?∞,?2e)∪(0,+∞)

a

【變式3-3】（2025·浙江臺(tái)州·二模）已知a∈R，若函數(shù)fx=x+?lnx既有極大值又有極小值，則a的取值

x

范圍是（）

1111

A．,+∞B．0,C．?,0D．?,+∞

4444

【題型4由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）】

【例4】（2025·湖北黃岡·三模）已知函數(shù)fx=2cosx+sin2x，則fx的最小值是（）

33

A．?5B．?C．?22D．?3

2

【變式4-1】（2025·江蘇南京·三模）已知函數(shù)fx=xe?x，則當(dāng)x∈0,2時(shí)，fx的最大值為（）

3124

A．B．C．D．

eeee

【變式4-2】（2025·陜西渭南·二模）函數(shù)fx=x?1+x?3+2ex的最小值為（）

A．6B．2+2eC．6?2ln2D．e2+1

【變式4-3】（2025·貴州黔南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fx=x?alnx?b，若fx≥0，則ab的最小值為（）

1111

A．?B．?C．?D．?

2e2e22ee

【題型5由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）】

【例5】（2025·遼寧·三模）已知函數(shù)f(x)=a(x+1)ex(a≠0)．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，判斷過(guò)點(diǎn)(?1,0)且與曲線f(x)相切的直線有幾條，并求出切線方程；

(2)求f(x)的最值．

【變式5-1】（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ex+ax+aa∈R.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx在0,f0處的切線方程；

(2)討論fx的單調(diào)性，并求最值.

【變式5-2】（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a>0，函數(shù)fx=a+x2+lna?x2．

(1)若a≤1，討論fx的單調(diào)性；

(2)求fx的最大值．

lnx

【變式5-3】（2025·河南駐馬店·二模）已知函數(shù)fx=xa?.

x

(1)討論fx的最值；

kex?x

(2)若a=1，且fx≤，求k的取值范圍.

x

【題型6已知函數(shù)最值求參數(shù)】

13

【例6】（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若?x∈R，ax2+的最小值為，則a=（）

x2+14

19195

A．B．C．或D．

44444

【變式6-1】（2025·四川自貢·三模）函數(shù)fx=x?52x?b，若fx在b,b+3有最大值，則實(shí)數(shù)b的取值范

圍是（）

1111

A．?4,5B．?4,C．?4,D．?4,5

44

【變式6-2】（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2?2alnxa>0.

(1)求函數(shù)fx的極值點(diǎn)；

(2)若函數(shù)fx在區(qū)間1,e上的最小值為0，求實(shí)數(shù)a的值.

【變式6-3】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=lnx?ax?1，其中a∈R

(1)若a=1，求函數(shù)fx的增區(qū)間；

(2)若fx在0,1上的最大值為0．求a的取值范圍．

【題型7函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】

【例7】（2025·江西上饒·一模）利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的，同學(xué)們利用

我們所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，探究函數(shù)fx=xx,x∈0,+∞，下列說(shuō)法正確的是（）

1

A．fx有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)B．fx在0,上單調(diào)遞增

e

11

C．存在實(shí)數(shù)a∈0,+∞，使得fa=D．fx有最小值，最小值為

e1

ee

a

【變式7-1】（24-25高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）函數(shù)fx=+lnx+ba∈R,b∈R的兩個(gè)極值點(diǎn)x,x滿足

ex12

x1<x2≤2x1，則2x1+x2的最小值為（）

A．4ln2B．4C．3ln2D．6ln2

【變式7-2】（2025·北京·二模）已知函數(shù)fx=ax?1ex?lnx，其中a>0．

(1)若曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,2，求a的值；

(2)證明：函數(shù)fx存在極小值；

(3)記函數(shù)fx的最小值為ga，求ga的最大值．

【變式7-3】（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知f(x)=ekx+e?x(k>0).

(1)若x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求k的值，并判斷x=0是f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；

(2)設(shè)f(x)的最小值為g(k).

（i）求g(k)的解析式；

（ii）證明：g(k)的最大值為2.

一、單選題

1．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知x=1是函數(shù)f(x)=(ax2+3x?3)ex的極值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極小值為（）

A．?3B．?eC．0D．e

π

2．（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=x+cosx在區(qū)間?,π上的最大值為（）

2

ππ

A．πB．+1C．D．π?1

22

3．（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)?ax2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

111

A．(?∞,?2)B．?∞,?C．?∞,?∪(0,+∞)D．?,+∞

222

?x2+ax,x≤1,

4．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知fx=若函數(shù)y=fx有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

ax?1,x>1,

A．0,2B．0,2C．0,3D．0,3

5．（2025·湖南·三模）已知函數(shù)fx=x2?mx+2lnx在x=2時(shí)取極小值，則其導(dǎo)函數(shù)f′x的最小值為（）

1

A．?5B．?3C．?1D．?

2

6．（2025·江蘇·三模）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,x0x0≠0是f(x)的極大值點(diǎn)，則（）

A．?x0是f(?x)的極小值點(diǎn)B．?x0是?f(x)的極大值點(diǎn)

C．?x0是?f(?x)的極小值點(diǎn)D．?x0是fx的極大值點(diǎn)

7．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)任意的x∈(?1,+∞)，不等式ex?a[ln(x+1)?b]≥0恒成立，則a?b的最小值是

（）

A．?1B．0C．1D．2

8．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的圖象如圖所示．已知

這兩個(gè)函數(shù)圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)0,1，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．函數(shù)y=exfx的最大值為1B．函數(shù)y=exfx的最小值為1

fxfx

C．函數(shù)y=的最大值為1D．函數(shù)y=的最小值為1

exex

二、多選題

9．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=xlnx?aex有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的值可以是（）

111

A．0B．C．D．

432

10．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2?3ex+2，則（）

A．f(0)=0B．當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=?x2?3e?x?2

C．f(x)≥2當(dāng)且僅當(dāng)x≥3D．x=?1是f(x)的極大值點(diǎn)

11．（2025·江蘇蘇州·三模）已知fx=ax2+2lnx，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．a(chǎn)≥0時(shí)，fx有唯一的零點(diǎn)B．a(chǎn)<0時(shí)，fx存在極小值